Giáo án môn Toán khối 11 - Chương 3: Dãy sô, cấp số cộng và cấp số nhân

Sau đây là nội dung sách giáo khoa ĐS 11( nâng cao) Chương 3 và chương 4 (Sao chép những gì cần thiết vào trong cột “nôi dung kiến thức cần đạt” trong gíao án của mình, các cột khác phải tự mình soạn theo ý của mỗi người) Chương 3: Dãy sô. Cấp số cộng và cấp số nhân I.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp quy nạp toán học Trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học ( số học, hình học, giải tích...) ta thường gặp những bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến n. Ví dụ sau Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: (1) Giải: Ta thấy (1) đúng khi n=1. (2) Ta sẽ chứng minh khẳng định sau: "Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu (1) đúng với n=k thì nó cũng đúng với n=k+1" (3). Thật vậy: Nếu (1) đúng với n=k tức là: Suy ra: , tức là (1) đúng với n=k+1. Từ (2) và (3) ta suy ra (1) đúng với mọi giá trị nguyên dương của n. Một cách khái quát: Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của n, ta thực hiện hai bước sau: Bước 1: ( bước cơ sở hay bước mở đầu) Chứng minh A(n) đúng khi n=1. Bước 2: ( bước quy nạp hay bước di truyền) Với k là một số nguyên dương, xuất phát từ giả thiết ( được gọi là giả thiết quy nạp) A(n) đúng với n=k, ta chứng minh A(n) cũng là mệnh đề đúng với n=k+1. Pháp pháp vừa nêu trên gọi là phương pháp quy nạp toán học 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: CMR với , ta luôn có:  (4) Giải: Bước 1: Dễ thấy (4) đúng với n=1. Bước 2: Giả sử (4) đúng với , tức là: Ta CM (4) cũng đúng với n=k+1, tức là:  Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Vậy (4) đúng với Tương tự, hãy CM:  Ví dụ 2: CMR với mọi số nguyên dương , ta luôn có:                 (5) Giải Bước 1: Với n=3, dễ thấy (5) đúng Bước 2: Giả sử (5) đúng khi , tức là: ta sẽ CM nó cũng đúng với n=k+1, tức là: Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Vậy (5) đúng với mọi số nguyên dương II. DÃY SỐ 1. Định nghĩa và ví dụ Ở các lớp dưới, qua việc giải bài tập, ta đã làm quen với khái niệm dãy số. Khi đó, nói tới dãy số ta hiểu đó là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó. Chẳng hạn, khi viết liên tiếp các lũy thừa với số mũ tự nhiên của , theo thứ tự tăng dần của số mũ, ta được dãy số:              (1) Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu là số nằm ở vị trí thứ n (kể từ trái qua phải) của dãy số (1), ta có:              . Điều đó cho thấy dãy số (1) thể hiện một quy tắc mà nhờ nó, ứng với mỗi số nguyên dương n, ta xác định được duy nhất một số thực . Vì thế, ta có thể coi dãy số (1) là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương. Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn ( hay còn gọi là dãy số) Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số, được gọi là số hạng thứ i của dãy số. Người ta thường kí hiệu dãy số bởi và gọi là số hạng tổng quát của dãy số đó. Ví dụ: Hàm số xác định trên tập là một dãy số. Dãy số này có vô số số hạng: Chú ý: Người ta cũng gọi một hàm xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên là một dãy số. Trường hợp này dãy số chỉ có hữu hạn số hạng và được gọi là dãy số hữu hạn, gọi là số hạng đầu và là số hạng cuối. Ví dụ: Hàm số xác định trên tập hợp M={1;2;3;4;5} là một dãy số hữu hạn, dãy này có 5 số hạng và có thể viết dưới dạng khai triển: 2. Các cách cho một dãy số Một dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của nó. Từ đó, người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau: Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát Chẳng hạn: "Cho dãy số Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi ( hay còn gọi là cho bằng quy nạp) Ví dụ: Xét dãy số xác định bởi:                 (2) Rõ ràng, với cách cho như trên, ta có thể tìm được số hạng tùy ý của dãy đó. Một ví dụ khác: Xét dãy số xác định bởi:                 (3) Người ta nói công thức (2), (3) trên là các hệ thức truy hồi Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số 3. Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa: Dãy số u(n) gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có Dãy số u(n) gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có Ví dụ: Dãy số là dãy số tăng vì với mọi n ta luôn có: Dãy số là dãy số giảm vì với mọi n ta luôn có: 4. Dãy số bị chặn Định nghĩa: Dãy số u(n) được gọi là dãy số bị chặn trên (dãy bị chặn trên) nếu tồn tại một số M sao cho: Dãy số u(n) được gọi là dãy số bị chặn dưới (dãy bị chặn dưới) nếu tồn tại một số m sao cho: Dãy số u(n) được gọi là dãy số bị chặn nếu nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại M và m sao cho: Ví dụ: Dãy số là một dãy số bị chặn dưới vì Nhưng dãy trên không phải là dãy bị chặn trên vì không tồn tại M sao cho: Dãy số là một dãy số bị chặn vì III. CẤP SỐ CỘNG I. Định nghĩa Quan sát dãy các số tự nhiên ta thấy các số hạng của nó có một mối liên hệ đặc biệt : Kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạn bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và 1. Ta còn gặp nhiều dãy số khác cũng có tính chất tương tự như dãy số trên trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học,kĩ thuật, cũng như trong thực tế cuộc sống.Người ta gọi các dãy số như vậy là cấp số cộng. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là là cấp số cộng Số d được gọi là công sai của cấp số cộng Ví dụ 1 a) Dãy các số tự nhiên lẻ là một cấp số cộng với công sai d=2 b) Dãy số là một cấp số cộng với công sai d=4 Trong các dãy số sau,dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? a) b) II. Tính chất Ta có định lí sau ĐỊNH LÍ 1 Nếu () là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là Chứng minh Gọi d là công sai của cấp số cộng . Với mọi ta có Từ hai đẳng thức trên ta được với mioj . Từ đó suy ra điều cần chứng minh. Cho cấp số cộng có và . Hãy tìm và III. Số hạng tổng quát Dễ thấy, ta có thể tìm được số hạng tùy ý của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu và công sai d của nó. Chẳng hạn,để tìm ,ta có thể làm như sau : Một cách khái quát ta có ĐỊNH LÍ 2 Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức sau :  Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.Công thức đúng khi n=1,vì . Giả sử công thức đúng khi tức là . Khi đó ta có . Vậy công thức cũng đúng khi .Từ đó suy ra điều cần chứng minh Cho cấp số cộng có và công sai .Hãy tính Ví dụ 2. Cho một họ các đường tròn đồng tâm mà dãy số là một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 3. Gọi là diện tích hình tròn và với mỗi số nguyên ,gọi gọi là diện tích của hình vành khăn tạo bởi đường tròn và đường tròn . Chứng minh rằng là một câp số cộng.Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. Giải Đặt .Khi đó , với mỗi ,ta có  . Suy ra (với mọi ) Do đó là một cấp số cộng với công sai ,và số hạng đầu  . Từ đó,theo định lí 2,ta được (với mọi ). IV. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng Giả sử có cấp số cộng với công sai d.Xét n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó,ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa chúng như sau : Quan sát bảng trên có thể thấy tổng của hai số nằm trong cùng một cột bất kì luôn bằng tổng của và . Nhận xét đó dẫn ta đến ĐỊNH LÍ 3 Giả sử là một cấp số cộng.Với mỗi số nguyên dương n,gọi là tổng số hạng đầu tiên của nó ( . Khi đó ta có . Ví dụ 3: Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai,mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng cho mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư được nhận sau 3 năm làm việc cho công \tiny. Giải Với mỗi số nguyên dương n,kí hiệu (triệu đồng) là mức lương của người kĩ sư ở quý làm việc thứ n cho công ti.Theo giả thiết của bài toán,ta có và với mọi . Do đó,dãy số là một cấp số cộng với công sai d=0,3 Vì mỗi năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý. Như thế theo yêu cầu của bài toán ta phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng . Theo định lí 2,ta có : . Do đó,theo định lí 3,ta được  (triệu đồng) CHÚ Ý Từ định lí 2 và định lí 3,dễ dàng suy ra  . Cho cấp số cộng có và công sai .Hãy tính tổng 17 số hạng đầu tiên của cấp số đó. "Em sẽ chọn phương án nào?". Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với các kĩ sư được tuyển dụng,công ti liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn;cụ thể : - Ở phương án 1: Người lao động sẽ được nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên,và kể từ năm làm việc thứ hai,mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm. - Ở phương án 2: NGười ta lao động sẽ được nhận 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên,và kể từ quý làm việc thứ hai,mức lương sẽ được tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý. Nếu em là người kí hợp đồng lao động với công ti liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào? IV CẤP SỐ NHÂN I. Định nghĩa Xét bài toán : Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn : "Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì hạn mà người gửi đã gửi". Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của kì hạn này là 0,4%. a) Hỏi nếu 6 tháng sau,kể từ ngày gửi,người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu? b) Cũng câu hỏi như trên,với giả thiết thởi điểm rút tiền là 1 năm sau,kể từ ngày gửi? Với mỗi số nguyên dương n,kí hiệu là là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng,kể từ ngày gửi.Khi đó,theo giả thiết của bài toán ta có : . Như vậy,ta có dãy số mà kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004. Người ta gọi các dãy số có tính chất tương tự như dãy số nói trên là những cấp số nhân. ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi,nghĩa là là cấp số nhân Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Ví dụ 1 a) Dãy số với là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q=2. b) Dãy số là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội . Trong các dãy số sau,dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao? a) b) c) Ví dụ 2 Cho dãy số xác định bởi và với mọi Chứng minh rằng dãy số xác định bởi với mọi là một cấp số nhân.Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. Giải Từ công thức xác định dãy số và ,ta có với mọi . Từ đó suy ra dãy số là một cấp số nhân với số hạng đầu   và công bội . II. Tính chất Ta có định lí sau : ĐỊNH LÍ 1 Nếu (u_N) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai,bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dẫy,tức là Chứng minh Gọi q là công bội của cấp số nhân - Nếu thì hiển nhiên ta có điều cần chứng minh. - Nếu thì từ định nghĩa cấp số nhân tao có . Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức trên,ta được điều cần chứng minh. Hỏi có hay không một cấp số nhân mà và Ví dụ 3. Cho cấp số nhân với công bội .Biết và ,hãy tìm Giải Theo định lí 1 ta có (1),  (2) Từ (1), do (vì và ),suy ra .Từ đây và (2) ta được III. Số hạng tổng quát Tương tự như đối với cấp số cộng,ta có thể tìm được số hạng tùy ý của một cấp số nhân khi biết số hạng đầu và công bội của nó .Cụ thể ,ta có kết quả sau ĐỊNH LÍ 2 Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội thì số hạng tổng quát của nó được xác định bởi công thức Ví dụ 4.Trở lại bài toán đặt ra ở phần đầu mục I. Theo yêu cầu của bài toán ta cần tính và .Do là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q=1,004 nên theo định lí 2 ta có Suy ra : (đồng), (đồng). Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người.Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là 2%.Hỏi dân số của thành phố A sau 2 năm nữa là bao nhiêu? IV. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân Tương tự như đối với cấp số cộng,người ta cũng quan tâm tới việc xác định tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân theo số hạng đầu và công bội của nó. Giả sử có cấp số nhân với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n,gọi là tổng số hạn đầu tiên của nó (). Nếu thì với mọi .Do đó,trong trường hợp này ta có Khi ta có kết quả sau: ĐỊNH LÍ 3 Nếu là một cấp số nhân với công bội thì được tính theo công thức Chứng minh Ta có Do đó , hay .Từ đó,do , suy ra điều cần chứng minh. Ví dụ 5. Cho cấp số nhân có và .Hãy tính tổng năm số hạng đầu tiên của cấp số