Giáo án môn Toán 11 - Giới hạn của dãy số

Trang 1 Giới hạn của dãy số Dạng 1: Chia cho n có số mũ cao nhất. Bài 1: Chia luôn cho n có số mũ cao nhất. 1) nn nn 2 126 lim 3 3   2) nn nn   2 2 5 21 lim 3) 75 3342 lim 3 23   nn nnn 4)              2 1 2lim n n 5) 53 22 lim 4 2   n nn 6) 73 54 lim 23 2   nn nn 7) 964 2 lim 23 45   nn nnn 8) 5 237 lim 2 2   n nn 9) nn nn   2 3 2 123 lim 10)           15 51 32 2 lim 2 2 3 n n n n 11) nnn nn 3 1173 lim 45 35   12) 56 2 5 32 lim nn n   13)        1543 7432 lim 22 32   nn nn 14)      112 3513 lim 3 2   nn nn 15)      4 22 12 271 lim   n nn 16) 2 2 31 2 lim n nn   17) 1 1 lim   n n 18) 2 lim 3 3   n nn 19) 32 232 lim 2 4   nn nn 20) 12 857 lim 3 36   n nnn 21) 1 lim   n nnn 22) 12 lim 43   n nnn 23) nnn nn   4 3 2 1 lim 24) 23 11 lim 2   n nn 25)  1173lim 3  nn 26) 22lim 24  nnn 27) 3 321lim nn  28) 3 29 78lim  nn 29) 12 21 lim 2   n nn 30) 23 11 lim 2   n nn 31)     5 5 2 5 2 11 lim n nnnn  Bài 2: Liên quan tới dãy số 1) 2 ...21 lim n n 2) 23 2...42 lim 2   nn nn 3) 23 ...21 lim 3 222   nn n 4) 23 ...21 lim 34 333   nnn n 5) 211 ...21 lim 2 333   nn n ,   4 1 ...21 22 333  nn n 6) 12 )12(...31. lim 2   nn nn 7) n n                           5 1 ... 5 1 5 1 1 3 2 ... 3 2 3 2 1 lim 2 2 8)         )12)(12( 1 ... 5.3 1 3.1 1 lim nn 9)         )1( 1 ... 3.2 1 2.1 1 lim nn 10)         )22(2 1 ... 6.4 1 4.2 1 lim nn Bài 3: Sử dụng định lí 6 - SGK 1) nn n 43.2 4 lim  2) 12 13 lim   n n 3) n nn 5.37 5.23 lim   4) nn nn 5.32 54 lim   5) 11 5)3( 5)3( lim    nn nn Dạng 2: Nguyên lí kẹp 1)       1 4 3sin lim n n 2.   1 cos1 lim   n n n 3. 12 cos4sin3 lim   n nn Dạng 3: Nhân lượng liên hợp 1)  1213lim  nn 2)   nnn  1lim 3)  nnn  1lim 2 4)  12lim 2  nnn 5)  53lim  nn 6)  nnn  3lim 2 7)  1lim 22  nnn 8) 12 1 lim  nn 9)  132lim  nn 10)  nnn 1lim 2 11)  nnn  5lim 2 12)  nnn  3lim 2 13)  3 31lim nn  14)  nna lim 15)           3 23 2 11lim nn 16)  nnn 3 32lim 17)  11lim 333  nnn 18)        nnnnlim 19)  3 322 32lim nnnn  Trang 2 Giới hạn của hàm số. Dạng 1: x  a Bài 1: Thay vào luôn. 1) 2 3 lim 3 2 1    x x x 2) 5 3 72 34 lim          x x x 3) 3 2 4 2 2 232 lim    xx xx x 4) 6 lim 3 2 3  xx x x 5) 72 15 lim 1    x x x 6) 622 35 lim 23 2 2    xxx xx x Bài 2: Phân tích thành nhân tử. 1) 253 103 lim 2 2 2    xx xx x 2) ax ax nn ax    lim 3) 2 1 )( )( lim ax axnaax nnn ax     4) 21 )1( 1 lim    x nnxxn x 5)          31 1 3 1 1 lim xxx 6)          xx n nx 1 1 1 lim 1 7)   h xhx h 33 0 lim   8) x x x    1 1 lim 1 9) 3 152 lim 2 3    x xx x 10) 5 152 lim 2 5    x xx x 11) 6)5( 1 lim 3 1    xx x x 12) 6 293 lim 3 23 2    xx xxx x 13) xx xx x 4 43 lim 2 2 4    14) 2012 65 lim 2 2 4    xx xx x 15) 6 23 lim 2 23 2    xx xxx x 16) 32 1 lim 2 4 1    xx x x 17) 6 44 lim 2 23 2    xx xxx x Bài 3: Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai) 1) . 