Giáo án môn Toán khối 11 - Chương 5: Đạo hàm

Nội dung sách giáo khoa Đai số và giải tích 11 NC Chương 5 : ĐẠO HÀM Hãy copy những nội dung cần thiết vào đúng chổ trong giáo án của bạn. Chúc các bạn có một bộ giáo án của riêng mình 1. Ví dụ mở đầu Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Trong Vật lí 10 ta đã biết : Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng,chiều dương hướng xuống đất,gốc O là vị trí ban đầu của viên bi (tại thời điểm t-0) và bỏ qua sức cản của không khí thì phương trình chuyển động của viên bi là: (g là gia tốc rơi tự do, ) Giả sử tại thời điểm ,viên bi ở vị trí có tọa độ ; tại thời điểm , viên bi ở vị trí M có tọa độ .Khi đó,trong khoảng thời gian từ đến ,quãng đường viên bi đi được là . Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là :  (1) Nếu càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm . Từ đó,người ta xem giới hạn của tí số khi dần đến là vận tốc tức thời tại thời điểm của viên bi,kí hiệu là . Nói cách khác Nhiều vấn đề của toan học, vật lí, hóa hoc, sinh học,... dẫn đến bài toán tìm giới hạn: , trong đó là hàm số nào đó. Trong toán học, người ta gọi giới hạn đo, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số tại điểm . 2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số xác định trên khoảng và điểm thuộc khoảng đó. ĐỊNH NGHĨA Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm ,kí hiệu là hoặc ,nghĩa là : . Trong định nghĩa trên, nếu đặt và thì ta có: (2) CHÚ Ý 1) Số được gọi là số gia của biến số tại điểm ;số được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia tại điểm . 2) Số không nhất thiết chỉ mang dấu dương. 3) và là những kí hiệu,không nên nhầm lẫn rằng : là tích của với x, là tích của với y. Tính số gia của hàm số ứng với số gia của biến số tại điểm b) Quy tắc tính đạo hàm của hàm theo định nghĩa Ta có quy tắc tính đạo hàm của hàm số theo định nghĩa như sau : Quy tắc Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại điểm theo định nghĩa,ta thực hiện hai bước sau: * Bước 1 . Tính theo công thức .trong đó là số gia của biến số tại * Bước 2 . Tìm giới hạn . Trong quy tắc trên và đối với mỗi hàm số được xét sau đây, ta luôn hiểu là số gia của hàm số ứng với số gia đã cho của biến số tại điểm đang xét. Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm Giải Đặt ,ta thực hiện quy tắc trên như sau: * Tính :   * Tìm giới hạn:   . Vậy . Nhận xét Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì nó liên tục tại điểm Thật vậy,giả sử hàm số f có đạo hàm ,tức là Ta có  . Do đó .Điều này chứng tỏ . Từ đó suy ra rằng hàm số f liên tục tại điểm 3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số có đồ thị (C),một điểm cố định thuộc C có hoàng độ . Với mỗi điểm M thuộc (C) khác ,ta kí hiệu là hoành độ của nó và là hệ số góc của cát tuyến . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn . Khi đó ta coi đường thẳng đi qua và có hệ số góc là vị trí giới hạn của cát tuyến khi M di chuyển dọc theo (C) dần đến . Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm , còn goi là tiếp điểm. Bây giờ giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm . Chú ý rằng tại mỗi vị trí của M trên (C), ta luôn có Vì hàm số f có đạo hàm tại điểm nên . Từ đó ta có thể phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau : Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . GHI NHỚ Nếu hàm só có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình là  Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ Giải Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số tại * Tính :  . * Tính giới hạn : .   