Giáo án môn Đại số lớp 11 - Chương V: Đạo hàm

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1 CHƯƠNG V. ðẠO HÀM § 1. ðỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ðẠO HÀM KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. ðịnh nghĩa Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên khoảng (a; b), 0 0( ; ), ( ; )x a b x x a b∈ + ∆ ∈ Nếu tồn tại., giới hạn (hữu hạn) 0 0 0 ( ) ( )lim x f x x f x x∆ → + ∆ − ∆ ñược gọi là ñạo hàm của ( )f x tại 0x Kí hiệu là 0'( )f x hay 0'( )y x 0x x x∆ = − gọi là số gia của ñối số tại x0. 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f x∆ = − = + ∆ − gọi là số gia tương ứng của hàm số. 2. Quy tắc tính ñạo hàm bằng ñịnh nghĩa ðể tính ñạo hàm của hàm số ( )y f x= tại ñiểm x0 bằng ñịnh nghĩa, ta có qui tắc: Qui tắc: B1. Với x∆ là số gia của ñối số tại x0, tính 0 0( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − ; B2. Lập tỉ số x y ∆ ∆ B3. Tính 0 lim x x y∆ → ∆ ∆ 3. Quan hệ giữa tồn tại ñạo hàm và tính liên tục của hàm số ðịnh li 1. Nếu hàm số ( )y f x= có ñạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại ñiểm ñó. Nghĩa là: 4. Ý nghĩa hình học của ñạo hàm ðịnh lí 2. ðạo hàm của hàm số ( )y f x= tại ñiểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại ñiểm ( )0 0 0; ( )M x f x . Khi ñó phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại M0 là: 0 0 0'( )( )y y f x x x− = − , trong ñó 0 0( )y f x= . Chú ý: Ta có thể dễ dàng chứng minh sự không tồn tại ñạo hàm tại một ñiểm nhờ khái niệm ñạo hàm một bên và ñịnh lí: 0 0 0 0 '( ) '( ) '( ) '( ) '( ) f x f x f x f x f x + − + − ∃  ∃ ⇔ ∃ ∃ = ∃ Trong ñó 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim ; '( ) lim x x x x f x f x f x f xf x f x x x x x+ − + − → → − − = = − − và 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f xf x x x→ − = − ( )f x có ñạo hàm tại x0 ( )f x liên tục tại x0 ðúng Sai Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2 BÀI TẬP Bài 1. Bằng ñịnh nghĩa, hãy tính ñạo hàm của các hàm số sau: a) 1( )f x x = tại ñiểm 0 2x = b) 2( )f x x= tại ñiểm 0 2x = HD c) ( ) 2 1f x x= − tại ñiểm 0 5x = d) 1( ) 1 xf x x + = − tại ñiểm 0 0x = a) 1( )f x x = tại ñiểm 0 2x = Tập xác ñịnh của hàm số là { }\ 0D = ℝ Với x∆ là số gia của ñối số tại 0 2x = sao cho 2 x D+ ∆ ∈ , Thì 0 0 1 1( ) ( ) (2 ) (2) 2 2 2(2 ) xy f x x f x f x f x x ∆∆ = + ∆ − = + ∆ − = − = − + ∆ + ∆ Ta có 1 2(2 ) y x x ∆ = − ∆ + ∆ 0 0 1 1 '( ) lim lim 2(2 ) 4x x yf x x x∆ → ∆ →  ∆ = = − = − ∆ + ∆  Vậy 1'(2) 4 f = − b) 2( )f x x= tại ñiểm 0 2x = Tập xác ñịnh của hàm số là D = ℝ Với x∆ là số gia của ñối số tại 0 2x = sao cho 2 x D+ ∆ ∈ , thì ( )2 20 0( ) ( ) (2 ) (2) 2 2 (4 )y f x x f x f x f x x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆ Ta có 4y x x ∆ = + ∆ ∆ ( ) 0 0 '(2) lim lim 4 4 x x yf x x∆ → ∆ → ∆ = = + ∆ = ∆ Vậy '(2) 4f = c) ( ) 2 1f x x= − tại ñiểm 0 5x = Tập xác ñịnh của hàm số ñã cho là 1/ 2 D x x = ≥    Với x∆ là số gia của ñối số tại 0 5x = sao cho 5 x D+ ∆ ∈ , thì 0 0( ) ( ) (5 ) (5) 9 2 9y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − Ta có 9 2 9y x x x ∆ + ∆ − = ∆ ∆ Khi ñó 0 0 0 9 2 9 2 1 '(5) lim lim lim 39 2 9x x x y xf x x x∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ − = = = = ∆ ∆ + ∆ + d) 1( ) 1 xf x x + = − tại ñiểm 0 0x = Tập xác ñịnh của hàm số ñã cho là { }\ 1D = ℝ Với x∆ là số gia của ñối số tại 0 0x = sao cho 0 x D+ ∆ ∈ , thì 0 0 1 1 1 2( ) ( ) 1 1 1 1 1 x x xy f x x f x x x x ∆ + ∆ + ∆∆ = + ∆ − = − = + = ∆ − − ∆ − ∆ − Ta có 2 1 y x x ∆ = ∆ ∆ − Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 3 Khi ñó 0 0 2 '(0) lim lim 2 1x x yf x x∆ → ∆ → ∆ = = = − ∆ ∆ − Bài 2. Tính (bằng ñịnh nghĩa) ñạo hàm của mỗi hàm số sau tại các ñiểm ñã chỉ ra: a) 2y x x= + tại 0 1x = b) 1y x = tại 0 2x = c) 2 1y x= + tại 0 2x = d) 2 3y x x= + tại 0 1x = HD a) 3 b) 1 4 − c) 2 d) 5 Bài 3. Chứngminh rằng hàm số 2 2 ( 1) ; 0( ) ; 0 x xf x x x  − ≥ =  − < không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0 nhưng có ñạo hàm tại ñiểm x = 2. HD Ta có: (0) 1f = , 2 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1 x x f x x + +→ → = − = và 2 0 0 lim ( ) lim( ) 0 x x f x x − −→ → = − = Nhận thấy 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + −→ → ≠ nên hàm số ( )y f x= gián ñoạn tại x = 0. Từ ñó suy ra hàm số ñó không có ñạo hàm tại x = 0. Ta có [ )2 0;x = ∈ +∞ và 2 2 0 0 0 0 (2 ) (2) (1 ) 1lim lim lim lim (2 ) 2 x x x x y f x f x x x x x∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ − + ∆ − = = = + ∆ = ∆ ∆ ∆ Vậy hàm số ( )y f x= có ñạo hàm tại x = 2 và '(2) 2f = Bài 4. Chứngminh rằng hàm số 2 2 ( 1) ; 0( ) ( 1) ; 0 x xf x x x  − ≥ =  + < không có ñạo hàm tại x = 0, nhưng liên tục tại ñiểm ñó. HD Ta có (0) 1f = 0 0 0 00 ( ) ( ) '( ) lim lim ( 2) 2 x x f x f xf x x x x+ + + → → − = = − = − − 0 0 0 00 ( ) ( ) '( ) lim lim( 2) 2 x x f x f xf x x x x− + − → → − = = + = − Vì 0 0'( ) '( )f x f x+ −≠ nên hàm số ( )y f x= không có ñạo hàm tại x = 0. Mặt khác, ta có 2 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1 x x f x x + +→ → = − = 2 0 0 lim ( ) lim( 1) 1 x x f x x − −→ → = + = Và (0) 1f = nên hàm số ( )y f x= liên tục tại ñiểm x = 0. Bài 5. Chứng minh rằng hàm số cos ; 0( ) sin ; 0 x x y f x x x ≥ = =  − < không có ñạo hàm tại x = 0. HD Ta có 0 0 lim ( ) lim cos 1 x x f x x + +→ → = = 0 0 lim ( ) lim ( sin ) 0 x x f x x − −→ → = − = (0) cos0 1f = = Nhận thấy 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + −→ → ≠ nên hàm số ( )y f x= gián ñoạn tại x = 0 Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0. Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4 Bài 6. Chứng minh rằng hàm số 2 3 1; 0( ) ; 0 x x y f x x x  + ≥ = =  < không có ñạo hàm tại x = 0. HD Ta có 2 0 0 lim ( ) lim( 1) 1 (0) x x f x x f + +→ → = + = = 3 0 0 lim ( ) lim 0 x x f x x − −→ → = = Nhận thấy 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + −→ → ≠ nên hàm số ( )y f x= gián ñoạn tại x = 0 Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0. Bài 7. Cho parabol 2 3 2y x x= − + − . Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 2 HD Bằng ñịnh nghĩa, ta tính ñược y’(2) = -1. Do ñó hệ số góc của tiếp tuyến là – 1 Ngoài ra, ta có y(2) = 0 Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm M0(2; 0) là: y – 0 = (-1)(x – 2) hay y = - x + 2 Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = x3 a) Tại ñiểm (- 1; -1) b) Tại ñiểm có hoành ñộ bằng 2 c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 HD Trước hết ta tính ñạo hàm của hàm số 3( )y f x x= = tại x0 tùy ý trên ℝ , có một số gia x∆ Tính ( )3 3 2 20 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) 3 3y f x x f x x x x x x x x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆ ( )2 2 20 0 00 0lim lim 3 3 3x xy x x x x xx∆ → ∆ → ∆ = + ∆ + ∆ = ∆ a) Tại tiếp ñiểm x0 = -1, '( 1) 3f − = . Vậy tiếp tuyến cần tìm: y – (- 1) = 3[x – (-1)] hay y = 3x + 2 b) Tại ñiểm x0 = 2, ta có '(2) 12f = và 3(2) 2 8f = = Vậy pttt cần tìm: y – 8 = 12 ( x – 2) hay y = 12x – 16 c) Biết 0'( ) 3f x = , nên ta có 020 0 1 (1) 1 3 3 1 ( 1) 1 x f x x f = ⇒ = = ⇔  = − ⇒ − = − Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x – 2 và y = 3x + 2 Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường hypebol 1y x = a) Tại ñiểm 1 ;2 2 M      b) Tại ñiểm có hoành ñộ bằng – 1 c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 4 − HD Trước hết ta tính ñạo hàm của hàm số 1( )y f x x = = tại x0 tùy ý trên { }\ 0ℝ có một số gia x∆ Tính ( )0 0 0 0 0 0 1 1( ) ( ) xy f x x f x x x x x x x −∆∆ = + ∆ − = − = + ∆ + ∆ Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5 ( ) 20 0 0 0 0 1lim lim x x y x x x x x x∆ → ∆ → ∆ −∆ = = − ∆ + ∆ a) Tại tiếp ñiểm 1 ;2 2 M      , ta có 1 ' 4 2 f   = −    Vậy tiếp tuyến cần tìm: y = - 4( x – 1) b) Tại ñiểm x0 = -1, '( 1) 1f − = − và ( 1) 1f − = − Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y = -1( x + 1) c) Biết 0 1 '( ) 4 f x = − , nên 0 2 0 0 12 (2)1 1 2 14 2 ( 2) 2 x f x x f  = ⇒ = − = − ⇔   = − ⇒ − = −  Vậy tiếp tuyến cần tìm là: 1 1 4 y x= − + và 1 1 4 y x= − − Bài 10. Tìm ñạo hàm của mỗi hàm số sau: a) 2y ax= ( a là hằng số) trên ℝ b) 3 2y x= + trên ℝ c) 1 2 1 y x = − với 1 2 x ≠ d) 3y x= − với 3x < HD a) 2y ax= có tập xác ñịnh là ℝ , với x0 tùy ý thuộc ℝ , có một số gia x∆ Tính ( )2 20 0 0 0 0( ) ( ) ( ) 2y f x x f x a x x ax x x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆ ( ) ( )0 0 00 0 0 2 lim lim lim 2 2 x x x a x x xy a x x ax x x∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆∆ = = + ∆ = ∆ ∆ Vậy ' 2y ax= b) 3 2y x= + trên ℝ , thực hiện tương tự, ta có 2' 3y x= c) 1 2 1 y x = − . Tập xác ñịnh của hàm số 1\ 2 D  =     ℝ Với 0x ∈ℝ tùy ý, ta có một số gia x∆ Tinh ( )0 0 0 0 0 0 1 1 2( ) ( ) 2( ) 1 2 1 (2 1) 2 2 1 xy f x x f x x x x x x x − ∆∆ = + ∆ − = − = + ∆ − − − + ∆ − ( ) 20 0 0 0 0 2 2lim lim (2 1) 2 2 1 (2 1)x x y x x x x x∆ → ∆ → ∆ − − = = ∆ − + ∆ − − Vậy 2 1 2 ' 2 1 (2 1)y yx x − = ⇒ = − − d) 3y x= − , thực hiện tương tự ) 13 ' 2 3 y x y x − = − ⇒ = − Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6 § 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ðẠO HÀM KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. ðạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở ñây u = u(x)) (c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1 ( ) 1' ( , 2)n nx nx n n−= ∈ ≥ℕ ' 2 1 1 , ( 0)x x x   = − ≠    ( )' 1 , ( 0) 2 x x x = > (k.u)’ = k.u’ ( ) 1' . 'n nu nu u−= ' 2 1 ' , ( 0)u u u u   = − ≠    ( )' ' , ( 0) 2 u u u u = > 2. Các quy tắc tính ñạo hàm ( ở ñây u = u(x), v = v(x)) (u + v)’ = u’ + v’ (u – v)’ = u’ – v’ (u.v)’ = u’.v + v’.u ' 2 '. '. , ( 0)u u v v u v v v +  = ≠    Chú ý thêm: (ax + b)’ = a ' 2 2( ) ( ) a b c dax b ad cb cx d cx d cx d + −  = = + + +  ( ) 2 '2 22 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' a b a c b c x x a b a c b cax bx c a x b x c a x b x c + +  + + =  + +  + + 3. ðạo hàm của hàm số hợp Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì: ' ' ' .x u xy y u= BÀI TẬP Bài 1. Tính ñạo hàm của mỗi hàm số sau tại ñiểm x0 ñược cho kèm theo a) y = 7 + x – x2, x0 = 1 b) y = x3 – 2x + 1, x0 = 2 c) y = 2x5 – 2x + 3, x0 = 1 d) y = x4 – x2 + 2, x0 = - 1 HD a) y’ = (7 + x – x2)’ = (7)’ + (x)’ – (x2)’ = 0 + 1 – 2x = 1 – 2x Tại x0 = 1, y’(1) = 1 – 2.1 = - 1. b) y’ = (x3 – 2x + 1)’ = 3x2 – 2 và y’(2) = 10 c) y’ = (2x5 – 2x + 3)’ = 10x4 – 2 và y’(1) = 8 d) y’ = (x4 – x2 + 2)’ = 4x3 – 2x và y’(-1) = - 2 Bài 2. Tìm ñạo hàm của các hàm số sau a) y = x5 – 4x3 + 2x – 3 b) 2 41 1 1 4 3 2 y x x x= − + − c) 4 3 22 4 1 2 3 5 x x xy = − + − d) y = 3x5(8 – 3x2) Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7 HD a) y’ = (x5 – 4x3 + 2x – 3)’= 5x4 – 12x2 + 2 b) ' 2 4 31 1 1 1 ' 2 2 4 3 2 3 y x x x x x = − + − = − + −    c) 4 3 2 3 22 4 8 ' 1 2 2 2 3 5 5 x x x xy x x   = − + − = − +    d) y’ =( 3x5(8 – 3x2))’= 15x4(8 – 3x2) + 3x5(-6x) = - 63x6 + 120x4 Bài 3. Tìm ñạo hàm các hàm số sau a) 4 2y x x x= − + b) ( )3 5y x x x= − c) y = (1 – 2x)3 d) ( )37 25y x x= − e) 2 2 1 xy x = − f) 2 3 5 1 xy x x − = − + HD a) ( )4 2 3 1' 4 2 2 y x x x x x x = − + = − + b) ( ) ( ) ( ) ( )' ''3 5 3 5 5 3 2 3 41' 3 8 2 y x x x x x x x x x x x x x x   = − = − + − = + −     c) y’ = ((1 – 2x)3)’ = (1 – 2x)’(1 – 2x) = - 2(1 – 2x) d) ( )( )'37 2 5 5 2 5' 5 3 ( 5) (7 10)y x x x x x= − = − − e) ( ) ' 2 22 2 2 2( 1) ' 1 