2 35 lim 2 2    x x x 2) 7 29 lim 4 7    x x x 3) x x x    5 5 lim 5 4) 2 153 lim 2    x x x 5) 11 lim 0  x x x 6) xx x x 336 1 lim 21    7) x xx x 11 lim 2 0   8) 25 34 lim 25    x x x 9)   x xxx x   121 lim 2 0 10) 4102 3 lim 3    x x x 11) 1 23 lim 3 1    x xx x 12) x xn x 11 lim 0   (n N, n  2) 13) 6 22 lim 6    x x x 14) 23 2423 lim 2 2 1    xx xxx x 15) 1 132 lim 21    x xx x 16) 2 583 lim 3 2    x xx x 17) 32 1 lim 21    xx x x Bài 4: Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai) 1) x xx x   55 lim 0 2) x xx x   11 lim 0 3) 1 12 lim 1    x xx x 4) x axa x  0 lim (a > 0) 5) x xxx x 11 lim 2 0   6) 23 2423 lim 2 2 1    xx xxx x 7) 23 2423 lim 2 3 23 1    xx xxx x 8) x axa x 33 0 lim   9) 1 12 lim 2 3 23 1    x xxx x 10) x xxx x   131 lim 2 0 Bài 5: Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc ba) a) x x x 141 lim 3 0   b) 2 24 lim 3 2    x x x c) x x x 3 11 lim 3 0   d) 11 lim 30  x x x Bài 6: Nhân lượng liên hợp (cả tử và mẫu) 1) x x x    51 53 lim 4 2) 314 2 lim 2    x xx x 3) 1 lim 2 1    x xx x 4) 23 1 lim 2 3 1    x x x 5) 1 1 lim 4 3 1    x x x 6) 39 24 lim 2 2 0    x x x 7) 3 527 lim 9    x x x 8) 364 4 8 lim x x x    9) 1 1 lim 3 1    x x x Bài 7: Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba) 1) x xx x 3 0 812 lim   (ĐHQG KA 97) 2) 23 2423 lim 2 3 2 1    xx xxx x 3) 1 75 lim 2 3 23 1    x xx x Trang 3 4) 23 2423 lim 2 23 1    xx xxx x 5) 1 57 lim 23 1    x xx x 6) x xx x 3 0 5843 lim   7) x xx x 7121 lim 3 0   Dạng 2: Giới hạn một bên 1) 2 228 lim 2    x x x 2) xx xx x 23 32 lim 0    3) 2 4463 lim 2 2    x xxx x 4)         1;1 1;13 2 xx xx xf . )(lim 1 xf x 5)           0; sin 0;123 2 x x x xxx xf . Tìm )(lim 1 xf x ; 6)            1;12 10; 0; 2 2 xxx xx xo xf . Tìm )(lim 1 xf x ; )(lim 0 xf x 7)       2;3 2; )( 2 x xmx xf 8)        2;4 2;65 )( 2 xmx xxx xf . Tìm m để hàm số có giới hạn tại x = 2. 9)              3;3 31;56 1;)32( 5 1 2 xx xx xx xf . Tìm )(lim 1 xf x ; )(lim 3 xf x 10) 34 1 lim 2 4 3    xx x x 11) 320 4 2 lim xx x x  Dạng 3: x  : Có các dạng vô định:  -  ; 0x ;   . Khi đó chúng ta phải khử: Chú ý: Khi x  - hoặc x  + mà chia cho x thì phải chú ý tới dấu. 1) 32 3 662 13 lim xx xx x    2)        xxx x lim 3)      50 3020 12 2332 lim    x xx x 4)  21lim 22   xxx x 5)     n nn x x xxxx 11 lim 22   6)  2317lim 22   xxxx x 7)  xxxx x 914lim 22   8)  3612lim 22   xxxx x 9)  274lim 2   xxx x 10)  34412lim 2   xxx x 11)         xxxx x 3333lim 12)  xxxx x   3 23 2lim 13)  13lim 3 23   xxxx x 14)  xx x   1lim 2 15)    xbxax x   lim 16)         xxxxxx x lim 17)  2lim 2   xxx x 18)  xxxx x 22lim 23 23   19)  11. 