đó. Giải Gọi q là công bội của cấp số nhân ,ta có  Do đó,theo định lí 2,ta được : . Suy ra .Vì thế,theo định lí 3,ta được . Đố vui."Một hào đổi lấy năm xu?" Tương truyền một ngày nọ,có một ngà toán học đến gặp một nhà tỉ phú và đề nghị được "bán" tiền cho ông ta theo thể thức sau : Liên tục trong 30 ngày,mỗi ngày nhà toán học "bán" cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá 1 đồng ở ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ 2,mỗi ngày tỉ phú phải "mua" với giá gấp đôi của ngày hôm trước.Không một chút đắn đo,nhà tỉ phú đồng ý ngay tức thì,lòng thầm cảm ơn nhà toán học lại cho ông ta một cơ hội hốt tiền "nằm mơ cũng không thấy". Hỏi nhà tỉ phú đã lãi được bao nhiêu trong cuộc mua bán kì lạ này? Chương 4: GIỚI HẠN A: Giới hạn của dãy số I. Dãy số có giới hạn 0 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 Xét dãy số với ,tức là dãy số Biểu diễn các số hạng của dãy số đã cho trên trục số,ta thấy khi n tăng thì các điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 0 Khoảng cách từ điểm đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn. Điều này được giải thích rõ hơn: - Mọi số hạng của dãy số đã cho,kể từ số hạng thứ 11 trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn ,tức là với mọi . - Mọi số hạng của dãy số đã cho,kể từ số hạng thứ 24 trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn ,tức là với mọi . Kể từ số hạng thứ mấy trở đi,mọi số hạng của dãy số đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn . Cũng câu hỏi đó cho mỗi số : Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho,kể từ một số hạng nào đó trở đi đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước.Ta nói rằng dãy số có giới hạn là 0. Một cách tổng quát,ta có ĐỊNH NGHĨA Ta nói rằng dãy số có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0),nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước,mọi số hạng của dãy số.kể từ một số hạng nào đó trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết  hoặc hoặc (Kí hiệu " " còn được viết "" , đọc là dãy số có giới hạn là o khi n dần đến vô cực). Nhận xét Từ định nghĩa suy ra rằng a) Dãy số () có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số có giới hạn 0. Chẳng hạn,ta có vì và . b) Dãy số không đổi (,với có giới hạn 0. 2. Một số dãy có giới hạn 0 Dựa vào định nghĩa,người ta chứng minh được rằng a) ; Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn 0. ĐỊNH LÍ 1 Nếu với mọi n và thì Chứng minh Cho một số dương nhỏ tùy ý. Vì nên kể từ số hạng thứ N nào đó trở đi,mọi số hạng của dãy số đêỳ nhỏ hơn số dương đó. Do nên mọi số hạng của dãy số ,kể từ số hạng thứ N trở đi,đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đã cho. Vậy . Ví dụ 1. Chứng minh rằng . Giải Ta có  và . Từ đó suy ra điều cần chứng minh Cho k là một số nguyên dương.Chứng minh rằng . Áp dụng định lí 1,có thể chứng minh định lí sau : ĐỊNH LÍ 2 Nếu thì Ví dụ 2 a) ; . Chứng minh rằng II. Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn Xét dãy số với . Ta có  . Ta nói rằng dãy số có giới hạn là 3. Một cách tổng quát,ta có : ĐỊNH NGHĨA Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực L nếu Khi đó ta viết  hoặc hoặc . Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. Ví dụ 1. Dãy số không đổi với (c là hằng số) có giới hạn là c vì Ví dụ 2. Chứng minh rằng Giải Đặt Vì nên Chứng minh rằng ; . Nhận xét 1) Từ định nghĩa vừa nêu,suy ra rằng khi và chỉ khi khoảng cách từ điểm đến điểm L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là đủ lớn; nói một cách hình ảnh,khi n tăng các điểm chụm lại quanh điểm L. 2) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. Chẳng hạn dãy số , tức là dãy số . không có giới hạn hữu hạn. Trên trục số,các số hạng của dãy số đó có được biểu diễn bởi hai điểm (1-) và 1. Khi n tăng các điểm không chụm lại quanh bất kì một điểm L nào. 2. Một số định lí Ta thừa nhận một số định lí sau ĐỊNH LÍ 1 Giả sử . Khi đó a) và ; b) Nếu với mọi n thì và Ví dụ 3. vì Tìm . ĐỊNH LÍ 2 Giả sử và c là một hằng số.Khi đó , , , , (nếu ). Ví dụ 4. Tìm với Giải Ta có: Ví dụ 5. Tìm với Giải Chia tử và mẫu của phân thức cho (n^3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức),ta được: Vì  và nên . Tìm giới hạn của dãy số với 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Xét cấp số nhân vô hạn có công bội q với (gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn). Ta biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là . Vì nên .Do đó  Ta gọi giới hạn đó là tổng của cấp số nhân đã cho và viết . Tìm tổng của cấp số nhân  . Ví dụ 5. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777... dưới dạng phân số. Giải Ta có Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội . Do đó  Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131... dưới dạng phân số. III. Dãy số có giới hạn vô cực 1. Dãy số có giới hạn Xét dãy số với . Ta thấy khi n tăng thì trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.Nói cách khá,mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi ,đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước. Ta nói rằng dãy số (2n-1) có giới hạn là Một cách tổng quát ta có ĐỊNH NGHĨA Ta nói rằng dãy số có giới hạn là nếu mỗi số dương tùy ý cho trước,mọi số hạng của dãy số,kể từ một số hạng nào đó trở đi,đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết hoặc hoặc . Áp dụng định nghĩa trên có thể chứng minh rằng : a) b) c) 2. Dãy số có giới hạn ĐỊNH NGHĨA Ta nói rằng dãy số có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước,mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi,đều nhỏ hơn số âm đó. Khi đó ta viết  hoặc hoặc Dễ dàng thấy rằng  Ví dụ 1.  Vì nên CHÚ Ý Các dãy số có giới hạn và được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. Nhận xét. Nếu thì trở nên lớn bao nhiêu cũng được,miễn là n đủ lớn.Do đó trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được,miễn là n đủ lớn. Người ta chứng minh được ĐỊNH LÍ Nếu thì 3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Vì và không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí trong bài 2 cho các dãy số có giới hạn vô cực.Khi tìm các giới hạn vô cực,ta có thể sử dụng các quy tắc sau đây. a) Quy tắc 1: Nếu và thì Nếu và thì Nếu và thì Nếu và thì Ví dụ 2. Vì và nên . Tương tự,với mọi số nguyên dương k,ta có b) Quy tắc 2 Nếu và Nếu và Nếu và Nếu và Ví dụ 3. Tìm a) ; b) Giải a) Ta có . Vì và nên . Tìm a) ; b ) . c) Quy tắc 3 Nếu và hoặc kể từ một số hạng nào đó trở đi thì được cho như sau : Nếu Nếu Nếu Nếu Ví dụ 4.  Tìm . Giải Chia tử và mẫu của phân thức cho là lũy thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức),ta được Vì và với mọi n nên Tìm . B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC VI. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn Xét bài toán sau : Cho hàm số và một dãy bất kì những số thực khác 2 (tức là với mọi n) sao cho Hãy xác định dãy các giá trị tương ứng của hàm số và tìm . Vì nên với mọi n. Do đó . Từ (1) suy ra Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là 8 khi x dần đến 2. Một cách tổng quát,ta có ĐỊNH NGHĨA 1 Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên tập hợp (a;b) \ {} (tức là và với mọi n) mà , ta đều có . Khi đó ta viết hoặc khi . Ví dụ 1. Tìm . Giải Xét hàm số . Với mọi dãy số mà với mọi n và ,ta có . Vì  và nên . Do đó  Tìm Nhận xét. Áp dụng định nghĩa 1,dễ dàng chứng minh được: a) Nếu với mọi ,trong đó c là một hằng số,thì với mọi , . b) Nếu với mọi thì mọi . b) Giới hạn vô cực Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Chẳng hạn, có nghĩa là với mọi dãy trong tập hợp (a;b)\ {} mà , ta đều có . Ví dụ 2. Tìm Giải. Xét hàm số . Với mọi dãy số () mà   và  . Vì và với mọi n nên . Do đó  2. Giới hạn của hàm số tại vô cực Giới hạn của hàm số tại vô cực (khi x dần đến hoặc ) được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số tại một điểm. ĐỊNH NGHĨA 2 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực khi x dần đến nếu với mọi dãy số trong khoảng (tức là mà , ta đều có . Khi đó ta viết: hoặc khi . Các giới hạn , và được định nghĩa tương tự. Ví dụ 3 a) , vì với mọi dãy số âm mà ,ta đều có b) Tương tự,ta có Nhận xét Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số,có thể chứng minh được rằng : Với mọi sô nguyên dương k,ta có a) b) c) d) . 3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn Áp dụng các định lí về giới hạn của dãy số,có thể chứng minh được các định lí sau đây về giới hạn của hàm số. ĐỊNH LÍ 1 Giả sử và . Khi đó a) ; b) ; c) .  Đặc biệt,nếu c là một hằng số thì ; d) Nếu thì Để dễ nhớ,ta nói Giới hạn của tổng,hiệu,tích,thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng,hiệu,tích,thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương,giới hạn của mẫu phải khác không). Định lí 1,vừa nêu và định lí 2 tiếp theo vẫn đúng khi thay bởi hoặc Nhận xét Nếu k là một số nguyên dương và a là một hằng số thì với mọi ,ta có Ví dụ 4. Tìm a) b)Với ,ta có . Do đó Tìm Ví dụ 5. Tìm . Giải Chia tử và mẫu của phân thức cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của x trong tử và mẫu của phân thức),ta được với mọi Vì và nên theo định lí 1.d),ta có Tìm ĐỊNH LÍ 2 Giả sử .Khi đó a) ; b) ; c) Nếu với mọi giá trị {},trong đó J là một khoảng nào đó chứa , thì và Ví dụ 6.Tìm . Giải Vì nên Tìm và . V. GIỚI HẠN MỘT BÊN Trong định nghĩa ,ta giả thiết hàm số f xác định trên tập hợp (a;b)\{} , trong đó (a;b) là một khoảng chứa điểm . Như vậy,các giá trị được xét của x là các giá trị gần ,bao gồm cả các giá trị lớn hơn lẫn nhỏ hơn .Khái niệm giới hạn một bên xuất hiện khi ta chỉ xét các giá trị của hàm số với hoặc chỉ xét các giá trị của hàm số với 1. Giới hạn hữu hạn ĐỊNH NGHĨA 1 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu mọi dãy số trong khoảng mà ,ta đều có Khi đó ta viết hoặc khi Định nghĩa giới hạn bên trái của hàm số được phát biểu tương tự. ĐỊNH NGHĨA 2 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L.Khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong khoảng mà ,ta đều có . Khi đó ta viết hoặc khi Nhận xét 1) Hiển nhiên nếu thì hàm số f có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại điểm và 2) Ta thừa nhận điều ngược lại cũng đúng,nghĩa là Nếu thì hàm số f có giới hạn tại điểm và . 3) Các định lí 1 và định lí 2 trong bài 4 vẫn đúng khi thay bởi hoặc . Ví dụ 1. Gọi d làm dấu  Tìm và (nếu có). Giải Với ,ta có .Do đó Tương tự ta có Vì nên không tồn tại Tìm giới hạn bên phải,giới hạn bên trái và giới hạn (nếu có) của hàm số  khi x dần đến -1. 2. Giới hạn vô cực 1) Các định nghĩa và được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2. 2) Nhận xét 1 và nhận xét 2 vẫn đúng với giới hạn vô cực. Ví dụ 2 a) Từ định nghĩa giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số,ta có và . Vì nên không tồn tại b) Dễ dàng thấy rằng .Do đó và Tìm VI. MỘT VÀI QUI TẮC TÍM GIỚI HẠN VÔ CỰC Các định lí trong bài trước chỉ đúng với các giới hạn hữu hạn, không áp dụng được cho các giới hạn vô cực. Trong mục này, ta sẽ giới thiệu một định lí liên quan đến giới hạn vô cực và hai quy tắc tìm giới hạn vô cực.Định lí và các quy tắc này được áp dụng cho mọi trường hợp : và Tuy nhiên,để cho gọn,ta chỉ áp dụng phát biểu cho trường hợp . ĐỊNH LÍ Nếu Dễ dàng suy ra định lí trên từ định nghĩa giới hạn của hàm số. Quy tắc 1 Nếu và . Nếu và . Nếu và . Nếu và . Ví dụ 1.Tìm a) ; b) Giải a) Ta có với mọi Vì và nên b) Vì nên Ví dụ 2. Tìm Giải Với , ta có  . Vì và nên . Tìm Quy tắc 2 Nếu và hoặc với mọi \{} , trong đó J là một khoảng nào đó chứa được cho như sau: Nếu Nếu Nếu Nếu Ví dụ 3.Tìm Giải Ta có và . Do đó Ví dụ 4. Tìm Tìm Ví dụ 5. Tìm Giải Chia tử và mẫu của phân thức cho ( là lũy thừa của x có bậc cao nhát trong tử và mẫu của phân thức),ta được với mọi Vì và với nên Khi giải bài toán về giới hạn,ta có thể gặp một số trường hợp sau đây: 1)Tìm ,trong đó hoặc . 2)Tìm ,trong đó . 3)Tìm ,trong đó hoặc (khi hoặc . CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH Khi đó không áp dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn cũng như các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Ta gọi đó là các dạng vô định và kí hiệu chúng,theo thứ tự là: 1) ; 2) ; 3) Khi tìm giới hạn các dạng này,ta cần thực hiện