1 x xy x x − +  = =  −  − f) ( ) ' 2 22 2 3 5 5 6 2 ' 1 1 x x xy x x x x − − −  = =  − +  − + Bài 4. Tính ñạo hàm các hàm số sau a) 2 1y x x x= − + b) 22 5y x x= − − c) 3 2 2 xy a x = − (a là hằng số) d) 1 1 xy x + = − HD a) ( )'2 3' 1 2 2y x x x x x= − + = − b) ( )'2 22 5' 2 5 2 2 5xy x x x x− −= − − = − − c) ( ) ( ) ' 2 2 23 2 2 32 2 3 2 ' x a xxy a x a x −  = =  −  − d) ' 3 1 3 ' 1 2 (1 ) x xy x x + −  = =  −  − Bài 5. Tính ñạo hàm các hàm số sau a) ( )27y x x= + b) ( )( )2 21 5 3y x x= + − c) 2 2 1 xy x = − d) 2 5 3 1 xy x x − = + + e) 2 2 2 1 x xy x + + = + f) (2 1)(3 2)y x x x= − + HD Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8 a) ( ) ( )( )'27 6 6' 2 1 7 1y x x x x x = + = + +   b) ( ) ( )( ) ( )'2 2 2' 1 5 3 4 3 1y x x x x= + − = − + c) ( )( ) 2' 22 2 2 12 ' 1 1 xxy x x − +  = =  −  − d) ( ) ' 2 22 2 5 3 5 6 8 ' 1 1 x x xy x x x x − − + +  = = + +  + + e) '2 2 2 2 ( 2) ' 1 ( 1) x x x xy x x  + + + = =  + +  f) ( ) ( )' 2' (2 1)(3 2) 2 9 1y x x x x x= − + = + − Bài 6. Tính ñạo hàm các hàm số sau: a) 2 2 3 5 5 xy x x + = − + b) ( )52 1 1 y x x = − + c) 2 1y x x x= + + d) ( ) ( )2 3( 1) 2 3y x x x= + + + e) 2 1xy x + = f) 1 1 xy x − = − HD a) ( ) ' 2 22 2 2 3 2 6 25 ' 5 5 5 5 x x xy x x x x + − − +  = =  − +  − + b) ( ) ( ) ' 5 62 2 1 5(2 1) ' 1 1 xy x x x x   − −  = =   − + − +  c) ( )'2 3' 1 2 2y x x x x x= + + = + d) ( ) ( )( )'2 3 2 2' ( 1) 2 3 2( 2)( 3) (3 11 9)y x x x x x x x= + + + = + + + + e) ' 2 2 2 2 1 1 ' 12 x xy x x x x  + − = =    +  f) ' 3 1 3 ' 1 2 (1 ) x xy x x − −  = =  −  − Bài 7. Tính ñạo hàm các hàm số sau a) ( )( )3 29 2 2 9 1y x x x= − − + b) 2 34 xy x − = + c) 2 3 5 2 x xy x − − + = − d) 3 5 3y x x   = −    e) 3 22 1y x x= − + f) 4 2 b cy a x x   = + +    (a, b, c là các hằng số) HD a) ( ) ( )( )'3 2 3 2' 9 2 2 9 1 16 108 162 2y x x x x x x= − − + = − + − − b) ' 2 2 3 11 ' 4 ( 4) xy x x −  = = + +  c) '2 2 2 3 5 4 1 ' 2 ( 2) x x x xy x x   − − + − + + = =  − −  d) '3 2 5 5 4 3 3 3 3 ' 3 5 2 y x x x x x x        = − = − +              e) ( ) 2'3 2 3 23 4' 2 1 2 2 1x xy x x x x−= − + = − + Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9 f) '4 3 2 2 2 3 2 ' 4b c b c b cy a a x x x x x x        = + + = − + + +              Bài 8. Tìm ñạo hàm các hàm số sau a) ( )( )3 2 24 2 5 7y x x x x x= − − − b) ( )2 3 1y x x x   = + −    c) 2 3 2 3 2 x xy x − + + = − d) ( ) 22 1y x x= − + HD a) ( ) ( )( )'3 2 2 4 3 2' 4 2 5 7 20 120 27 70y x x x x x x x x x= − − − = − + + b) ( ) ( )'2 2 1 3' 3 1 3 1 2 xy x x x x x x x x      = + − = − + − + +          c) ( ) '2 4 3 2 23 3 2 3 4 9 4 4 ' 2 2 x x x x x xy x x  − + + − − + − = =  −  − d) ( )( ) 2'2 22 2 1' 2 1 1x xy x x x− += − + = + Bài 9. Cho y = x3 – 3x2 + 2. Tìm x ñể: a) y’ > 0 b) y’ < 3 HD a) x 2 b) 1 2 1 2x− < < + Bài 10. Cho 3 2( ) 2; ( ) 3 2f x x x g x x x= + − = + + . Giải