1 lim  xxxx 20)  xxxxx x   22 22lim 21)  xxx x   122lim 22)  13.lim   xxx x 23)  13.2lim   xxx x 24)  34.lim 22   xxx x 25)  7252lim   xx x 26)  xxx x   3 23 6lim 27)  3 233 23 11lim   xxxx x Chú ý: Bài tập phần này có thể lấy ở phần giới hạn của dãy số. Dạng 4: 1 sin lim 0   x x x 1) x x x 5sin lim 0 2) x x x 3 2tan lim 0 3) m n x x x sin sin lim 0 4) 20 cos1 lim x x x   5) 30 45 sin.3sin.5sin lim x xxx x 6) nx xn nxxx ! sin....2sin.sin lim 0 7) x xx x 30 sin sintan lim   8) ax ax ax    sinsin lim 9) bx bx bx    coscos lim 10) x x x 2sin 121 lim 0   11) cx cx cx    tantan lim 12) xx x x sin cos1 lim 3 0   13) cx cx cx    cotcot lim 14) 22 22 sinsin lim ax ax ax    Trang 4 15) x xx x sin 3sin5sin lim 0   16)   2 tan1lim 1 x x x    17) 20 coscos lim x xx x    18) )2tan( 8 lim 3 2    x x x 19) x xxx x cos1 3cos.2cos.cos1 lim 0    20)     20 sinsin22sin lim x axaxa x   21)     20 tantan22tan lim x axaxa x   22) 20 cos.coscos lim x cxbxax x   23)        xaxa xaxa x    tantan sinsin lim 0 24) )0( )( tansin lim 0     ba xba bxax x 25) x xx x sin 112 lim 3 2 0   (GHN’00) 26) x x x sin cos1 lim 0   27) x xaxa x )cos()cos( lim 0   28) 30 tansin lim x xx x   29) 2 sin sincos.sin lim 0 x xxx x   30) x x x cos1 3sin11 lim 0    (QG–KB 97) 31) x x x cos1 cos1 lim 0    x x x  1 2 cos lim 1  32)     2 2 0 tantan.tan lim x axaxa x   33) 4 2 0 4sin.sin2sin lim x xxx x   34)         xx x 4 tan.2tanlim 4   (SPHN ‘00) 35) x xx x 11sin 7cos.5cos1 lim 20   36)         xxx tan 1 sin 1 lim 0 37)          2 sin21 2sinsin lim 2 0 x x xx x 38)   x x x 3 sin2lim   39) 2 2 0 cos1 lim x xx x   (TM’99) 40) 30 sin1tan1 lim x xx x   (HH’00) 41) )1tan( 23 lim 1    x xx x (DLHP’00) 42) 20 cos1 lim x ax x   43) x x x 7tan 5sin lim 0 44) 2 cos lim 2   x x x 45)  2 cos1 lim     x x x 46)          4 sin cos22 lim 4  x x x 47) 20 7cos.5cos3cos lim x xxx x   48) x xx x 4 cossin lim 4     49)   x x x sin21 sin lim 6 6      50) 1cos2 1sin2 lim 2 4    x x x  51) xxx tancos 1 lim 2  52) xxx xx x sin.tan. sintan lim 0   53) 20 cos1 lim x ax x   (a 0) 54) ax axx x cos1 sin. lim 0  55) bx ax x cos1 cos1 lim 0    56) xx x x sin. 2cos1 lim 2 0   57) 34 )1sin( lim 21    xx x x 58) 2 cos lim 2   x x x 59) x x x    6 sin21 lim 6  60) 3cos4 1sin2 lim 2 6    x x x  61) x x x 3cos1 5cos1 lim 0    62) x xx x sin 5sin7sin lim 0   63) x x x sin21 4 sin lim 4           