Giáo án lớp 12a môn Đại số - Chuyên đề khảo sát hàm số

WWW.VIETMATHS.COM CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ I.SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : ( SGK) II.MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ : Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Cho hàm số ( , )y f x m , m là tham số, có tập xác định D.  Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.  Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ax bx c2'    thì:  0 0' 0, 0 0 a b cy x R a               0 0' 0, 0 0 a b cy x R a              3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c   :  Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.  Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2 b a  )  Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c   với số 0:  1 2 0 0 0 0 x x P S            1 2 0 0 0 0 x x P S            1 20 0x x P    5) Để hàm số 3 2y ax bx cx d    có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:  Tính y.  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 0 0 a    (1)  Biến đổi 1 2x x d  thành 2 2 1 2 1 2( ) 4x x x x d   (2)  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. WWW.VIETMATHS.COM 2  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. VD1: Định m để hàm số luơn đồng biến a) mmxxxy  23 3  D=R  mxxy  63' 2 Hàm số luơn đồng biến       01 0' 0' a y 3039  mm  Vậy: với 3m thì hs luơn đồng biến trên D. b) 2)2()12( 23  xmxmmxy  D=R  2)12(23' 2  mxmmxy Hàm số luơn đồng biến       03 0' 0' ma y       0 0)2(3144 2 m mmmm       0 0)1( 2 m m 0 m  Vậy: với 0m thì hs luơn đồng biến trên D. c) mx mx y    4  D= }{\ mR   2 2 )( 4 ' mx m y    Hàm số luơn đồng biến       2 2 040' 2 m m my  Vậy: với      2 2 m m thì hs luơn đồng biến trên D. VD2: Định m để hàm số luơn nghịch biến: xm mxx y    32  D= }{\ mR  2 22 )( 32 ' mx mmxx y    Hàm số luơn nghịch biến       01 0' 0' a y 0322  mm (điều khơng thể)  Vậy: khơng tồn tại m để hs luơn nghịch biến trên D. VD3: Định m để hàm số mxmxxy 4)1(3 23  nghịch biến trong ( - 1; 1)  D=R  163' 2  mxxy WWW.VIETMATHS.COM 3 Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1) 0' y và 21 11 xx        0)1( 0)1( af af       0)163(3 0)163(3 m m       8 4 m m 8 m  Vậy: 8m thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1). VD4: Định m để hàm số xmmxmxy )232()1( 223  tăng trên );2(   D=R  )232()1(23' 22  mmxmxy Hàm số tăng trên );2(  0' y và 221  xx                      2 2 0)2( 0' 0' S af                       2 2.3 )1(2 0)62(3 0177 0177 2 2 2 m mm mm mm        5 2 2 3 m m 2 2 3  m  Vậy: 2 2 3  m thì hs tăng trên );2(  VD5: Định m để hàm số mmxxxy  23 3 nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1.  D=R  mxxy  63' 2 Hàm số nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1. 0' y và 121  xx 4 3 144 3 14 039 2              m m m PS m  Vậy: 4 3 m thì hs nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1. 2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ : *) Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x). Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình : f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hồnh độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình sao bằng số giao điểm của hai đồ thị . *) Đồ thị hàm bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0 )cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt  Phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt  Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cĩ cực đại , cực tiểu và yCĐ.yCT < 0 *) Dùng độ thị biện luận số nghiệm của phương trình : Cho phương trình : f(x) = m hoặc f(x) = f(m) (1) +) Với đồ thị ( C ) của h/s y = f(x) +) Đường thẳng d : y = m hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luơn cùng phương với trục OX P2: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C ) và d .Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận về số nghiệm của phương trình . WWW.VIETMATHS.COM 4 *) BÀI TẬP : Câu 1: Cho hµm sè 1 1 x y x    ( 1 ) cã ®å thÞ ( )C . 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè ( 1). 2. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng ( ) : 2d y x m  lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau. X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®o¹n AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt. Câu 2 : Cho hµm sè 2 12    x x y cã ®å thÞ lµ (C) 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè 2.Chøng minh ®­êng th¼ng d: y = -x + m lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt A, B. T×m m ®Ĩ ®o¹n AB cã ®é dµi nhá nhÊt. Câu 3 : Cho hàm số y = 1 12   x x (1) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuơng gĩc tại O. ( O là gốc tọa độ) Câu 4 : Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hịanh tại một điểm duy nhất. Câu 5 : Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 cĩ đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuơng gĩc nhau. Câu 6: Cho hàm số 2 4 1 x y x    . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số trên. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và cĩ hệ số gĩc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và 3 10MN  . Câu 7 : Cho hàm số 2 2 1 x y x    (C) 1. Khảo sát hàm số. Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 . Câu 8 : 1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số: 2 32    x x y 2. Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C ) tại hai điểm đĩ song song với nhau. Câu 9 : Cho hàm số 3 22 3( 1) 2y x mx m x     (1), m là tham số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m  . 