Vậy . Ngoài ra,ta có nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là ,hay Dựa vào kết quả của ví dụ 1,hãy viết phương trình tiếp tuyến của dồ thị hàm số tại điểm 4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm Xét sự chuyển động của một chất điểm.Giả sử quãng đường s đi được của nó là một hàm số của thời gian t ( còn gọi là phương trình chuyển động của chất điểm). Tương tự như ví dụ mở đầu,khi càng nhỏ (khác 0) thì tỉ số càng phản ánh chính xác độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm . Người ta gọi giới hạn hữu hạn  (nếu có) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm . Từ đó, ta có thể phát biểu ý nghĩa cơ học của đạo hàm như sau : Vận tốc tức thời tại thời điểm (hay vận tốc tại ) của một chuyển động có phương trình bằng đạo hàm của hàm số tại điểm ,tức là                                 . Chăng hạn,trong ví dụ mở đầu ta có:  . Do đó Vậy vật tốc của viên bi tại t_0 là Hình 1.189 H3.Một chất điểm chuyển động có phương tình (t tính bằng giây, s tính bằng mét).Vận tốc của chất điểm tại thời điểm (giây) bằng : (A) 2m/s ; (B) 3 m/s ; (C) 4 m/s; (D) 5m/s. Chọn kết quả đúng trong các kết quả trên. 5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng a) Khái niệm Cho hàm số f xác định trên tập J,trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó.Ta có định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc J. 2) Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số xác định bởi gọi là đạo hàm của hàm số f. Đạo hàm của hàm số cũng được kí hiệu bởi Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng . Giải Với mọi x thuộc khoảng ta có : * ; * Vậy hàm số có đạo hàm trên khoảng và a)Chứng minh rằng hàm số hằng có đạo hàm trên R.Tìm đạo hàm đó. b)Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm trên R.Tìm đạo hàm đó. b) Đạo hàm của một số hàm thường gặp Ta có định lí sau : ĐỊNH LÍ a) Hàm số hằng có đạo hàm trên R và b) Hàm số có đạo hàm trên R và ; c) Hàm số có đạo hàm trên R và ; d) Hàm số có đạo hàm trên khoảng và Chứng minh Sau đây ta chứng minh hai kết luận c và d. c) Với mỗi x thuộc R ta tính đạo hàm của hàm số tại điểm x theo định nghĩa : * Tính : Áp dụng công thức Niu -tơn đối với ,ta có . * Tìm giới hạn (chú ý rằng ): Vậy hàm số đã cho có đạo hàm trên R và d) Với mỗi x thuộc khoảng ta có : * * . Vậy hàm số có đạo hàm trên khoảng và CHÚ Ý Hàm số xác định tại x=0,tuy nhiên người ta chứng minh được rằng nó không có đạo hàm tại điểm x=0. Ví dụ 4 a) Tìm đạo hàm của hàm số b) Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm Giải a) Với ,ta có (với mọi ). b) Với ,ta có (với mọi . Do đó Cho hàm số .Tính và (nếu có) trong mỗi trường hợp sau: a) b) . Nói chung,việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp.Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những quy tắc tính đạo hàm,nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy về tính đạo hàm của những hàm số đơn giản hơn. Để tiện cho việc diễn đạt,kể từ bài này,ta sẽ sử dụng kí hiệu J để chỉ tập con của R gồm một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. 1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số ĐỊNH LÍ 1 Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số và cũng có đạo hàm trên J, a) ; b) . Ghi chú. Các công thức có thể viết gọn là  và Chứng minh a) Tại mỗi điểm ,ta có * * . Vậy . b) Kết luận này được chứng minh tương tự Nhận xét Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số có đạo hàm trên J thì trên J ta có                . Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng . Giải Trên khoảng ta có  Vậy a) Tính nếu . b) Cho hai hàm số và . Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R. Chứng minh rằng với mọi x thuộc R,ta có . 2. Đạo hàm của tích hai hàm số Định lí 1 có thể nói gọn là : Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số bằng tổng (hay hiệu) các đạo hàm của hai hàm số đó. Liệu điều tương tự có xảy ra đối với tích của hai hàm số hay không? Định lí sau sẽ trả lời câu hỏi đó. ĐỊNH LÍ 2         Nếu hai hàm số   và có đạo hàm trên J thì hàm số cũng có đạo hàm trên J,và ; Đặc biệt,nếu k là hằng số thì Ghi chú. Các công thức trên có thể viết gọn là  và Chứng minh Đặt . Ta sẽ tìm đạo hàm của f tại một điểm x tùy ý thuộc J. Khi biến số nhận số gia =u(x + \Delta x)-u(x) \Rightarrow  u(x + \Delta x)=u(x) + \Delta u   [/ct] Tương tự, do nên Ta sẽ sử dụng các đẳng thức trên để tính đạo hàm của hàm số f. * . * . Để ý rằng , . Ta có kết quả:  . Khi (hằng số) thì nên ta có . Cách tính đạo hàm như sau đúng hay sai,tại sao?  Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số trong mỗi trường hợp sau : a) ; b) . Giải a) b) . a) Chứng minh rằng nếu các hàm số u,v và w có đạo hàm trên J thì hàm số f xác định bởi (với mọi ) cũng có đạo hàm trên J và                     . b) Áp dụng ,tính đạo hàm của hàm số tại điểm . 3. Đạo hàm của thương hai hàm số Sử dụng định nghĩa,ta cũng chứng minh được định lí về đạo hàm của thương hai hàm số ĐỊNH LÍ 3.          Nếu hai hàm cố và có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và Ghi chú.  Công thức trên có thể viết gọn là  Chứng minh hệ quả dưới đây HỆ QUẢ      a) Trên ta có      b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi x thuộc J thì trên J ta có Ghi chú. Công thức thứ 2 trong hệ quả trên có thể viết gọn là  . Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số ,nếu : a)   (a là hằng số) b) . Giải a) Áp dụng định lí thứ 3 (ở đây và ),ta có      . b) Áp dụng hệ quả của định lí 3 (ở đây ),ta có Chọn kết quả đúng trong các kết quả cho sau đây Đạo hàm của hàm số bằng (A)   ;       (B) ;        (C) ;        (D) 4. Đạo hàm của hàm số hợp a) Khái niệm của hàm số hợp Ví dụ 4. Cho hai hàm số và ,trong đó và . Nếu trong , ta thay biến số u bởi u(x) thì được Đặt .Rõ ràng là một hàm số biến số x. Ta gọi g là hàm số hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u. Một cách tổng quát, ta có khái niệm hàm số hợp như sau (ở đây ta chỉ xét các hàm số được cho bởi biểu thức) Cho hai hàm số và . Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x),ta được biểu thức với biến x. Khi đó,hàm số với được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian. Trong định nghĩa trên,tập xác định của hàm số hợp là tập các giá trị của x sao cho biểu thức có nghĩa CHo và .Hãy tìm hàm số hợp và tập xác định của nó. b) Các tính đạo hàm của hàm số hợp ĐỊNH LÍ 4 a) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm và hàm số có đạo hàm tại điểm thì hàm số hợp có đạo hàm tại điểm và . b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp có đạo hàm trên J và . Ghi chú. Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn là Ví dụ 5. Đối với hàm số được nêu trong ví dụ 4, ta tính đạo hàm của nó như sau: Ta có . Do và . Vậy . Tổng quát ta xét hàm số (với và ). Có thể xem hàm số này là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian . Do đó nếu hàm số có đạo hàm trên J thì ta áp dụng định lí 4 để tính đạo hàm của hàm số hợp (còn viết là ) như sau : ; . Ghi chú . Công thức nêu trong hệ quả q được viết gọn là  Tương tự,ta xét hàm số . a) Tìm hàm số f sao cho hàm số là hàm  số hơp của hàm số f