Giáo án lớp 12a môn Đại số - Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

1 Tiếp tuyến và sự tiếp xúc Mục lục Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm ..................................................2 A. Tóm tắt lý thuyết ..............................................................................................................2 B. Một số ví dụ .......................................................................................................................3 C. Bài tập ............................................................................................................................. 10 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 11 Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến ................................................................... 12 A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 12 B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 12 C. Bài tập ............................................................................................................................. 20 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 21 Loại 3. Điều kiện tiếp xúc ........................................................................................................ 22 A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 22 B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 23 C. Bài tập ............................................................................................................................. 27 D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 28 2 Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm A. Tóm tắt lý thuyết Cho  y f x  C . * Tiếp tuyến tại một điểm (Hình 1): Tiếp tuyến với  C tại   0 0M x ;f x là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc  0f ' x . Như vậy, PTTT với  C tại M là:      0 0 0: y f ' x x x f x    . Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến của  C tại M , ta phải hiểu rằng  M C và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc. Δ O y x M x0;f x0   C( ) Hình 1 * Tiếp tuyến qua một điểm: Tiếp tuyến qua M của  C là tiếp tuyến với  C tại một điểm N nào đó. Ta có ba trường hợp sau: +) Trường hợp 1 (Hình 2):  M C . +) Trường hợp 2 (Hình 3):  M C , M không phải tiếp điểm. +) Trường hợp 3(Hình 4):  M C , M là tiếp điểm. Trong trường hợp này, tiếp tuyến qua M chính là tiếp tuyến tại M . N M (C) Hình 2 M N (C) Hình 3 M≡N (C) Hình 4 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho   2x x 1 23x 1 f x      C . Viết PTTT của  C tại điểm M có hoành độ bằng 1 . Giải Ta có   14f 1  ,     23x 4x 1 2 23x 1 f ' x        18f ' 1    PTTT với  C tại M là:  1 18 4: y x 1      31 8 8: y x    . Ví dụ 2. Cho   3 2f x x 4x 5x 2     C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của  C với trục hoành. Giải  M C Ox       3 2y x 4x 5x 2 1M : y 0 2        . Thay  2 vào  1 ta được 3 2x 4x 5x 2 0        2x 2 x 1 0    x 2 x 1      . Vậy  C có hai giao điểm với trục hoành là  1M 2;0 và  2M 1;0 . Ta có   2f ' x 3x 8x 5   . +)  f ' 2 1   PTTT với  C tại 1M là  1 : y 1. x 2 0     1 : y x 2   . +)  f ' 1 0   PTTT với  C tại 2M là  2 : y 0. x 1 0     2 : y 0  . Vậy phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của  C với trục hoành là 1 : y x 2   , 2 : y 0  . Ví dụ 3. Cho   3 223f x x x 2x 2     C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của  C . Giải 4 PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là      0 0 0: y f ' x x x f x    .  