2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : 2y x    tại 3 điểm phân biệt (0;2)A ; B; C sao cho tam giác MBC cĩ diện tích 2 2 , với (3;1).M WWW.VIETMATHS.COM 5 Câu 10 : Cho hàm số y = 2 5 3 2 2 4  x x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số. 2. Cho điểm M thuộc (C) cĩ hồnh độ xM = a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. Câu 11 : Cho hàm số 34 24  xxy . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị )(C của hàm số đã cho. 2. Biện luận theo tham số k số nghiệm của phương trình kxx 334 24  . Câu 12 : Cho hàm số 1. 1 x y x    1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số. 2.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 . 1 x m x    Câu 13 : Cho hàm số 2   x xm y cĩ đồ thị là )( mH , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 1m . 2. Tìm m để đường thẳng 0122:  yxd cắt )( mH tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác cĩ diện tích là . 8 3 S Câu 14 : Cho hàm số . 2 3 42 24  xxy 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm m để phương trình sau cĩ đúng 8 nghiệm thực phân biệt . 2 1 | 2 3 42| 224  mmxx Câu 15 : Cho hàm số y = 2 2 x x  (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 2. Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đĩ là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ. Câu 16 : Cho hàm số 133  xxy (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Định m để phương trình sau cĩ 4 nghiệm thực phân biệt: mmxx 33 33  Câu 17 : Cho hàm số y x x3 23 1    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để phương trình x x m m3 2 3 23 3   cĩ ba nghiệm phân biệt. WWW.VIETMATHS.COM 6 Câu 18 : Cho hàm số 4 25 4  y x x cĩ đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để phương trình 4 2 2| 5 4 | logx x m   cĩ 6 nghiệm. Câu 19 : Cho hàm số: y x x4 22 1   . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x x m4 2 22 1 log 0    (m > 0) Câu 20 : Cho hàm số y f x x x4 2( ) 8 9 1    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x x m4 28cos 9 cos 0   với x [0; ] Câu 21 : Cho hàm số xy x 3 4 2    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau cĩ 2 nghiệm trên đoạn 20; 3       : Câu 22 : Cho hàm số 1. 1 x y x    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 . 1 x m x    Câu 23 : . Cho hàm số 1 1 xy x    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b  cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng (  ): 2 3 0x y   . Câu 24 : Cho hàm số 4 2( ) 8x 9x 1y f x    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 28 os 9 os 0c x c x m   với [0; ]x  . *) Chú ý : Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3 bằng đồ thị Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: 3 2 0ax bx cx d    (a  0) (1) Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: 3 2( )y f x ax bx cx d     Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3  Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung WWW.VIETMATHS.COM 7  CĐ CT f không có cực trị h a f có cực trị h by y ( .1 ) 2 ( .1 ). 0      Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox  2 ( .2). 0CĐ CT f có cực trị hy y     Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  2 ( .3). 0CĐ CT f có cực trị hy y    Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu  Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương  2 . 0 0, 0 . (0) 0 ( 0) CĐ CT CĐ CT f có cực trị y y x x a f hay ad         x1 xA xB xC C (C) yCĐ y A o x2 x a > 0 yCT B f(0) x1 xA xB xC C (C) yCĐ y A o x2 x a < 0 yCT B f(0) x"0 C x1 (C) yCĐ y A o x2 x (H.3) yCĐ x0 x'0 B (C) yCĐ y A x0 o x1 B x'0 (yCT = f(x0) = 0) x (H.2) (C) A x0 O x y (h.1a) (C) A x0 x y (h.1b) x1 o x2 yCT yCĐ WWW.VIETMATHS.COM 8  Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm  2 . 0 0, 0 . (0) 0 ( 0) CĐ CT CĐ CT f có cực trị y y x x a f hay ad         Câu 25: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuơng gĩc với nhau. Câu 26 : Cho hàm số y x x3 – 3 1  cĩ đồ thị (C) và đường thẳng (d): y mx m 3   . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuơng gĩc với nhau. Câu 27 : Cho hàm số y x x3 23 4   (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) cĩ hệ số gĩc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuơng gĩc với nhau. Câu 28 : Cho hàm số y x x3 3  (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y m x( 1) 2   luơn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuơng gĩc với nhau. Câu 29 : Cho hàm số y x mx m x m3 2 2 23 3( 1) ( 1)      ( m là tham số) (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ dương. Câu 30 : Cho hàm số 3 21 2 3 3 y x mx x m     cĩ đồ thị mC( ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1. 2) Tìm m để mC( ) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ tổng bình phương các hồnh độ lớn hơn 15. Câu 31 : Cho hàm số mxxxy  93 23 , trong đĩ m là tham số thực. x1 xA xB xC C (C) yCĐ y A o x2 x a > 0 yCT B f(0) xC x2 x1 xA xB C (C) yCĐ y A o x a < 0 yCT B f(0) WWW.VIETMATHS.COM 9 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi 0m . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng.  Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng  Phương trình 3 23 9 0   x x x m cĩ 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng  Phương trình 3 23 9x x x m    cĩ 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng  Đường thẳng y m  đi qua điểm uốn của đồ thị (C) .11 11m m      Câu 32 : Cho hàm số y x mx x3 23 9 7    cĩ đồ thị (Cm), trong đĩ m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi 0m . 2) Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng. Câu 33 : Cho hàm số 3 23y x mx mx   cĩ đồ thị (Cm), trong đĩ m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m 1 . 2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y x 2  tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số nhân. Câu 34 : Cho hàm số y x mx m x3 22 ( 3) 4     cĩ đồ thị là (Cm) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1. 