Giáo án môn Toán khối 11 - Một số phương pháp giải phương trình mũ

A.một số phương pháp giải phương trình mũ I. Phương pháp đưa về cùng cơ số và lôgarit hoá 1. Kiến thức: Dạng 1: Dạng 2: 2.áp dụng: a, Phương trình dạng đẳng thức của hai luỹ thừa hoặc đưa được thành dạng đẳng thức của hai luỹ thừa : VD1: Giải phương trình: phương trình : thoả mãn) VD2: Giải phương trình: phương trình : ( thoả mãn) VD3: Giải phương trình: phương trình VD4:Giải phương trình: điều kiện: sin2x + 5sinx.cosx + 2 > 0 (*) phương trình : log( sin2x + 5sinx.cosx + 2) = log43-2 - log2(sin2x + 5sinx.cosx + 2) = - log23 ( Thoả mãn (*)) sin2x + 5sinx.cosx + 2 =3 1-cos2x + 5 sinx . cos x +2 = 3 cos x (5.sin x - cos x ) = 0 cos x = 0 hoặc 5.sin x - cos x = 0 * cos x = 0 x= * 5.sin x - cos x = 0 tg x =1/5 = tg x = Ví dụ 5 : Giải phương trình 2. 5=1, Txđ D= R Phương trình log22 + log 252-x =0 x2-4 - (x-2) log 25 = 0 (x-2)(x+2- log25 ) = 0 x-2= 0 x+2 - log25 = 0 x=2 x=-2 + log25 b,Phương trình mũ chứa ẩn ở cơ số . Ví dụ 1: Giải phương trình = (x-1 ) Cách 1 Pt Cách 2 Điều kiện x-1 > 0 x > 1 Pt lg = lg . lg (x-1) = .lg (x-1) ( - ) . lg (x-1) = 0 Ví dụ 2 :Giải phương trình: xlg x = 1000 x2 Txđ : D = R+* Pt lg x .lg x = lg 1000 + lg x2 (lg x)2-2 lg x - 3 = 0 ( lg x + 1 ) . ( lg x - 3 ) = 0 Ví dụ 3 :Giải phương trình: xlog2x+4 = 32 Txđ D = R+* Pt log2 xlog2x+4 = log2 32 (log2 x + 4 ). log2 x = 5 (log2 x -1).(log2 x +5) = 0 Ví dụ 4 :Giải phương trình: = (x-2 )11x-20 * Nếu x-2 = 0 hay x=2 ta có VT =0 ,VP = 0 VT = VP * Nếu x-2=1 hay x=3 ta có VT=1 ,VP= 1 VT =VP *Nếu 0 < x-2 1 hay 2 < x 3 phương trình x 2 +2 x = 11x -20 x 2 -9 x + 20 = 0 * Nếu x-2 = -1 hay x=1 ta có VT= -1 ,VP= -1 Vt =VP Vậy các nghiệm của phương trình là x 1; 2; 3; 4; 5 . Ví dụ 5 : Giải phương trình: = Txđ D= R+* *Nếu =0 x=1 thì vế trái có dạng 00 không có nghĩa, do đó x 1 * Nếu =1 x=2 thì VT =1, VP =1 x = 2 là nghiệm * Nếu x , x 2 thì Pt lg2x -2 lg x =3 lg2x -2 lg x -3 =0 lg x =-1 hoặc lg x = 3 x=hoặc x=1000. Vậy x = 2, x=, x=1000 II. Phương pháp đặt ẩn phụ . 1, Kiến thức : +, Phương trình mũ chứa af(x) ,a2f(x) ,...,akf(x) (k ẻ Z) thì ta có thể đặt af(x) = t,với điều kiện hẹp t > 0 .Khi đó a2f(x) = t2 , a3f(x) = t3 , a-f(x) = . Nếu a.b = 1 thì đặt af(x) = t bf(x) = . Nếu phương trình chứa a2f(x) , b2f(x) , ( a.b)f(x) thì ta chia cả hai vế cho 1 trong 3 luỹ thừa đó rồi mới đặt ẩn phụ . +,Nếu phương trình chứa af(x) ,ag(x) , af(x) + g(x) thì ta có thể đặt af(x) = u , ag(x) =v với điều kiện hẹp u> 0 ,v> 0 Như vậy, ta có thể chuyển phương trình mũ đã cho thành một phương trình với một ẩn phụ hoặc hệ phương trình với hai ẩn phụ . 