và hàm số trung gian . b) Chứng minh rằng nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và   HỆ QUẢ 2      Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số có đạo hàm trên J,và Ghi chú. Công thức nêu trong hệ quả 2 được viết gọn là Ví dụ 6 . GHI NHỚ a) Đạo hàm của một hàm số thường gặp (ở đây ) b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây (ở đây ) c) Đạo hàm của hàm số hợp (ở đây ): Muốn xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác,trước hết chúng ta cần nghiên cứu giới hạn cơ bản sau đây. 1. Giới hạn Ta đã chứng minh được định lí sau đây ĐỊNH LÍ 1           Người ta cũng chứng minh được kết quả sau đây : Nếu hàm số thỏa mãn các điều kiện : với mọi và thì Ví dụ 1. Tìm các giới hạn a)                  b) Giải a) b) Cho .Hãy tìm kết quả đúng trong các kết quả sau đây. (A) ;           (B)  ;          (C) ;           (D) . 2. Đạo hàm của hàm số ĐỊNH LÍ 2     a)Hàm số có đạo hàm trên R,và .     b)Nếu hàm số có đạo hàm trên J thì trên J ta có  . Ghi chú: Công thức nêu trong định lí 2b) có thể viết gọn là . Chứng minh a) Ta tính đạo hàm của hàm số tại điểm x bất kì thuộc R bằng định nghĩa * * Tìm giới hạn . Do và (vì hàm số liên tục ) nên .Vậy b) Công thức đạo hàm của được suy ra từ kết quả trên và công thức lấy đạo hàm của hàm số hợp. Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số . Giải . Cho hàm số .Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau : (A) ;     (B) ;         (C) ;         (D) 3. Đạo hàm của hàm số Từ công thức tính đạo hàm của hàm số , ta có . Ta suy ra định lí sau ĐỊNH LÍ 3     a) Hàm số có đạo hàm trên R và .     b) Hàm số có đạo hàm trên J thì trên J ta có  Ghi chú .Công thức nêu trong định lí 3b) có thể viết gọn là  . Cho hàm số .Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau : (A) ;       (B) ;        (C) ;       (D) 4. Đạo hàm của hàm số Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương hai hàm số, hãy tính đạo hàm của hàm số . Từ đó ta suy ra định lí sau : ĐỊNH LÍ 4 a) Hàm số có đạo hàm trên mỗi khoảng (với ), và  b) Giả sử hàm số có đạo hàm trên J và với mọi . Khi đó,trên J ta có  Ghi chú: Công thức nêu trong định lí 4b) có thể viết gọn là  . Ví dụ 3.Tính đạo hàm của hàm số Giải Do nên kết quả trên còn viết là . 5. Đạo hàm của hàm số ĐỊNH LÍ 5 a) Hàm số có đạo hàm trên mỗi khoảng (với ),và                  . b) Giả sử hàm số có đạo hàm trên J và với mọi . Khi đó trên J ta có  Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số Giải  Vì nên kết quả trên còn viết là . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả nêu sau đây đối với mỗi hàm số đã cho a) Cho (A) ;          (B) ; (C) ;           (D) . b) Cho . (A) ;         (B) ; (C) ;          (D) . Vui một chút! NGHỀ Tặng các thầy giáo dạy toán Mấy mươi năm song hành cùng phấn trắng Bấy nhiêu năm tri kỉ với Đạo hàm càng phết phẩy nghĩa tình càng đằm thắm Lấy tích phân ta chia sẻ nỗi niềm Tính tổ hợp tìm đường đi cuộc sống Vượt gian lao bằng xác suất thống kê Vẫn yêu đời tìm lo_ga_rit_nepe Bao nhiêu năm bước trên bục giảng Lớp lớp học trò - hàm mũ tháng năm Mắt long lanh trong vòng tròn lương giác Hồn ngây thơ theo hình vẽ không gian Khối hình trụ vững chắc làm chân đế Đa diện đều lấp lánh khối kim cương vẫn kiên trì theo định lí ba đường Mấy mươi năm đồng nghiệp biết bao người Thầy cô giáo những dáng hình tuyệt mỹ Sáng tâm hồn soi sáng cả niềm tin giờ đổi tiết tiếng cười ai giòn thế Chuyện vui đùa xua hết những phiền ưu Lại cầm phấn vẽ đường tròn lượng giác Vẫn vững vàng trên bước sóng hình sin Nguyên tiêu 2009 Tienphuc55@yahoo.com