Giáo án môn Toán khối 11 - Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Quan hệ song song

1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh: Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai không”; “ Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào quá trình dạy học ". Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em. 1.2 Lý do chọn đề tài: Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. 1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11B2,4. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản. 1.4 Mục đích nghiên cứu: Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nói riêng. 1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó. 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: Khi giải một bài toán về hình học không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? hình vẽ như thế có tốt chưa ? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bài nó như thế nào cho đúng đắn..Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song songcó được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. 2.2 Nội dung nghiên cứu của đề tài. Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng(). Hình 1 Hình 2 * Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng () ta tìm giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp() ( hình 1) Tóm tắt: Nếu thì * Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau: - Tìm mp() chứa d sao cho mp() cắt mp(). - Tìm giao tuyến a của hai mp() và mp() (hình 2) * Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giao viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn mp() sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ * Ví dụ: Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD). Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song. Hình 3 Hình 4 Lời giải: Từ giả thiết IJ và BD không song song. Gọi Kết luận: (hinh 4) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC). b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC) c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM). Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 5) học sinh khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm là đường thẳng SC. Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO. Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần tìm. (hình 6) Hình 5 Hình 6 Với câu b) (hình 7) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không có sự hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC). Từ đó tìm được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F ( hình 8). Hình 7 Hình 8 Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải chọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với mp(IJM). Với bài toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như mp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC). Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên không nên gò học sinh đi theo lời giải của mình. Hình 9 Hình 10 * Lời giải: a) Ta có Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có S là điểm chung thức nhất.(1) Gọi O là điểm chung thứ hai (2) Từ (1) và (2) Gọi Kết luận: b) Ta có IM (SAD) Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất Gọi E = ADBC E là điểm chung thứ hai SE = (SAD) ( SBC) Gọi F= IM SE F =IM (SBC) ( Hình 8) c) Ta có SC (SBC) Xét 2 mp( IJM) và (SBC) Ta có JF=(IJM) (SBC) Gọi H =JF SC H=SC(IJM) (Hình 10) Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng () và () . * Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp. Tóm tắt: Nếu thì ( Hình 11) Hình 11 Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước: Dựa vào các định lý sau: * Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy. * Hệ quả: Nếu thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b Hình 12 Hình 13 Hình 14 * Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu thì a//b ( hình 15) * Hệ quả: Nếu thì a // d. ( hình 16) Hình 15 Hình 16 Hình 17 * Đlý 3 (Sgk trang 67). Nếu thì ( hình 17) * Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ quả nêu trên) * Ví dụ: Bài 3: Trong mp() cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(). Tìm giao tuyến của các mp sau: a) Mp (SAB) và mp(SCD) b) Mp(SAC) và mp(SBD) c) Mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC). * Nhận xét: Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 18). Tương tự đối với hai mp(SAC) và mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình 19) Hình 18 Hình 19 Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung thứ hai M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 20) Hình 20 * Lời giải: a) Ta có (1) (2) Từ (1) và (2) b) Ta có (*) (**) Từ (*) và (**) c) Gọi , Xét hai mp(SAD) và (SEF) có: Kết luận : Tương tự: Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) . Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên phải gợi ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với mp(MNP). Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm trên những mặt phẳng nào và cho biết số điểm chung của các mặt phẳng đó với mp(MNP)? Hình 21 Hình 22 Lời giải: Ta có DD’ (CC’D’D) Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có: N là một điểm chung (1) MP //( mp(CC’D’D) (2) MP mp(MNP) (3) Từ (1), (2) và (3) (MNP) ( CC’D’D) = Nx // MP Gọi Q = DD’ Nx Q = DD’ (MNP) ( hình 21) * Chú ý: Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2 mp(MNP) và mp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình 22) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và CD, () là mặt phẳng chứa MN và song song với SA. a) Tìm giao tuyến của mp() với các mp(SAB) và mp(SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp() Nhận xét: Với dạng toán trên học sinh thường hay gặp lúng túng ở chỗ xác định mp(). Giáo viên nên lưu ý cho hoc sinh để xác định mp() ta cần tìm thêm một điểm nằm trên mp() nữa ngoài hai điểm M và N mà đề bài đã cho. Từ đó mà ta có thề tìm được giao tuyến của mp() với các mp(SAB) , (SAC) và thiết diện của hình chóp với mp() Lời giải: Hình 23 Hình 24 a) Xét 2 mp(SAB) và () có: M là điểm chung Mặt khác: SA // mp() SA mp(SAB) (SAB) ()= Mx // SA Xét 2 mp( SAC) và mp() : Gọi O = MN AC O là điểm chung của hai mp Mặt khác: SA // mp() SA mp(SAB) (SAC) ()= Oy // SA ( hình 23) b) Gọi Q = Mx SB , P = Oy SC Ta có () (ABCD) =MN () (SAB) = MQ () (SBC) = PQ () (SCD) = NP Kết luận: Thiết diện là tứ giác MNPQ. (hình 24) Bài toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (). * Phương pháp: (Đlý 1 SGK trang 61 ). Tóm tắt: Nếu thì d // () Hình 25 * Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác được nó. Giáo viên cần làm cho học sinh biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp. * Ví dụ: Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C). * Nhận xét: - Để chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) ta phải chứng minh được đường thẳng IG song song với một đường thẳng nằm trên mp(BB’C’C) - Điểm mấu chốt của bài toán là phải chứng minh đường thẳng IG song song với đường thẳng MN nằm trên mặt phẳng (BB’C’C). Hình 26 * Lời giải: Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên (1) G là trọng tâm tam giác ACC’ nên (2) Từ (1) và (2) suy ra Theo định lý talet đảo Kết luận: IG // (BB’C’C) Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng a) Gọi O , O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO’ song song với hai mp(ADF) và mp(BCE). b) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AE và BD sao cho , . Chứng minh MN song song với mp(CDFE). * Nhận xét : - Với câu a) thì học sinh dễ dạng phát hiện được đường thẳng a cần tìm là đường thẳng DF đối với mp(ADF), là đường thẳng CE đối với mp(BCE). - Đối với câu b) thì học sinh khó mà phát hiện được đường thẳng a ở đây là đường thẳng nào nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên thì học sinh sẽ gặp khó khăn.(Hình 27) * Giải quyết vấn đề: Giáo viên yêu cầu học sinh tìm giao tuyến của hai mp(AMN) và mp(CDFE). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng MN và đường giao tuyến mới vừa tìm được. Từ đó giúp cho học sinh thấy được hướng giải quyết của bài toán. * Lời giải: Hình 27 a)CM OO’// (ADF) và OO’//(BCE) Ta có: OO’ đường trung bình của tam giác BDF và tam giác ACE OO’//DF và OO’ // CE Mà , Kết luận: OO’ // (ADF), OO’ // (BCE). b) CM MN // (CDFE) . * Tìm giao tuyến của hai mp( AMN) và (CDFE). Hình 28 Ta có: E là điểm chung thứ nhất của hai mp.(1) Gọi I là giao điểm của AN và CD I là điểm chung thứ hai của hai mp (2) Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng EI là giao tuyến của hai mp(AMN) và (CDFE). * CM MN // (CDFE) Ta có: (*) Xét tam giác ABC có: và BO là trung tuyến N là trọng tâm của tam giác ABC Gọi J là giao điểm của AI và BC J cũng là trung điểm của AI (**) Từ (*) và (**) MN // CE Mà Kết luận : MN // (CDFE) (đpcm) Bài toán 4: Chứng minh hai mp() và mp() song song. * Phương pháp: (Đlý 1 SGK trang 64) Tóm tắt: Nếu thì mp() // mp(). * Nhận xét: Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mp, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào? Nằm trên mặt phẳng () hay mp(). Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho hoc sinh phát hiện ra được vấn đề của bài toán. * Ví dụ: Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD và ABD. Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song song. Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b nằm trên mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia. Vấn đề của bài toán là cách xác định các trọng tâm, giáo viên nên lưu ý cho học sinh cách xác định trong tâm dựa vào tính chất không nên vẽ quá nhiều các đường trung tuyến. Hình 29 * Lời giải: Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CD và BD. Ta có: MN // IJ Mà IJ (BCD) MN// (BCD) (1) Tương tự MP // (BCD) (2) Mà MN, MP (MNP) (3) Từ (1), (2), (3) (MNP) // (BCD) Bài 9: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M, N dựng các đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD và AF tại M’và N’. a) Chứng minh mp( ADF) // mp(BCF). b) Cứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N). * Nhận xét: Với câu a) thì học sinh dễ dàng chứng minh được nhưng đối với câu b) thì giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường thẳng AC và BF là bằng nhau, từ đó gợi mở cho học sinh biết chứng minh hai đường thẳng MM’ và M’N” song song với mp (DEF) dựa vào định lý talét đảo. * Lời giải: a) Ta có AF // BE mp( BCE) AD // BC mp (BCE) Mà AF, AD mp(ADF) Kết luận mp( ADF) // mp(BCE). Hình 30 b) Ta có MM’ // AB Mà AB // EF MM’ // EF mp(DEF) (1) Mặt khác MM’ // CD (*) NN’ // AB (**) Mà AM = BN, AC = BF (***) Từ (*), (**) và (***)M’N’ // DE mp(DEF) (2) Mà MM’, M’N’ mp(MM’N’N) (3) Từ (1) , (2), (3) (DEF) //(MM’N’N) (đpcm) Ngoài ra, để giải được một bài toán về hình học không gian ngoài việc nắm vững các phương pháp, kỹ năng giải toán thì hình vẽ đóng một vai trò quan trọng, hình vẽ tốt giúp cho chúng ta nhìn ra được hướng giải quyết, phát hiện ra được vấn đề của bài toán. Hình vẽ tốt là một hình vẽ đảm bảo được các điều kiện sau: - Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian ( SGK HH 11 trang 45, cơ bản). - Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ . - Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của bài toán. - Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài. - Ngoài ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về hình không gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, phân biệt được hình đa diện với hình đa giác, tứ diện với tứ giác. 2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề. Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung cần phân tích, kết hợp với hình ảnh trực quan để làm nổi bật được nội dung cần phân tích. 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy cho học sinh học tốt môn hình học không gian thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp chứng minh. Ngoài ra cần giúp cho học sinh biết cách tư duy hình ảnh, kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, hoc sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn. 3. KẾT LUẬN 3.1. Những bài học kinh nghiệm: Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì người giáo viên phải có một số kỹ năng sau: * Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề. * Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, trực quan hình vẽ. * Kỹ năng vẽ hình và trình bài lời giải. 3.2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung. 3.3 Khả năng ứng dụng, triển khai: Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bậc ở phương pháp giảng dạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phận tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề 3.4 Những kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn học, bản thân có kiến nghị với phòng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung một số mô hình của hình không gian, một số tranh minh họa các nội dung được thể hiện trong sách giáo khoa nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn. Tân An, ngày 01 tháng 10 năm 2011 Người Viết Lê Văn Tím DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO. 1. Trần Văn Hạo: Học tốt hình học 11- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. HCM, năm 2007 2. Trần Đức Huy: Giải bài tập hình học 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 2001 3. Nguyễn Mộng Hy: Bài tập hình học 11- Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007 4. Nguyễn Cam- Nguyễn Văn Phước- Nguyễn Hoàng Nguyên- Tuyển chọn 400 bài tập tự luận và trắc nghiệm- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2007. 5. Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải toán hình không gian 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 1997