2,áp dụng : a,Đưa về phương trình một ẩn phụ : Ví dụ 1 : Giải phương trình: , TXĐ D = ( -à; - ] ẩ [ ; + à ) Đặt t = điều kiện t > 0 4t2 - 5t - 6 = 0 Khi đó ta có phương trình = 2 x - 1 + 2 - x x = Ví dụ 2: Giải phương trình: (5 + )x + ( 5 - )x = 10, TXĐ: D = R Đặt t = (5 + )x, điều kiện : t > 0 ( 5 - )x = t + = 10 t2 - 10t + 1 = 0 t = 5 + hoặc t = 5 - ( thoả mãn) - Với t = 5 + ta có (5 + )x = 5 + x = 1 - Với t = 5 - ta có (5 + )x= 5 - = (5 + )-1x = - 1 Ví dụ 3: Giải phương trình: (7 + 4)x - 3( 2 - )x + 2 = 0 TXĐ : D = R ( 2 + )2x - 3( 2 - )x + 2 = 0 Đặt t = ( 2 + )x điều kiện t > 0 ( 2 - )x = pt t2 - + 2 = 0 t3 + 2t - 3 = 0 ( t - 1 ) ( t2 + t + 3 ) = 0 t = 1 với t = 1 ta có: ( 2 + )x = 1 x = 0 Ví dụ 4: Giải phương trình: 4 D = R (2 Đặt t = 2, điều kiện t > 0 pt t2 + = t3 - ()t + 2 = 0 ( t - ) ( t2 + t - ) = 0 Với t = ta có 2 = = 21/2 sin2 x = 1/2 sinx = x = + k với t = 2,08 , mà 2sinxx 2 phương trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình: 125x + 50x = 23x +4 D = R 53x + 50x = 24 . 23x Chia cả hai vế của phương trình cho 23x > 0 ta được: + = 24 Đặt = t , t > 0 , pt t3 + 2t2 - 16 = 0 ( t - 2 ) ( t2 + 4t + 8 ) = 0 t = 2 Với t = 2 = 2 x = log5/22 Ví dụ 6: Giải phương trình: 23x - 6. 2x - + = 1 TXĐ : D = R phương trình: ( 23x - ) - 6( 2x - ) = 1 Đặt t = 2x - ( 23x - ) = t3 + 6t t3 + 6t - 6t = 1 t3 = 1 t = 1 Với t = 1 ta có: 2x - = 1 ( 2x)2 - 2x - 2 = 0 ( 2x + 1 ) ( 2x - 2 ) = 0 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1 b, Dùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình 2 ẩn: Ví dụ 1: Giải phương trình: + = 4, D = R Đặt u = , v = , u > 0, v > 0 ta có hệ phương trình u, v là hai nghiệm của phương trình t2 - 4t + 1 = 0 u = 2 + , v = 2 - x = 2 u = 2 - , v = 2 + x = - 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: 9+ 9= 10 Đặt u = 9 , v = 9 điều kiện: 0 < u, v 9 Ta có hệ phương trình: u, v là hai nghiệm của phương trình: t2 - 10t + 9 = 0 Nếu u = 1 , v = 9 sinx= 0 x = k Nếu u = 9, v= 1 cosx = 0 x = + l Kết hợp: x = k, k Z Ví dụ 3: Giải phương trình: 2+ 2 = 2.2+ 1 , D = R 2+ 2= 2+ 1 2+ 2= 2 + 1 2+ 2= 2. 2 + 1 Đặt u = 2, v = 2 điều kiện u ,v > 0 Khi đó phương trình u + v = u . v + 1 ( u - 1) ( v - 1) = 0 Ví dụ 4: Giải phương trình: D = R Đặt u = 2x-1+ 1 , v = 21 - x + 1, điều kiện: u ,v > 1 Khi đó: u.v =( 2x-1+ 1) . (21 - x + 1) = 1 + 2x-1 + 21 - x + 1 = u + v Ta có hệ Nếu u = v = 2 x = 1 Nếu u = 9, v = x = 4 Ví dụ 5: Giải phương trình: 22x - Đặt u = 2x , v = , điều kiện: u > 0, v > Ta có hệ phương trình: Trừ từng vế hai phương trình ta được: u2 - v2 = v - u ( u - v) ( u+v + 1) = 0 Nếu u = v ta có: u2 - u - 6 = 0 2x = 3 x = log Nếu u + v + 1 = 0 ta có u2 + u - 5 = 0 2x = x = log2 III. Phương pháp hàm số: 1. Kiến thức: - Nếu hàm f tăng ( hoặc giảm) trên ( a,b) thì phương trình f(x) = k có không quá 1 nghiệm trên ( a,b) - Nếu hàm f tăng ( hoặc giảm) trên ( a,b) thì f(u) = f(v) u = v với mọi u,v thuộc (a,b) - Nếu hàm f tăng trên ( a,b) và hàm g giảm trên ( a, b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc ( a,b) . Do đó nếu tồn tại x0 ( a,b) f(x0) = g(x0) thì x0 là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: 15+ 1 = 4x D = R Chia cả hai vế cho 4x 0 ta được: + = 1 Xét hàm số y = f(x) = + là hàm nghịch biến trên R . Ta có:+ với x = 2 , f(2) = + = 1 x = 2 là nghiệm của phương trình + Với x > 2 , f(x) < f( 2) = 1 phương trình vô nghiệm + với x f(2) = 1 phương trình vô nghiệm Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 + 3log= xlogD = R Đặt t = log2x x = 2t pt (2t)2 + 3t = ( 2t) log 4t + 3t = 5t (*) Chia cả hai vế của phương trình (*) cho 5t 0 ta được: (= 1 Xét hàm: y = f(t) =( là hàm nghịch biến trên R .Với t = 2 ,f(2) = ()2 +()2 = 1 t=2 là nghiệm của pt (*) log2 x =2 x=4 .Với t > 2 ,f(t) < f(2) =1 Pt vô nghiệm .Với t f(2) =1 Pt vô nghiệm Vậy x= 4 là nghiệm duy nhất của pt. Ví dụ 3 : Giải phương trình: 3.4x+(3x-10). 2x + 3- x = 0 Txđ D = R Đặt t = 2 x ,,t > 0 Pt 3 t2 + (3 x -10) t + 3-x = 0 Ta có = ( 3x - 10)2 - 4.3.(3-x) = (3x- 8)2 Pt có nghiệm t1 =, t2 =3- x. Với t1= 2x = x=- log23 Với t2=3-x 2x = 3-x (*) Đặt f(x) = 2x , g(x) = 3-x ta có f(x) đồng biến , g(x) nghịch biến trên R . Vì f(1)=2 ,g(1)=2 suy ra x=1 là nghiệm của pt (*) . Ví dụ 4 :Giải phương trình: +2x-1 =(x-1)2 Txđ D=R Pt 2x-1+x-1 = +x2-x. Đặt f(t)= 2t +t suy ra f(t) đồng biến trên R . Pt có dạng f(x-1) =f(x2-x) suy ra x-1=x2-x x=1. Ví dụ 5: Giải phương trình: Log3 (+2) +(=2 Txđ D= Đặt t=,t 0 suy ra 3x - x2-1 =1-t2 PT log3(t+2) + (=2 log3(t+2) + .=2 (*) Xét hàm số f(t)= log3(t+2) + . ,với Txđ R+ Ta có f'(t) = + .2t.ln3 > 0 trên R+ f(t) đồng biến trên D = R+ Ta có f(1)= log33 + .5= 2 suy ra f(t) =f(1) t=1 =1x= Ví dụ 6 : Giải phương trình: 3x + 5x = 2.4x Txđ D = R Pt 5x- 4x = 4x- 3x Xét hàm số f(t) = (t + 1)- t với t > 0 và là nghiệm của Pt Khi đó f(4) = f(3) . Theo định lý Lagrang tồn tại số c sao cho f'(c) =0 mà f'(t) = ..