Giáo án môn Toán lớp 11 - Bài 2: Phương trình lượng giác

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Kiến thức cơ bản: Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác. Tổng quát: m Ỵ[– 1 ; 1], n Ỵ R. · sinu = m Û · tanu = n Û (chú ý đk) · cosu = m Û · cotu = n Û (chú ý đk) Nếu m, n là các số đặc biệt : m Ỵ , n Ỵ thì : · sinu = sinv Û · tanu = tanv Û (chú ý đk) · cosu = cosv Û · cotu = cotv Û (chú ý đk) @ Chú ý: C Các trường hợp đặc biệt: sinx = – 1 Û x = – + k2p tanx = – 1 Û x = – + kp sinx = 0 Û x = kp tanx = 0 Û x = kp sinx = 1 Û x = + k2p tanx = 1 Û x = + kp cosx = – 1 Û x = (2k + 1)p cotx = – 1 Û x = – + kp cosx = 0 Û x = + kp cotx = 0 Û x = + kp cosx = 1 Û x = k2p cotx = 1 Û x = + kp A Khi gặp dấu trừ ở trước thì: – sinx = sin(– x) – cosx = cos(p – x) – tanx = tan(– x) – cotx = cot(– x) B Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0). Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác. Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a ¹ 0): · asin2u + bsinu + c = 0 (1) · acos2u + bcosu + c = 0 (1) Đặt t = sinu. Điều kiện: – 1 £ t £ 1. Đặt t = cosu. Điều kiện: – 1 £ t £ 1. (1) Û at2 + bt + c = 0 (1) Û at2 + bt + c = 0 · atan2u + btanu + c = 0 (1) · acot2u + bcotu + c = 0 (1) Điều kiện: cosu ¹ 0. Điều kiện: sinu ¹ 0. Đặt t = tanu, (1) Û at2 + bt + c = 0 Đặt t = cotu, (1) Û at2 + bt + c = 0 @ Chú ý: Nếu phương trình có chứa tanu, cotu, sin2u, cos2u, tan2u, cot2u,.. đặt t = tanu, khi đó: , sin2u = , cos2u = , tan2u = , cot2u = . Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển). asinx + bcosx = c (1) với a, b, c Ỵ R, và a2 + b2 ¹ 0 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là: a2 + b2 ³ c2 Chia 2 vế phương trình cho, ta được: sinx + cosx = Vì nên đặt cosa = , sina = Khi đó ta được: sin(x + a) = rồi giải như phương trình cơ bản. @ Chú ý: C Ngoài ra ta có thể dùng công thức tính sinx, cosx theo t = . Sau đây là cách giải: Đặt t = . Điều kiện x ¹ p + k2p Þ sinu = và cosu = (1) Û a. + b. = c Û (a + c)t2 – 2bt + c – a = 0 (2) Giải (2) tìm nghiệm t1, t2 nếu có, rồi sau đó giải phương trình = t1, = t2 để tìm nghiệm x (phải thỏa điểu kiện) A Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải: sinx ± cosx = sin(x ± ) = cos(x ) Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp). asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (1) Hoặc a¢sin2x + b¢sinxcosx + c¢cos2x = d (2) (2) Û a¢sin2x + b¢sinxcosx + c¢cos2x = d(sin2x + cos2x) Û (a¢– d)sin2x + b¢sinxcosx + (c¢– d)cos2x = 0 (2¢) Phương trình (2¢) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1). