Giáo án môn Toán 11 - Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện 1. Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A. Và kí hiệu là P(A/B). Thí du: Cho một hộp kín có  6 thẻ ATM của ACB và 4 thẻ ATM của Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2  thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của ACB. Giải: Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB“. Ta cần tìm P(A/B). Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Vietcombank) nên : 2. Công thức nhân xác suất a. Công thức: Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại: Chứng minh: Giả sử phép thử có n kết quả cùng khả năng có thể xảy ra mA kết quả thuận lợi cho A, mB kết quả thuận lợi cho B. Vì A và B là hai biến cố bất kì, do đó nói chung sẽ có k kết quả thuận lợi cho cả A và B cùng đồng thời xảy ra. Theo định nghĩa cổ điển của xác suất ta có: Ta đi tính P(B/A). Với điều kiện biến cố A đã xảy ra, nên số kết quả cùng khả năng của phép thử đối với biến B là mA, số kết quả thuận lợi cho B là k. Do đó: Như vậy: Vì vai trò của hai biến cố A và B như nhau. Bằng cách chứng minh tương tự ta được: P(A.B) = P(B).P(A/B)♦ (chứng minh trên được tham khảo từ giáo trình Xác suất thống kê của tác giả Hoàng Ngọc Nhậm - NXB Thống Kê) Ví dụ: 1. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe BMW”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng. Giải: Gọi A là biến cố “nắp khoen đầu trúng thưởng”. B là biến cố “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”. C là biến cố “cả 2 nắp đều trúng thưởng”. Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng. p(A) = 2/20 Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng. Do đó: p(B/A) = 1/19. Từ đó ta có: p(C) = p(A). p(B/A) = (2/20).(1/19) = 1/190 ≈ 0.0053 2. Áo Việt Tiến trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1 chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? Giải: Gọi A là biến cố ” qua được lần kiểm tra đầu tiên”, B là biên cố “qua được lần kiểm tra thứ 2″, C là biến cố “đủ tiêu chuẩn xuất khẩu” Thì: p(C) = p(A). p(B/A) = 0,98.0,95 = 0,931 3. Lớp Lý 2 Sư Phạm có 95 Sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn XSTK, biết rằng sinh viên đó là nữ? Giải: Gọi A là biến cố “gọi được sinh viên nữ”, B là biến cố gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn XSTK”, C là biến cố “gọi được sinh viên nữ đạt điểm giỏi” Thì ta có: p(C) = P(B/A) Do đó: b. Các định nghĩa về các biến cố độc lập: * Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại. * Ta có thể dùng khái niệm xác suất có điều kiện để định nghĩa các biến cố độc lập như sau: Nếu P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A và B độc lập với nhau. Trong trường hợp việc biến cố này xảy ra hay không xảy ra làm cho xác suất xảy ra của biến cố kia thay đổi thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau. Thí dụ: Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình ra 1 quả cầu. Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh“. Hiển nhiên P(A) = 5/9 . Quả cầu lấy ra được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu. Gọi B là biến cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh“, P(B) = 5/9. Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngược lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau. Ta chú ý rằng: nếu A và B độc lập, thì hoặc hoặc cũng độc lập với nhau. Trong thực tế việc nhận biết tính độc lập, phụ thuộc, xung khắc của các biến cố. chủ yếu dựa vào trực giác. * Định nghĩa 2: Các biến cố A1, A2, , An, được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp hai biến cố bất kỳ trong n biến cố đó độc lập với nhau. Thí dụ: Xét phép thử từng đồng xu 3 lần. Gọi Ai là biến cố: “được mặt sấp ở lần tung thứ i” (i = 1, 2, 3). Rõ ràng mỗi cặp hai trong 3 biến cố đó độc lập với nhau. Vậy A1, A2, A3 độc lập từng đôi. * Định nghĩa 3: các biến cố A1, A2, , An, được gọi là độc lập từng phần nếu mỗi biến cố độc lập với tích của một tổng hợp bất kỳ trong các biến cố còn lại. Ta chú ý là các biến cố độc lập từng đội thì chưa chắc độc lập toàn phần. Điều kiện độc lập toàn phần mạnh hơn độc lập từng đôi. c) Hệ quả: Từ định lý trên ta có thể suy ra một số hệ quả sau đây: Hệ quả 1: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích xác suất của các biến cố đó: P(A.B) = P(A).P(B). Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố bằng tích xác suất của các biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tấc cả các biến cố trước đó đã xảy ra: Hệ quả 3: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích xác suất của các biến cố đó: P(A1.A2 An) = P(A1).P(A2) P(An) d. Các ví dụ: 1. Một thiết bị gồm có 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian T, việc các bộ phận đó bị hỏng là độc lập với nhau và với các xác suất tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận hư hỏng. Tìm xác suất thiết bị hoạt động tốt trong thời gian T đó. Giải: Gọi Ai là biến cố “bộ phận thứ i của thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian T” (i = 1, 2, 3 ). Gọi A là biến cố “thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian T”. Như vậy: A = A1.A2.A3. Vì A1,A2 ,A3 độc lập toàn phần với nhau, do đó: P(A) = P(A1).P(A2).P(A3) Các biến cố “bộ phận thứ i hoạt động tốt”và “bộ phận thứ i bị hỏng” là đối lập với nhau, cho nên: P(A1) = 1 - 0,1 = 0,9; P(A2) = 1 - 0,2 = 0,8 ; P(A3) = 1 - 0,3 = 0,7 Vậy: P(A) = 0,9. 0,8. 0,7 = 0,504 2. Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0,15. Tìm xác suất có một ô tô bị hỏng trong ngày. Giải: Gọi Ai là biến cố “ô tô thứ i bị hỏng trong ngày” (i = ), A là biến cố “có một ô tô bị hỏng trong ngày”. Vì các nhóm biến cố A1. . , .A2. , . .A3 là xung khắc từng đôi và trong mỗi nhóm các biến cố độc lập toàn phần với nhau, do đó: Vì: Cho nên: Vì vậy ta có: P(A) = 0,1.0,8.0,85 + 0,9.0,2.0,85 + 0,9.0,8.0,15 = 0,329 Vỉ dụ 3: Công ty may VT có 3 phân xưởng cùng sản xuất áo sơ mi nam cao cấp. Sản phẩm của phân xưởng 1 chiếm 30% sản phẩm của công ty. Tỉ lệ này ở phân xưởng 2 và 3 đều là 35%. Tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuân xuất khẩu ở từng phân xưởng là 95%, 96% và 98%. a. Tìm tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuẩn xuất khẩu của công ty? b. Lấy ngẫu nhiên 1 áo từ lô sản phẩm của công ty thì gặp phải áo bị lỗi. Hãy tìm xem khả năng chiếc áo bị lỗi này ở phân xưởng nào? Giải: a. Tìm tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuẩn xuất khẩu tương đương với việc “Lấy ngẫu nhiên 1 áo, ta được áo sơ mi đạt tiêu chuẩn”. Vậy đặt A là biến cố: “Lấy ngẫu nhiên 1 áo, ta được áo sơ mi đạt tiêu chuẩn”. Do lấy ngẫu nhiên 1 áo nên áo đó có thể của phân xưởng 1, cũng có thể của phân xưởng 2, phân xưởng 3. Như vậy, việc tìm xác suất để lấy ra 1 áo đạt tiêu chuẩn chính là xác suất để lấy ra 1 áo đạt tiêu chuẩn với điều kiện chiếc áo đó do phân xưởng 1, hoặc 2, 3 tạo ra. Vậy, đặt Bi = “Sản phẩm của phân xưởng i” , i = 1, 2, 3 Khi đó: P(A) = P(A/B1).P(B1) + P(A/B2).P(B2) + P(A/B3).P(B3) Mà: P(B1) = 0,3 ; P(B2) = P(B3) = 0,35. P(A/B1) = 0,95 ; P(A/B2) = 0,96 ; P(A/B3) = 0,98 Do đó: P(A) = 0,3.0,95 + 0,35.0,96 + 0,35.0,98 = 0,964 Vậy tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuẩn xuất khẩu của công ty là: 96,4% 2. Ta phải tìm khả năng chiếc áo bị lỗi của phân xưởng nào. Chính là cần phải tính xác suất để chiếc áo bị lỗi của phân xưởng 1, 2 hoặc 3. Nghĩa là cần tính khả năng chọn được phân xưởng 1, 2, 3 trong điều kiện chiếc áo bị lỗi. Hay cần tính: Đây là mô hình của công thức Bayes. Ta có: Mà: Vậy: Tương tự: Vậy khả năng sản phẩm bị lỗi thuộc về phân xưởng 1 là cao nhất. 14 Responses to “Xác suất có điều kiện” Nguyen Van Thanh, on August 19th, 2008 at 10:44 pm Said: Xin chao thay, Em hien dang on thi cao hoc, hien co mot so bai toan dang XS dieu kien - CT Bayes, vd như dạng bài như sau: rút ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm từ 1 lô sản phẩm với p% thành phẩm và (1-p)% phế phẩm. Biết lần hai rút được Phế phẩm, tính xác suất để lần 1 rút được Thành phẩm , khá là hóc búa. Vậy xin thầy nêu một số ví dụ để giúp em giải quyết được bài toán dạng này! Xin chân thành cảm ơn Van Thành quynh nga, on September 29th, 2008 at 4:43 pm Said: “Ta chú ý là các biến cố độc lập từng đội thì chưa chắc độc lập toàn phần. Điều kiện độc lập toàn phần mạnh hơn độc lập từng đôi.” thay co’ the cho em mot vi’ du ro hon ve menh de dao cua menh de tren?? 2Bo02B, on September 29th, 2008 at 9:29 pm Said: Đàu tiên ta nhắc lại khái niệm độc lập toàn phần: Cho các biến cố ngẫu nhiên B1,B2, B3,,Bn độc lập trong nhóm (độc lập toàn phần; độc lập toàn thể), nêu với mọi k , , và với bất kỳ sự lựa chọn chỉ số , ta có: Ta dễ thấy nếu B1, B2, B3, , Bn độc lập toàn thể thì hai biến cố bất kỳ Bi và Bj , (i khác j) là độc lập. Tuy nhiên, từ sự độc lập từng đôi một không suy ra độc lập toàn thể. Ta có ví dụ nổi tiếng cho khẳng định trên. Đó là ví dụ Bernstein: Tung 1 khối tứ diện đều lên mặt phẳng. Ba mặt của tứ diện sơn 3 màu đỏ, xanh, vàng, còn mặt thứ tư sơn cả ba màu đỏ, xanh, vàng. Giả sử Đ là biến cố xuất hiện màu đỏ khi tung tứ diện, X là biến cố xuất hiện màu xanh, còn V là biến cố xuất hiện màu vàng. Như vậy, mỗi một màu trong 3 màu đỏ, xanh , vàng sẽ xuất hiện trên 2 mặt của tứ diện đều nên: P(Đ) = P(X) = P(V) = 2/4 = 1/2 Hơn nữa, P(ĐX) = 1/4 (chỉ có 1 mặt trong 4 mặt có cùng lúc 2 màu), mà P(Đ).P(X) = 1/2 . 1/2 = 1/4 Vậy: P(ĐX) = P(Đ).P(X). Suy ra: Đ, X là hai biến cố độc lập Tương tự P(XV) = 1/4 = P(X).P(V); P(VĐ) = 1/4 = P(V).P(Đ) Như vậy các biến cố Đ, V, X là độc lập từng đôi. Tuy nhiên, chúng không độc lập toàn phần, vì P(ĐXV) = 1/4 (chỉ có 1 mặt trong 4 mặt có cùng lúc ba màu) Trong khi: P(Đ).P(X).P(V) = 1/8 Vậy P(ĐXV) P(Đ).P(X).P(V) Do đó, chúng không thể độc lập toàn phần huongtran, on September 30th, 2008 at 1:31 am Said: Em xin có đôi lời về bài mà bạn Van Thanh ở trên hỏi: Gọi A là biến cố ” Lần 1 lấy được thành phẩm” A’ là biến cố đối của A. B là biến cố ” Lần 2 lấy được phế phẩm” Như vậy, tính P(B) dựa vào Công thức xác suất đầy đủ: P(B) = P(A).P(B/A)+ P(A’ ). P(B/A’ ) (cái này tính cụ thể dựa vào số lượng thành phẩm và phế phẩm) Sau đó, tính xác suất để lần 1 lấy đc thành phẩm khi biết lần 2 lấy đc phế phẩm là: P(A/B) = P(A.B)/P(B)=[ P(B/A).P(A)].P(B) Nhu the bai toan da dc giai quyet, dung ko thay? 2Bo02B, on September 30th, 2008 at 7:59 am Said: Cảm ơn huongtran. Hoàn toàn chính xác. Với mô hình xác suất đầy đủ, thì ta cần phải tìm cho được một hệ biến cố đầy đủ. Thông thường, với bài toán gồm hai giai đoạn, cần tính xác suất xảy ra ở giai đoạn 2 thì ta cần phải tìm tất cả các khả năng có thể xảy ra ở giai đoạn 1 => hệ biến cố đầy đủ {A1, A2, , An} là biến cố liên quan đến các khả năng có thể xảy ra đó. quynh nga, on September 30th, 2008 at 6:06 pm Said: Thua thay cho em hoi: khi bien co’ A doc lap voi’ chinh’ no’ thi` P(A) =0 hoac P(A)= 1 co’ dung’ khong a? Co’ vi du nao` lam` ro duoc y’ kien’ ay’ khong a? 2Bo02B, on September 30th, 2008 at 10:30 pm Said: Ta chú ý lại định nghĩa của hai biến cố độc lập nhau: “Hai biến cố A và B gọi là độc lập nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại”. Như vậy, trong thực tế nếu hai sự kiện (biến cố) A và B trong cùng 1 phép thử không ảnh hưởng đến nhau thì thừa nhận tính độc lập. Do vậy, thông thường người ta luôn xét sự độc lập của hai biến cố khác nhau. Do đó, không thể áp dụng rập khuôn công thức theo kiểu: P(AA) = P(A).P(A) Mà A.A = A nên P(A) = P(A).P(A) Để diều này xảy ra thì: P(A) = 0 hoặc P(A) = 1. Điều kết luận này là khiên cưỡng. Vì sao? Như ta biết: Nếu A,B độc lập thì: P(AB) = P(A).P(B) Thật chất công thức này chỉ là hệ quả suy ra từ định nghĩa P(A/B) = P(A) thì việc xuất hiện A không hề phụ thuộc vào sự xuất hiện B Trong khi P(A/A) = P(A.A)/P(A) = P(A)/P(A) = 1. Điều này phải hiểu là khi A đã xảy ra thì xác suất xảy ra A là bằng 1. Như vậy: P(A/A) không thể bằng P(A). Tóm lại, việc xét sự độc lập cần phải gắn liền với 2 biến cố khác nhau. huongtran, on October 1st, 2008 at 10:12 pm Said: Em có đọc câu hỏi bạn quynh nga viết. Nói ” A độc lập với chính A”, em thấy trừu tượng thật. Dù sao câuhỏi của bạn ý cũng đã được trả lời một cách thích đáng rồi. yennhi, on October 28th, 2008 at 10:50 pm Said: thầy ơi, em đang gặp rắc rối với 2 bài toán này, thầy có thể xem giúp em và cho em hướng đi được ko thầy, em cảm ơn thầy nhiều: 1/Một công ty cần tuyển 2 nhân viên.Co 6 nguoi nop don trong do co 4 nu va 2 nam.Kha nang duoc tuyen cua moi nguoi nhu nhau.a)Tinh xac suat de 2 nu duoc tuyen biet rang co it’ nhat 1 nu da duoc tuyen.b)Gia su Hoa la` mot trong 4 nu.Tinh xac suat de Hoa duoc tuyen biet rang da co nu duoc tuyen. 2/Chu cua hang nhap ve mot loai nuoc hoa.Ong ta biet trong so do co hang` chinh hang va hang nhai’ va kinh nghiem cho biet ti le hang nhai’ la 30%.Ong ta lay ngau nhien 1 hop nuoc hoa roi dua cho 5 nguoi thu de xac dinh xem day la hang loai nao.Gia su xac suat doan dung cua moi nguoi la 70%.CO 3 nguoi ket luan hop nuoc hoa la chinh hang~ va 2 nguoi ket luan hop do la hang nhai’.Vay khi do xac suat chon duoc hang nhai’ la bao nhieu? 2Bo02B, on October 29th, 2008 at 8:58 pm Said: 1a. Gọi Ai là biến cố có i nữ được chọn (i = 1,2,3). Ai là hệ biến cố đầy đủ B là biến cố có ít nhất 1 nữ được chọn. Khi đó: P(B) = P(A0)P(B/A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) = P(A1) + P(A2) = 8/15 + 6/15 = 14/15 Khi đó, xác suất để có 2 nữ được tuyển biết có ít nhất 1 nữ được tuyển chính là mô hình công thức Bayes. Ta có: P(A2/B) = P(A2).P(B/A2)/P(B) = 6/14 b. Gọi C là biến cố Hoa được chọn. Khi đó xác suất để Hoa được tuyển biết rằng đã có nữ được tuyển, chính là xác suất có điều kiện P(C/B) = P(BC)/P(B) P(BC) = 1.2/15 + 1.3/15 =5/15 Vậy P(C/B) = 5/14 thắng, on October 31st, 2008 at 7:54 pm Said: dạ thưa thầy cho em hỏi bài này: bỏ bốn lá thư ngẫu nhiên vào bốn phong bì có ghi tên và địa chỉ. tính xác suất có nhỏ nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó. em cảm ơn thầy a 2Bo02B, on November 1st, 2008 at 8:58 am Said: Ở đây có vấn đề không rõ trong yêu cầu tính xác suất. Đó là: có nhỏ nhất một lá thư bỏ đúng phong bì. Nhỏ nhất ở đây là ít nhất hay nhỏ nhất là chỉ có 1. Nếu ít nhất thì: Gọi Ai là biến cố: “Bức thư thứ i bỏ đúng phong bì” i = 1,2,3,4 Gọi A là biến cố: “Ít nhất có một bức thư đến đúng người nhận” Cần tính P(A). Rõ ràng A = A1 + A2 + A3 + A4 Suy ra: P(A1 + A2 + A3 + A4) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A1A4) - P(A2A3) - P(A2A4) - P(A3A4) + P(A1A2A3) + P(A1A2A4) + P(A1A3A4) + P(A2A3A4) - P(A1A2A3A4) Do các Ai không phân biệt thứ tự nên: P(A) = 4P(A1) - 6P(A1A2) + 4P(A1A2A3) - P(A1A2A3A4) = Khác với những bài khác, bài này nếu dùng P(A) = 1 - P(B) với B là biến cố không có lá thư nào bỏ đúng phong bì thì tính P(B) cũng khá rắc rối, không đơn giản chút nào. Nguyen Tran Son, on November 2nd, 2008 at 10:12 am Said: Em chào thầy, Thầy cho em hỏi tiếp bài toán trên: 1. Xác suất để có 1 lá đến đúng người. 2. Xác suất để có 3 lá đến đúng người. 3. Xác suất để 3 hoặc 4 lá đến đúng người. Cảm ơn thầy. Bùi Oanh, on November 17th, 2008 at 7:19 am Said: Thưa thầy, em có một bài toán mà làm chưa được. Thầy có thể giúp em được ko ạ? Đề bài như sau: Tìm xác suất sự kiện A xảy ra đúng k lần trong n phép thử độc lập Becnuli với xác suất xảy ra trong các phép thử là khác nhau. Em cảm ơn thầy!