= 0 Thử lại với x=0 , x=1 thoả mãn pt đã cho . IV. Phương pháp đánh giá 1.Kiến thức : Cho phương trình f(x) = g(x) với Txđ D . Nếu với mọi xD mà f(x)a và g(x) a thì pt tương đương với hệ sau đây : 2. áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2= cos2x D = R Vì x2 2 20 = 1 cos2x 1 do đó phương trình đã cho tương đương với hệ: x = 0 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 = - x2 + 6x - 6 D = R 3 = 3 3 - x2 + 6x - 6 = 3 - ( x - 3)2 3 Do đó phương trình đã cho tương đương với hệ: x - 3 = 0 x = 3 Ví dụ 3: Giải phương trình: 4sinx - 2 1+ sĩnx. cos (xy) + 2 = 0 D = R pt (*) Ta có: 2 1 y ; cos2(xy) 1 x,y 2 - cos2(xy) 0 0 x,y R Do đó pt (*) tương đương : k Z Ví dụ 4: Giải phương trình: 4sin+ 4cos= - 8 x2 + 12- Ta có : +4cos= + =4 Dấu “ = “ xảy ra 4= 4= 2 *, - 8 x2 + 12 -1/2 =4 - 2.(2-3/2)2 Dấu “ = “ xảy ra 2-3/2= 0 . Do đó pt đã cho VT= VP = 4 x= B. Các phương pháp giải và biện luận phương trình mũ chứa tham số. I .Phương pháp tam thức bậc hai : 1.Kiến thức : Cho tam thức bậc hai f(x) = a x2 + b x + c với a khi đó a, Nếu tồn tại số sao cho và a .f() < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mãn x1 < < x2 . b, Nếu tồn tại số sao cho (,a .f() < 0,) thì c, Nếu tồn tại số sao cho (,a .f() 0 ) thì < x1< x2 d, Nếu tồn tại số sao cho (,a .f() < 0, <0 ) thì x1< x2< e,Nếu tồn tại 2 số ,sao cho f().f() < 0 thì x1, x2 2, áp dụng: Ví dụ 1 : Giải và biện luận pt (m-2). 2x + m. 2-x + m = 0 Đặt t= 2x ,t> 0 ,pt f(t) = (m-2) t2 + 2mt + m=0 (2) m2 -(m-2) = 2m ; s=,P = Bảng tóm tắt : m P S Dấu của các nghiệm - - + + Pt vô nghiệm. 0 0 0 0 t1 = t2 = 0 2 + - - t1 < 0 < t 2 + + + + 0 < t1 < t2 Kết luận : m . Pt (1) vô nghiệm . 0 0 x= log2t2 m = 2 : Pt (1) vô nghiệm . m > 2 :pt (1) có 2 nghiệm x1 =log2t1; x2= log2t2. Ví dụ 2 : Tìm m để pt (m+3). 16x + ( 2m -1 ) .4x + m+1 = 0 (1) có 2 nghiệm trái dấu Đặt t = 4x ,t > 0 ,pt f(t) = (m+3) t2 + (2m-1).t +m + 1 = 0 (2) x1< 0 <x2 0< <40< 0< t1< 1 < t2 -1< m <-3/4 Ví dụ 3: Tìm m để pt (m-1).32x+ 2(m-3).3x+m+3 =0 (1) ,có nghiệm Đặt t=3x,t > 0 ,pt f(t)= (m-1)t2+2(m-3)t +m+3 =0. * Với m=1 ta có (2) -4t +4=0 t=1 Khi đó 3x =1 x=0 * Với m1,pt (1) có nghiệm pt(2) có nghiệm t > 0 TH1 : pt(2) có 1 nghiệm t > 0 a.f(0) < 0 (m-1).(m+3) < 0 -3< m < 1 TH2 : pt(2) có 2 nghiệm t >0 Giải hệ ta được 1 < m 3/2 II.Phương pháp hàm số: 1. Kiến thức : Cho pt f(x) = g(x) với txđ D số nghiệm của pt bằng số giao điểm của đồ thị 2 hàm số y= f(x) ,y=g(x) 2. áp dụng : Ví dụ 1 : Giải và biện luận pt: - 24x +3m = (4-m2 )x + 3m -6 (1) TXĐ: D = R Pt + m2 x + 6 = 24x +3m + 4x +3m Xét hàm số f(t) = 2t + t là hàm số đồng biến Pt (2) f(m2x +6) = f(4x+3m) m2x +6 = 4x +3m (m2 - 4) x = 3m -6 (3) *m2- 4 =0 m = 2 Với m=2 thì (3) x= 0 xR Với m=-2 thì (3) x= -12 x *m2- 40 m và m,pt (3) x= Ví dụ 2: Tìm m để pt : 3 (1) có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn pt (1) 3 (2) Đặt t = , t > 0, phương trình (2) 3 (3) Xét hàm số f(x) = 3, g(x) = f(t) đồng biến với t > 0 , g(t) nghịch biến với t > 0 Ta có f() = g() = 1 do đó phương trình 3 có nghiệm duy nhất t = = Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn thì Ví dụ 3 : Giải và biện luận pt: x. e-3x - m = 0 (1) Pt x. e-3x=m Xét hàm số y = x. e-3x với Txđ D = R Y’ = . e-3x -3 x. e-3x ,y’ =0 x=1/3 =-,=0 Bảng biến thiên x - 0 1/3 + y’ + + 0 - y - 0 CĐ 0 *Nếu m > 1/3e : Pt vô nghiệm *Nếu m = 1/3e : pt có 1 nghiệm kép x = 1/3 *Nếu 0 < m < 1/3 Pt có 2 nghiệm phân biệt * Nếu m : Pt có nghiệm duy nhất Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: (1) có 4 nghiệm phân biệt. Ta có: = ( m + 1/2)2 + 3/4 > 0 m nên phương trình (1) = - log (2) Đặt - log = a, phương trình (2) = a Xét hàm số y = = y' = x - 0 1 2 + y' - + - + y + 0 1 0 + phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt 0 < a < 1 0 < - log < 1 1/3 < < 1 -1 < m < 0 III.Phương pháp điều kiện cần và đủ . 1. Kiến thức : Dạng toán : - Tìm điều kiện của tham số để pt mũ có nghiệm duy nhất . -Tìm điều kiện của tham số để pt mũ có nghiệm với mọi x Thực hành : - Đặt đk để các biểu thức của pt có nghĩa - Tìm đk cần dựa vào việc đánh giá hoặc tính các biểu thức đối xứng. -Kiểm tra đk đủ . 2. áp dụng. Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất = 3m-2 (1) Điều kiện cần : Giả sử pt có nghiệm x=x0 = 3m-2 = 3m-2 (1) 4 - x0 cũng là nghiệm của pt (1) Do đó (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = 4- x0 x0 = 2 Thay x0=2 vào (1) ta có m= 1 Điều kiện đủ : Giả sử m=1 ,khi đó pt(1) =1 x=2 Vậy với m=1 ,pt đã cho có nghiệm duy nhất. Ví dụ 2 : Tìm m để 2 pt sau tương đương 4x+1+ 2x+4 = 2x+2 +16 (1) và .3x-2 + m. 9x-1 =1 (2) Đặt t= 2x+1,t >0 .khi đó pt (1) t=2 2x+1 = 2 x=0 Đk cần : Giả sử (1) (2) ,khi đó x = 0 cũng phải là nghiệm của (2) .3-2 +m.9-1 =1 +m = 9 m Đk đủ : Giả sử m ,đặt t= 2x-2 khi đó t > 0 và pt (2) 9mt2 + (9-m) t -1 =0 * Nếu m=0 ta có pt 9t = 1 t= 1/9 3x-2 =1/9 x=0 *Nếu m0 ,pt (3) có nghiệm t1=1/9 , t2=-1/m Để pt (2) có nghiệm duy nhất thì Kết hợp ta có