bất phương trình '( ) '( )f x g x> . HD ( ;0) (1; )x ∈ −∞ ∪ +∞ Bài 11. Cho 2 32( ) ; ( ) 2 3 x xf x g x x = = − . Giải bất phương trình ( ) '( )f x g x≤ HD [ 1;0]x ∈ − Bài 12. Cho hàm số 2( ) 2f x x x= − . Hãy giải bất phương trình '( ) ( )f x f x≤ . HD 2 2 1( ) 2 '( ) 2 xf x x x f x x x − = − ⇒ = − Ta cần giải bpt: 2 2 2 0 20 1 3 522 2 21 2 3 5 2 x x x x xx x x x x x x x x  <  > <  −    −>≤ − ⇔ ⇔  ≤ −   − ≤ −  + ≥  Vậy nghiệm của bpt ñã cho là: 3 5( ;0) ; 2  + −∞ ∪ +∞     Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10 § 3. ðẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM Bảng ñạo hàm (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx 2 1(tan ) ' cos x x = 2 1(cot ) ' sin x x = − (sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = - u’sinu 2 '(tan ) ' cos u u u = 2 '(cot ) ' sin u u u = − BÀI TẬP Bài 1. Tìm ñạo hàm của các hàm số sau a) sin 3 5 y x pi = +    b) sin 2 y xpi = −    c) 3cos( 1)y x= − d) 2tan(3 5)y x= + e) tan , , 2 y x x k kpi pi = − ≠ ∈    ℤ f) 3cot (3 1)y x= − HD a) ' ' ' sin 3 3 cos 3 3cos 3 5 5 5 5 y x x x xpi pi pi pi        = + = + + = +                  b) ' ' ' sin cos cos sin 2 2 2 2 y x x x x xpi pi pi pi        = − = − − = − − = −                  c) ( )'3 3 ' 3 2 3' cos( 1) ( 1) sin( 1) 3 sin( 1)y x x x x x= − = − − − = − − d) ( ) 2'2 2 2 2 2(3 5) ' 6' tan(3 5) cos (3 5) cos (3 5) x xy x x x + = + = = + + e) ' ' 2 2 12 ' tan 2 cos cos 2 2 x y x x x pi pi pi pi   −      = − = = −         − −        f) ( ) ( ) 2' '3 2 2 2 4(3 1) ' 9cos (3 1)' cot (3 1) 3cot (3 1) cot(3 1) 3cot (3 1). sin (3 1) sin (3 1) x xy x x x x x x − − − = − = − − = − = − − − Bài 2. Tìm ñạo hàm của các hàm số sau a) 5sin 3cosy x x= − b) coty x x= c) 1 2 tany x= + d) 2sin 1y x= + e) sin cos sin cos x xy x x + = − f) sin sin x xy x x = + HD a) ' 5cos 3siny x x= + b) 2' cot sin xy x x = − c) 2 1 ' cos 1 2 tan y x x = + d) 2 2 cos 1 ' 1 x xy x + = + e) 2 2 ' (sin cos )y x x= − − f) 2 2 1 1 ' ( cos sin ) sin y x x x x x   = − −    Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11 Bài 3. Tìm ñạo hàm của mỗi hàm số sau a) ( )2sin 3 2y x x= − + b) cos 2 1y x= + c) cos 2y x= d) tan 3 cot 3y x x= − e) 1 2 tany x= + f) 2cot 1y x= + HD a) ( )( ) ( )'2 2' sin 3 2 (2 3)cos 3 2y x x x x x= − + = − − + b) ( )' sin 2 1' cos 2 1 2 1 xy x x − + = + = + c) ( )' sin 2' cos 2 cos 2 xy x x = = − d) ( )' 212' tan 3 cot 3 sin 6y x x x= − = e) ( )' 2 1' 1 2 tan cos . 