Giáo án môn Đại số lớp 11 - Chuyên đề II: Tổ hợp và xác suất

Chuyên đề II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. Hai quy tắc đếm ,hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Quy tắc cộng 1: Giả sử một công việc có thể được thực hiện bởi k phương án A1, A2, ...,Ak. Và có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2,..., nk cách thực hiện phương án Ak.Khi đó có n1+ n2.... +nk cách thực hiện công việc. Quy tắc cộng 2: Nếu A, B là hai tập hợp hữu hạn phần tử không giao nhau thì Quy tắc cộng mở rộng: Cho A, B là hai tập hợp hữu hạn phần tử Quy tắc nhân: Giả sử một công việc có thể được thực hiện bởi k công đoạn A1, A2, ...,Ak. Và có n1 cách thực hiện công đoạn A1, n2 cách thực hiện công đoạn A2,..., nk cách thực hiện công đoạn Ak.Khi đó có n1 n2....nk cách thực hiện công việc. Hoán vị: số các hoán vị của n phần tử Chỉnh hợp: số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (0≤k≤n) Tổ hợp : Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Tính chấ của : Các bài toán vận dụng 1. Bài toán xếp chỗ Bài 1. Có bao nhiêu cách bỏ 6 lá thư vào 8 phong bì để mỗi phong bì chứa nhiều nhất một lá thư Bài 2. Có bao nhiêu cách nhốt 5 con thỏ vào 3 lồng để mỗi lồng có ít nhất 1 con Bài 3. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một hàng ngang sao cho: a. C đứng chính giữa b. Hai học sinh A, E đứng ở hai đầu Bài 4. Có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa đem cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi học sinh một cuốn. a. Nếu chỉ cho học sinh những cuốn sách thuộc thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách cho sách. b. Có bao nhiêu cách cho sách để sau đó mỗi thể loại sách còn ít nhất 1 cuốn. 2. Bài toán đếm số: Bài 5. Có bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau với chữ số đứng đầu là số lẻ Bài 6. Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có 3 chữ số chẵn. 3 chữ số lẻ Bài 7. Từ các chữ số {0;1;2;3;4;5} có thể viết được bao nhiêu chữ số: a. Có 8 chữ số trong đóchữ số 1 có mặt 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần b. Có 4 chữ số khác nhau sao cho các chữ số 1 và 5 có mặt và đứng cạnh nhau. Bài 8. Từ các chữ số {1,2,3,4,5,6,7,8,9} có thể viết được bao nhiêu chữ số không lớn hơn 789 Bài 9. Với các chữ số {1;3;4;5;6} có thể viết được bao nhiêu số a. Có 3 chữ số khác nhau mà chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số liền sau đó b. Có 3 chữ số phân biệt và chia hết cho 3. c. Có 3 chữ số. Tính tổng các số đó. Bài 10. Với 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. Bài 11. Từ các số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Bài 12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau. Bài 13. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là lẻ. Bài 14. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có số nào lặp lạo đúng 3 lần (ĐH Huế 2001A) Bài 15. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mối số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có chữ số 5. (ĐHKTQD-2001) Bài 16. Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6. Lập ra các số có 5 chữ số khác nhau. Hỏi a. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2 b. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 1 và 6. Bài 17. Tính tổng các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các số 1,2,3,5,6,8 3. Bài toán chọn: Bài 18. Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Cần chọn ra một ban cán sự gồm 3 người. Hỏi coa bao nhiêu cách chọn ban cán sự có ít nhất 1 nam. Bài 19. Có bao nhiêu cách chia một lớp 50 học sinh (30 nam, 20 nữ) thành 5 tổ mỗi tổ 6 nam, 4 nữ Bài 20. Có 5 hành khách và 3 toa tàu đều có chỗ trống. Có bao nhiêu cách xếp khách lên các toa tàu để mỗi toa có ít nhất 1 khách. Bài 21. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó 10 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: a. Có 2 nam. b. Có ít nhất 2 nam. c. có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ. Bài 22. Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước khác nhau từng đôi một. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 bi sao cho a. trong đó có đúng hai viên bi đỏ b. Số bi xanh bằng số bi đỏ Bài 23. Một đội văn nghệ có 10 hs (6 nam, 4 nữ), a. có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm sao cho:số người bằng nhau và số nữ bằng nhau b. Có bao nhiêu cách chọn ra nhóm 5 người trong đó có không quá 1 nam. Bài 24. Trên mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đó. Bài 25. Trên mp cho 10 đường thẳng và 10 đường tròn. Tính số giao điểm tối đa có thể có giữa các đường. Bài 26. Cho thập giác lồi. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác. Bài 27. Cho đa giác đều 2n cạnh nội tiếp đường tròn (O). a. Cho n = 6. Tính số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác b. Giả sử n≥2 ta thấy số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác. Tìm n? Bài 28. Có 30 câu hỏi khác nhau, trong đó có 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Có bao nhiêu cách tạo đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho có đủ loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 2. Bài 29. Đội thanh niên xung kích của trường có 12 học sinh gồm 5 hs khối 12, 4 hs khối 11 và 3 hs khối 10.Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho trong 4 hs thuộc không quá hai trong 3 khối. 4. Phương trình, BPT tổ hợp. Bài 30. Gải các phương trình a. b. c. d. e. f. g. h. i. k. Bài 31. Giải các hệ phương trình a. b. c. d. e. f. Bài 32. Giải các BPT, hệ PT a. b. c. d. e. II. Nhị thức Niuton và áp dụng Công thức khai triển: Hệ quả: . Cho x những giá trị đặc biệt ta được những đẳng thức cơ bản x =1, x =-1, x = 2, x = -2, Tam giác Pascal: 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 6 4 1 ? ? ? ? 1 Các bài tập vận dụng. 1. Bài toán xác định hệ số trong khai triển nhị thức thành đa thức Bài 33. Cho đa thức . Tính các hệ số của x3, x18 khi khai triển đa thức. Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15. Bài 34. Cho . Tính hệ số của x, x3 trong khai triển của f(x) Tính tổng tất cả các hệ số của x có số mũ nguyên Bài 35. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức (ĐHQGHN-2000) Bài 36. Tìm hệ số của x31 trong khai triển (ĐHNN!-2000) Bài 37. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển của biểu thức biết rằng . (ĐHSPHN-2000) Bài 38. Cho khai triển:trong đó Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x? Bài 39. Gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển của biểu thức (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n để a3n-3 =26n. Bài 40. Tìm hệ số của x8 trong khai triển của .(ĐHA-2004) Bài 41. Cho P(x) = (1 + x + x2 + x4)n.Giả sử khi khai triển P(x) có dạng P(x) = a0 + a1x + a2x2 ++a4nx4n. Cho n = 7. Tính Tìm n biết Tìm n biết Bài 42. Biểu thức sau khi khai triển có bao nhiêu số hạng là số hữu tỉ. 2. Bài toán chứng minh đẳng thức: Bài 42. Chứng minh các đẳng thức sau: a. ; b. c. d. Bài 43. Chứng minh các đẳng thức: a. b. c. d*. Bài 44. Chứng minh các đẳng thức sau: a. b. c. 3. Bài toán tìm max và chứng minh BĐT Bài 45. Giả sử biểu thức P(x) = . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Bài 46. Giả sử biểu thức . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển. Bài 47. Chứng minh rằng a. b. Bài 48. Chứng minh rằng với mọi 0≤k≤2n ta có a. b. Bài 49*. CMR: . Phát biểu bài toám tổng quát. Bài 50*. CMR: 4. Bài toán bổ sung các tính chất Bài 51. Chứng minh các đẳng thức sau: 6) mọi n≥2 ta luôn có: 7) Tính giá trị của biểu thức biết 8. Tính tổng III. Xác suất(còn tiếp)