có hệ số góc bằng 2 khi và chỉ khi  0f ' x 2  2 0 02x 2x 2 2    2 0 0x x 2 0    0 0 x 1 x 2     . +) 0x 1     70 3f x     7 3: y 2 x 1     13 3: y 2x   . +) 0x 2    20 3f x      2 3: y 2 x 2     14 3: y 2x   . Vậy phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của  C là: 13 3: y 2x   và 14 3: y 2x   . Ví dụ 4. Cho   3 2f x x 3x 12x 5     C . Viết PTTT có hệ số góc nhỏ nhất của  C . Giải Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C là:    220 0 0 0k f ' x 3x 6x 12 3 x 1 15       . Ta thấy k 15  , dấu “ ” xảy ra  0x 1 . Do đó k nhỏ nhất bằng 15 , đạt được  0x 1 .  f 1 9   tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C là:  : y 15 x 1 9      : y 15x 6    . Ví dụ 5. [ĐHB08] Cho    3 2f x 4x 6x 1 C   . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm  M 1; 9  của  C . Giải PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: y f ' x x x f x        2 3 20 0 0 0 0: y 12x 12x x x 4x 6x 1       .  đi qua  M 1; 9      2 3 20 0 0 0 09 12x 12x 1 x 4x 6x 1        5  3 20 0 08x 6x 12x 10 0        20 04x 5 x 1 0    5 0 4 0 x x 1       . +) 50 4x       15 0 4 9 0 16 f ' x f x        15 5 94 64 1: y x     15 214 4: y x   . +) 0x 1       0 0 f ' x 24 f x 9        : y 24 x 1 9     : y 24x 15   . Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C là 15 214 4: y x   , : y 24x 15   . Ví dụ 6. Cho   1 xx 1f x     C . Chứng minh qua điểm  I 1; 1  không tồn tại tiếp tuyến của  C . Giải PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: y f ' x x x f x         1 x02 02 x 10x 10 : y x x       . d đi qua  I 1; 1       1 x02 02 x 10x 10 1 1 x         1 x02 x 1 x 10 0 1        3 x0 x 10 1       0 0 0 x 1 3 x x 1 0         0x  . 6 Vậy không tồn tại 0x để  đi qua I . Nói cách khác qua I không tồn tại tiếp tuyến của  C . Ví dụ 7. Cho    2f x 4x 3mx 6 C   . Tìm m để  C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2 . Giải PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: y f ' x x x f x         20 0 0 0: y 8x 3m x x 4x 3mx 6       .  C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2  0x :  đi qua A  phương trình:     20 0 0 02 8x 3m 1 x 4x 3mx 6        * có nghiệm đối với 0x . Ta có:  *  20 04x 8x 3m 8 0    ( ' 12m 48   ). Do đó  * có nghiệm  ' 0   12m 48 0   m 4  . Vậy  C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2  m 4  . Ví dụ 8. Cho   2x 1x 2f x     C . Tìm trên đường thẳng x 3 các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của  C . Giải PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0x 2 ) là:      0 0 0: y f ' x x x f x         2x 15 002 x 20x 20 : y x x       . Điểm A nằm trên đường thẳng x 3  tọa độ A có dạng  A 3;a . Qua A có tiếp tuyến tới  C 7  tồn tại 0x sao cho  qua A  phương trình     2x 15 002 x 20x 20 a 3 x       1 có nghiệm đối với 0x . Ta thấy  1           20 0 0 0 0 0 a x 2 5 3 x 2x 1 x 2 x 2 0 x 2 0                       20 0 0 0a x 2 5 3 x 2x 1 x 2           20 0a 2 x 2 2a 1 x 4a 17 0       2 . * a 2 0   a 2 . Khi đó  2 trở thành 010x 21 0    210 10x  . Do đó trong trường hợp này  2 có nghiệm   1 có nghiệm. * a 2 0   a 2 . Khi đó  2 là phương trình bậc hai có ' 5a 35    . Do đó, trong trường hợp này  1 có nghiệm   2 có nghiệm  ' 0   5a 35 0    a 7 . Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là   A 3;a a 7 . Ví dụ 9. [ĐHD02] Cho     22m 1 x m x 1f x      C và d : y x . Tìm m để  C tiếp xúc với d . Giải PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0x 1 ) là:      0 0 0: y f ' x x x f x         22 2m 1 x m0m 1 0x 1 x 10 0 : y x x             .    