2) Cho đường thẳng (d): y x 4  và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC cĩ diện tích bằng 8 2 . Câu 35 : Cho hàm số y x x3 23 4   cĩ đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm A( 1;0) với hệ số gĩc k k( ) ¡ . Tìm k để đường thẳng kd cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 1 . Câu 36 : Cho hàm số y x x3 23 2   cĩ đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 . Câu 37 : Cho hàm số y x mx3 2   cĩ đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất. Câu 38 : Cho hàm số y x m x mx3 22 3( 1) 6 2     cĩ đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất. Câu 39 : Cho hàm số y x x x3 26 9 6    cĩ đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Định m để đường thẳng d y mx m( ) : 2 4   cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Câu 40 : Cho hàm số y x x3 2– 3 1  . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. WWW.VIETMATHS.COM 10 2) Tìm m để đường thẳng (): y m x m(2 1) – 4 –1  cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt. Câu 41 : Cho hàm số 3 23 2y x m x m   cĩ đồ thị (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại đúng hai điểm phân biệt. Câu 42 Cho hàm số y x mx m4 2 1    cĩ đồ thị là  mC 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 8 . 2) Định m để đồ thị  mC cắt trục trục hồnh tại bốn điểm phân biệt. Câu 43 Cho hàm số  4 22 1 2 1y x m x m     cĩ đồ thị là  mC . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0m . 2) Định m để đồ thị  mC cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng. Câu 44 Cho hàm số y x m x m4 2– (3 2) 3   cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đường thẳng y 1  cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2. Câu 45 Cho hàm số  4 22 1 2 1y x m x m     cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 3. Câu 46 Cho hàm số 4 2 2 42 2y x m x m m    (1), với m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m  .. 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luơn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi 0m  . Câu 47 Cho hàm số xy x 2 1 2    cĩ đồ thị là (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y x m   luơn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB cĩ độ dài nhỏ nhất. Câu 48 Cho hàm số 3 1 x y x    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( 1;1)I và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. Câu 49 Cho hàm số 2 4 1 x y x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và cĩ hệ số gĩc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho 3 10MN  . WWW.VIETMATHS.COM 11 Câu 50 : Cho hàm số 2 2 1 x y x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng (d): y x m2  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 5AB . Câu 51 : Cho hàm số xy x m 1   (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 . 2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y x 2  cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB 2 2 . Câu 52 : Cho hàm số 2 1 1 x y x    (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d: y x m  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuơng tại O. Câu 53 : Cho hàm số: xy x 2 2    . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luơn cĩ cặp điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) và thỏa A A B B x y m x y m 0 0         . 3.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D. a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. WWW.VIETMATHS.COM 12 III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0. VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1.  Tìm f (x).  Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.  Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. Qui tắc 2: Dùng định lí 2.  Tính f (x).  Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ).  Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, ). Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi. VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0. Chú ý:  Hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d    có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: + 3 20 0 0 0( )y x ax bx cx d    + 0 0( )y x Ax B  , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.  Hàm số 2 ' ' ax bx cy a x b     = ( ) ( ) P x Q x (aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a  . WWW.VIETMATHS.COM 13 Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: 00 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x  hoặc 00 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x   Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.  Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et. VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba 3 2( )y f x ax bx cx d     .  Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.  Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì: 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) y f x Ax B y f x Ax B          Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. 2) Hàm số phân thức 2( )( ) ( ) P x ax bx cy f x Q x dx e       .  Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 00 0 '( ) '( ) P x y Q x  .  Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là: '( ) 2 '( ) P x ax by Q x d    . Câu 54 : Cho hàm số y x x mx m3 23 – 2    (m là tham số) cĩ đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh. Câu 55 : Cho hàm số y x m x m m x3 2 2(2 1) ( 3 2) 4        (m là tham số) cĩ đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Câu 56 : Cho hàm số 3 21 (2 1) 3 3 y x mx m x     (m là tham số) cĩ đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2) Xác định m để (Cm) cĩ các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Câu 57 : Cho hàm số 3 23 2y x x mx    (m là tham số) cĩ đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) cĩ các điể