1 2 tany x x x= + = + f) ( ) ( ) ' 2 2 2 2 ' cot 1 1 cot 1 1 xy x x x − = + = + + + Bài 4. Tìm ñạo hàm các hàm số sau a) tan(sin )y x= b) 2cot( 1)y x x= − c) 2sin 1 tan 2 xy x = + d) 2cos 2 4 y xpi= − e) sin 3y x x= f) cot 2y x x= HD a) ( )' 2cos' tan(sin ) cos (sin ) xy x x = = b) ( ) 2 2'2 2 2sin 2( 1) 4' cot( 1) 2sin ( 1) x xy x x x − − = − = − c) '2 2 2 2 sin sin 2 2sin (1 tan 2 ) ' 1 tan 2 1 tan 2 (1 tan 2 ) x x x xy x x x   + = = −  + + +  d) ' 2 2sin 8 ' cos 2 4 8 xy x x pi pi pi   − = − =   −  e) ( )' 2sin 3 3 cos3' sin 3 2 sin 3 x x xy x x x + = = f) ( )' 21 2' cot 2 cot 2 sin 22 xy x x x xx= = − Bài 5. Tìm ñạo hàm của mỗi hàm số sau a) sin 3 cos tan 5 xy x x= + + b) 2 1 siny x = c) 2 23sin cos cosy x x x= + d) 3(3 sin )y x= − e) 2 2 1 sin 3 cos y x x = + f) sin cos cos sin x x xy x x x − = + HD a) ' 2 1 1 ' sin 3 cos tan 3cos3 sin 5 5 5 2 cos x xy x x x x x   = + + = − +    b) ' 2 3 2 1 2 1 ' sin cosy x x x   = = −    Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12 c) ( )'2 2 2 2' 3sin cos cos sin (6cos 3sin 2cos )y x x x x x x x= + = − − d) ( )'3 2' (3 sin ) 3(3 sin ) cosy x x x= − = − − e) ' 2 2 3 1 2sin ' sin 3 3sin 6 cos cos xy x x x x   = + = +    f) ' 2 2 sin cos ' cos sin (cos sin ) x x x xy x x x x x x −  = = + +  Bài 6. Chứng minh rằng: a) Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0 b) Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức y’ + 2y2 + 2 = 0 HD a) 2' 1 tany x= + . Do ñó y’ – y2 – 1 = (1 + tan2x) – tan2x – 1 = 0 b) y’ = - 2(1 + cot22x). Do ñó y’ + 2y2 + 2 = - 2(1 + cot22x) + 2cot2x + 2 = 0 Bài 7. Giải phương trình '( ) 0f x = biết rằng: a) ( ) 3cos 4sin 5f x x x x= + + b) 2( ) 1 sin( ) 2cos 2 xf x x pipi + = − + +     c) ( ) sin 2 2cosf x x x= − d) ( ) tan cotf x x x= + HD a) Với mọi x ∈ℝ , ta có '( ) 3sin 4cos 5f x x x= − + + ( ) 3 4 '( ) 0 3sin 4cos 5 sin cos 1 5 5 3 4 sin sin 2 ; cos ;sin 2 2 5 5 f x x x x x x x k kpi piα α pi α α = ⇔ − + + ⇔ − =   ⇔ − = ⇔ = + + ∈ = =    ℤ b) Với mọi x ∈ℝ , ta có '( ) cos sin 2 xf x x= + '( ) 0 cos sin 0 sin cos sin sin 2 2 2 2 4 ;4 3 x x xf x x x x x k kk x pi pi pi pi pi   = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −    = − ⇔ ∈  = +  ℤ c) Với mọi x ∈ℝ , ta có 2 '( ) 2cos 2 2sin 2(1 2sin ) 2sinf x x x x x= + = − + 2 2 2 sin 1 '( ) 0 2(1 2sin ) 2sin 0 2 ;1 6sin 2 7 2 6 x k x f x x x x k k x x k pi pi pi pi pi pi  = + =   = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = − + ∈  = −   = +  ℤ d) Với mọi ; 2 k x kpi≠ ∈ℤ , ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin cos 4cos 2 '( ) cos sin cos sin sin 2 x x xf x x x x x x − − = − = = 2 4cos 2 '( ) 0 0 cos 2 0 ; sin 2 4 2 xf x x x k k x pi pi− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 13 ---------------------------------------------------------------------------- § 4. VI PHÂN KIẾN THỨC CẦN NẮM Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên khoảng (a; b) và có ñạo hàm tại ( ; )x a b∈ . Giả sử x∆ là số gia của x Ta gọi tích '( )f x x∆ là vi phân của hàm số ( )y f x= tại x ứng với số gia x∆ , kí hiệu là ( )df x hoặc dy , tức là ( ) '( )dy df x f x x= = ∆ hay 'dy y dx= BÀI TẬP Bài 1. Tìm vi phân của các hàm số sau a) y = x3 – 5x + 1 b) y = sin3x c) y = sinx – xcosx d) 3 1y x = HD a) y = x3 – 5x + 1, y’ = 3x2 – 5 dy = d(x3 – 5x + 1) = y’dx = (3x2 – 5 )dx b) y = sin3x, y’ = 3sin2xcosx dy = d(sin3x) = y’dx = (3sin2xcosx)dx c) y = sinx – xcosx, y’ = xsinx dy = d(sinx – xcosx) = y’dx = (xsinx)dx d) 3 1y x = , 4 3 'y x = − dy = y’dx = 4 3 dx x − Bài 2. Tìm vi phân của các hàm số sau a) 2 1y x = b) 2 1 xy x + = − c) y = sin2x d) tan xy x = HD a) 3 2dy dx x = − b) 2 3 ( 1)dy dxx= − − c) dy = (sin2x)dx d) ( ) 2 2 sin 2 4 cos x x dy dx x x x − = Bài 3. Tìm vi phân các hàm số sau a) xy a b = + (a, b là các hằng số) b) ( )( )2 24 1y x x x x= + + − c) 2tany x= d) 2 cos 1 xy x = − HD a) 1 2( ) dy dx a b x = + b) ( )( ) ( )2 2 12 4 4 1 2 2 dy x x x x x x dx x    = + − + + + −      c) 2 2 tan cos xdy dx x = d) ( )( ) 2 22 1 sin 2 cos 1 x x x x dy dx x − + = − Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 14 Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau a) y = x2 + sin2x b) y = tan3x c) y = tan23x – cot23x d) 2cos 2 1y x= + HD a) dy = (2x + sin2x)dx b) 2 4 3sin cos xdy dx x = ( hoặc dy = 3tan2x(1 + tan2x)dx) c) ( )4 23 36 2cos 3 1 2cos 3sin 3 cos 3 x x dy dx x x + − = d) 2 sin 4 cos 2 1 xdy dx x = − + ------------------------------------------------------------------------------------ § 5. ðẠO HÀM CẤP HAI KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. ðịnh nghĩa Giả sử hàm số ( )f x có ñạo hàm '( )f x . Nếu '( )f x cũng có ñạo hàm thì ta gọi ñạo hàm của nó là ñạo hàm cấp hai của ( )f x và kí hiệu ''( )f x : ( )'( ) ' ''( )f x f x= Tương tự ( ) (3)''( ) ' '''( ) ( )f x f x f x= ≡ . ( )( 1) ( ) *( ) ' ( ),n nf x f x n− = ∈ℕ ( ) ( )nf x là ñạo hàm cấp n của hàm số ( )f x 2. Ý nghĩa cơ học của ñạo hàm cấp hai Xét một chất ñiểm chuyển ñộng có phương trình ( )s f t= . Vận tốc tại thời ñiểm t0 của chất ñiểm ñó là 0 0( ) '( )v t f t= Gia tốc tức thời tại ñiểm t0 của một chất ñiểm chuyển ñộng với phương trình ( )s f t= là: 0 0 0( ) '( ) ''( )t v t f tγ = = BÀI TẬP Bài 1. Tính ñạo hàm cấp hai của các hàm số sau a) 21y x x= + b) y = tanx c) 1 1 y x = − d) 1 1 y x = − e) y = cos2x f) y = sin5xcos2x HD a) 2 2 2 2 2 1 2 ' 1 1 1 x xy x x x + = + + = + + ; 2 2 22 2 2 2 (1 2 )4 1 (3 2 )1 '' 1 (1 ) 1 x x x x x xxy x x x − + − ++ = = + + + b) 2 1 ' cos y x = ; 3 4 4 3 (cos ) ' 2cos sin 2sin '' ; , cos cos cos 2 x x x xy x k k x x x pi pi   = − = = ≠ + ∈    ℤ c) 2 1 ' (1 )y x= − ; 3 2 '' (1 )y x= − d) 5 3 '' 4 (1 ) y x = − e) '' 2cos 2y x= − f) ( )1'' 49sin 7 9sin 3 2 y x x= − + Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp Bài tập ðại số và Giải tích 11 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 15 Bài 2. Tìm ñạo hàm cấp hai của các hàm số sau a) 2 2 1 2 xy x x + = + − b) 2 1 xy x = − c) 1 2 xy x + = − d) 21y x x= + e) 2 1 xy x = − f) 2(1 )cosy x x= − HD a) 2 3 3 2 1 1 1 1 1 '' 2 2 1 2 ( 1) (