22 2 2m 1 x m0m 1 m 1 0x 1 x 1 x 10 0 0 : y x x                     .  C tiếp xúc với d  0x : d  8  hệ   2 m 1 x 10 22 2m 1 x m0m 1 0x 1 x 10 0 1 x 0                       * có nghiệm đối với 0x . Ta có  *        2 m 1 x 10 22m 1 x m0 0 x 10 1 1 x 0 2                  1  0 0 0 x 1 x 1 m 1 x 1 1 m           0 0 0 x 1 x m x 2 m       . +) m 1  m 2 m 1     1 vô nghiệm   * vô nghiệm. +) m 1 :  1  0 0 x m x 2 m     . 0x m        22m 1 m m m 1VT 2 m 0 VP 2          0x m là một nghiệm của  *   * có nghiệm. Vậy  C tiếp xúc với d  m 1 . Ví dụ 10. Cho   4 2f x x 8x 7    C . Tìm m để đường thẳng d : y 60x m  tiếp xúc với  C . Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và  C . Giải PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0: y f ' x x x f x    9       0 0 0: y f ' x x x f x    .       0 0 0 0: y f ' x x x f ' x f x    .  C tiếp xúc với d  0x : d   hệ       0 0 0 0 f ' x 60 x f ' x f x m        * có nghiệm đối với 0x . Ta có  *          0 0 0 f ' x 60 1 m 60x f x 2       .  1  30 04x 16x 60   0x 3 . Thay 0x 3 vào  2 ta có: m 164  . Vậy d tiếp xúc với  C  m 164  . Khi đó hoành độ tiếp điểm là 0x 3 . 10 C. Bài tập Bài 1. Viết PTTT của  C biết rằng 1)  C là ĐTHS   4 2f x x 2x 3   và hoành độ tiếp điểm bằng 2 . 2)  C là ĐTHS   2x 3x 4 x 1f x     và tiếp điểm là giao điểm của  C với trục tung. 3)  C là ĐTHS   3 2f x 2x 3x 5   và tiếp tuyến đi qua  1912A ;4 . Bài 2. Viết PTTT của  C biết 1)  C là ĐTHS   3 2f x x 3x 5x 1    , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 2)  C là ĐTHS   3 213f x x x 5x 2     , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. 3)  C là ĐTHS   5 4f x x 5x  , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 4)  C là ĐTHS   5 2f x x 10x   , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. Bài 3. Cho  3 21y x mx x m 1 C 3      . Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là 10 . Viết phương trình các tiếp tuyến đó. Bài 4. Cho   3 2f x 2x 3x 12x 1     C . Tìm những điểm thuộc  C mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ. Bài 5. Cho   xx 1f x   C . Chứng minh rằng qua  I 1;1 của  C , không tồn tại tiếp tuyến nào của  C . Bài 6. Tìm m sao cho ĐTHS   x mx 1 mf x     có tiếp tuyến đi qua điểm  A 0; 2 . 11 D. Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 1) y 24x 43  . 2) y 7x 4  . 3) y 12x 15  , 6452132 128y x   , y 4 . Bài 2. 1) y 2x 2  . 2) 73y 6x  . 3)    4 3 30 0 0 0 0f ' x 5x 20x 5x x 4    .  0f ' x min  04 x 0   . Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương 0x , 0x , 0x , 03x 12 ta có:                 4x x x 3x 120 0 0 0 0 0 0 0 4x x x 3x 12 81                    0f ' x 135  . Dấu “ ” xảy ra  0x 3  .  PTTT của hệ số góc nhỏ nhất của  C là: d : y 135x 243   . 4) Tương tự câu 3): PTTT có hệ số góc lớn nhất của  C là: d : y 15x 6  . Bài 3. Ta có  22 2 2y ' x 2mx 1 x m m 1 m 1          . Dấu “ ” xảy ra  x m . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng m và hệ số góc của tiếp tuyến này là 2m 1  . Ta có 2m 1 10     m 3  . Với m 3 , tiếp tuyến cần tìm là 1d : y 10x 11   , Với m 3  , tiếp tuyến cần tìm là 2d : y 10x 13   . Bài 4. Trên  C có một điểm mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ là  M 1;12 . Bài 6. ĐTHS có tiếp tuyến qua  A 0; 2  23 m 1  . 12 Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến A. Tóm tắt lý thuyết Phần này sử dụng một số kiến thức sau: * Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc: Cho 1 1 1: y k x m   và 2 2 2: y k x m   . Ta có: +) 1 2    1 2 1 2 k k m m    . +) 1 2   1 2 1 2 k k m m    . + ) 1 2    1 2k k 1  . +) 1 tạo với 2 góc  (  0 ;90   )  k k1 21 k k1 2 tan     . Đặc biệt nếu 2k 0 ( 2d vuông góc với trục tung) thì: 1 tạo với 2 góc  (  0 ;90   )  1k tan  . * Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: cho điểm  0 0M x ;y và đường thẳng : ax by c 0    ( 2 2a b 0  ). Ta có công thức tính khoảng cách từ M đến  :   ax by c0 0 2 2a b d M;      . * Giao điểm của hai đường thẳng: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD10]   4 2f x x x 6     C . Viết PTTT vuông góc với đường thẳng 1 6d : y x 1  của  C . Giải  là tiếp tuyến với  C tại điểm có hoành độ 0x   có hệ số góc là  0f ' x . 13 d    1 06 .f ' x 1    0f ' x 6   30 04x 2x 6     30 02x x 3 0       20 0 0x 1 2x 2x 3      0 2 0 0 x 1 0 2x 2 0x 0 ' 53            voâ nghieäm  0x 1 . 0x 1   0f x 4   : y 6 x 1 4      : y 6x 10    . Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của  C là : y 6x 10    . Ví dụ 2. [ĐHD05] Cho   3 21 m 13 2 3f x x x    mC . Gọi M là điểm thuộc  mC có hoành độ bằng 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M của  mC song song với đường thẳng d : 5x y 0  . Giải  là tiếp tuyến tại M của  mC       : y f ' 1 x 1 f 1          m2: y m 1 x 1        m2: y m 1 x 1     . Ta có d : y 5x . Do đó d   m 2 m 1 5 1 0       m 4 . Vậy tiếp tuyến tại M của  mC song song với đường thẳng d  m 4 . 14 Ví dụ 3. Cho   3 2f x 2x 4x x    C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 . Giải Hệ số góc của tiếp tuyến  tại điểm có hoành độ 0x của  C là:   20 0 0k f ' x 6x 8x 1    .  ,Ox 45    k tan45   k 1 k 1     . * k 1  20 06x 8x 1 1    0 4 0 3 x 0 x    . +) 0x 0   0f x 0  : y x  . +) 40 3x     28 0 27f x      2843 27: y 1. x     6427: y x   . * k 1   20 06x 8x 1 1     0 1 0 3 x 1 x    . +) 0x 1   0f x 1    : y x 1 1      : y x   . +) 10 3x     1 0 27f x     1 13 27: y x      827: y x    . Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của  C là: y x , 6427: y x   , y x  , 8 27y x   . Ví dụ 4. Cho    4 2124f x mx 3m x 2     mC . Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ bằng 1 và 2 của  mC . Tìm m để các tiếp tuyến của  mC tại A và B vuông góc với nhau. Giải 15 Ta có    3 112f ' x 4mx 6m x    hệ số góc các tiếp tuyến của  mC tại A và B lần lượt là:   112f ' 1 10m    và   1 6f ' 2 44m  . Do đó các tiếp tuyến của  mC tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi    f ' 1 .f ' 2 1       1 112 610m 44m 1      2 16 713 72440m m 0    1 24 71 1320 m m       . Ví dụ 5. Cho   1 x2x 1f x     C . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách  1 12 2I ; một khoảng bằng 3 10 . Giải PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 10 2x   ) là:      0 0 0: y f ' x x x f x         1 x3 002 2x 102x 10 : y x x            1 x3 002 2x 102x 10 : y x x         2 20 0 0: 3x 2x 1 y 2x 4x 1 0       .          2 23 1 2x 1 2x 4x 10 00 3 2x 12 2 0 4 49 2x 1 9 2x 10 0 d I;               . Do đó:   3 10 d A;     3 2x 10 3 4 109 2x 10     16     4 20 02x 1 10 2x 1 9 0          2 0 2 0 2x 1 1 2x 1 9        0 0 0 0 x 0 x 1 x 1 x 2          . +) 0x 0      0 0 f ' x 3 f x 1       : y 3x 1    . +) 0x 1       0 0 f ' x 3 f x 2         : y 3 x 1 2      : y 3x 5    . +) 0x 1      1 0 3 0 f ' x f x 0        13: y x 1     1 1 3 3: y x    . +) 0x 2       1 0 3 0 f ' x f x 1         13: y x 2 1      51 3 3: y x    . Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 3x 1   , y 3x 5   , 1 13 3y x   , 51 3 3y x   . Ví dụ 6. Cho   3 21 x xf x     C .Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách đều các điểm  A 7;6 và  B 3;10 . Giải PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0x 1  ) là: 17      0 0 0: y f ' x x x f x         3 2x5 002 x 10x 10 : y x x          2 20 0 0: 5x x 1 y 2x 6x 3 0       .  cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:    d A, d B,            2 22 235 6 x 1 2x 6x 3 15 10 x 1 2x 6x 30 0 0 00 0 4 425 x 1 25 x 10 0                   2 20 0 0 08x 6x 32 12x 14x 8      2 20 0 0 04x 3x 16 6x 7x 4        2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 4x 3x 16 6x 7x 4 4x 3x 16 6x 7x 4                 voâ nghieäm20 0 2 0 0 x 2x 6 0 ' 5 0 x x 2 0                0 0 x 1 x 2     . +) 0x 1      5 0 4 1 0 2 f ' x f x        54 1 2: y x 1      5 7 4 4: y x    . +) 0x 2       0 0 f ' x 5 f x 7         : y 5 x 2 7      : y 5x 17    . Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A và B của  C là: 5 74 4y x   , y 5x 17   . Ví dụ 7. Cho   2x 1x 1f x     C . Tìm tọa độ điểm  M C sao cho khoảng cách từ điểm  I 1;2 tới tiếp tuyến của  C tại M đạt giá trị lớn nhất. 18 Giải Giả sử 0x là hoành độ của M  tiếp tuyến tại M của (C) có phương trình:      0 0 0: y f ' x x x f x        3 02x 1 00 3: y x x 2 x 1          2 20 0 03x x 1 y 2x x 5 0      .              2 23 2 x 1 2x 2x 10 00 6 x 10 6 4 4 299 x 1 9 x 1 x 10 0 02x 10 d I,                  . Theo bất đẳng thức Cô-si:    29 02x 10 x 1 2 9 6      , vậy  d I, 6  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    202 0 9 x 1 x 1      20x 1 3   0x 1 3   . Vậy khoảng cách  d I, lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi 0x 1 3     M 1 3;2 3   hoặc  M 1 3;2 3   Ví dụ 8. [ĐHD07] Cho    2xx 1f x C . Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến của  C tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho OAB có diện tích bằng 14 . Giải Ta có     2 2x 1 f ' x   . Xét điểm  M C , M có hoành độ 0x . Ta có PTTT với  C tại M :      0 0 0: y f x x x f x         2x02 02 x 10x 10 : y x x           22x02x 2 2x 1 x 10 0 : y      . 19 A Ox        22x02x 2 2x 1 x 10 0A : y 0 y            20A x ;0 , B Oy       22x02x 2 2x 1 x 10 0A : x 0 y             22x0 2x 10 B 0;          . Ta có 20OA x ,   22x0 2x 10 OB      xOA.OB 0 ABC 2 2x 1 4 0 S    . 1 OAB 4S     x0 1 2 4x 10 4     20 04x x4 1    0 0 0 2 0 2 2x x 1 2x x 1          voâ nghieäm 0 0 0 0 2 2 2x x 1 0 2x x 1 0 7 0                0 1 0 2 x 1 x         12 M 1;1 M ; 2       . 20 C. Bài tập Bài 1. Viết PTTT của  C biết rằng 1) [ĐHB06]  C là ĐTHS 2x x 1 x 2y     và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y x 1  . 2)  C là ĐTHS 1 2x2x 1y    và tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4x y 1 0   . 3)  C là ĐTHS 3 21 12 2y x x 2x 1    và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x 3y 1 0   góc o45 . Bài 2. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị  C của hàm số 31 23 3y x x   mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 1 23 3d : y x   . Bài 3. Cho  4 212y mx 2m x 3     mC . Tìm m để tiếp tuyến của  mC tại các điểm có hoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng 3 13 . Bài 4. Cho    3 213y mx m 1 x 3m 4 x 1       mC . Tìm điều kiện của m để  mC có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012  . Bài 5. Cho 3 xx 4y     C . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách  A 4; 1  một khoảng bằng 7 2 5 . Bài 6. Cho   x 13x 4f x     C . Viết PTTT của  C biết khoảng cách từ điểm  4 13 3I ; tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất. Bài 7. [ĐHA09] Cho    x 22x 3f x C    . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho OAB cân tại O . Bài 8. Cho       x 3 2 x 1 f x C   . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O . Bài 9. Cho    2xx 2f x C . Viết PTTT của  C biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB OA 2 . 21 D. Hướng dẫn và đáp số Bài 1. 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 2 2 5    , y x 2 2 5    . 2) Chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 4x 7   . 3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1 1 2 2y x  , 2291 2 54y x  , y 2x 1   , 29 27y 2x   . Bài 2. Trên  C có hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với d là:  2;0 và  432; . Bài 3. 148m  hoặc 7 240m   . Bài 4.  mC có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012   phương trình    20 0mx 2 m 1 x 3m 4 1      có nghiệm đối với 0x  12 m 1   . Bài 5. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 7x 15   , y 7x 43   , 317 7y x   , 251 7 7y x   . Bài 6. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 1  , 73y x  . Bài 7. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 2   . Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là: 32y x   , 5 2y x   . Bài 9. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 4   . 22 Loại 3. Điều kiện tiếp xúc A. Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa (Hình 5): Cho  y f x  C và  y g x  C' .  C và  C' tiếp xúc với nhau tại điểm  0 0M x ;y nếu cả hai điều kiện sau đây thỏa mãn: +) M là một điểm chung của  C và  C' . +) Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau. Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho. y xO y0 x0 M Hình 5 * Điều kiện tiếp xúc: Để xét sự tiếp xúc của hai ĐTHS  y f x  C và  y g x  C' , ta xét hệ:           f x g x * f ' x g' x     . Ta có: +)  C và  C' tiếp xúc nhau  hệ  * có nghiệm đối với x . +) Nghiệm của  * chính là hoành độ tiếp điểm. +) 0x là hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung của  C và  C' tại điểm có hoành độ 0x là:      0 0 0y f ' x x x f x   . Hệ quả: Đường thẳng y kx m  là tiếp tuyến của ĐTHS  y f x  C khi và chỉ khi hệ     f x kx m f ' x k      có nghiệm đối với x . 23 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [SGKNC] Cho 3 54y x x 2    C và 2y x x 2    C' . Chứng minh  C và  C' tiếp xúc nhau và viết PTTT chung. Giải Ký hiệu   3 54f x x x 2   và   2g x x x 2   . Xét hệ:         f x g x f ' x g' x      I . Ta có  I      3 25 4 ' '3 25 4 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2                 3 2 x 4 2 5 4 x x 0 3x 2x 1          12x  . Vậy  C và  C' tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng 12 .     51 2 4 1 2 g g ' 2         PTTT chung là:   512 4y 2 x   hay 94y 2x  . Ví dụ 2. [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng y kx m  là tiếp tuyến của parabol 2y ax bx c   (a 0 ) khi và chỉ khi phương trình 2ax bx c kx m     1 có nghiệm kép. Giải Ta có  1   2ax b k x c m 0     (    2b k 4a c m     ). Do đó:  1 có nghiệm kép  0      2b k 4a c m 0    . Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với x  I 2ax bx c kx m 2ax b k         . 24 Ta có  I          2 k b 2a ax b k x c m 0 1 x 2     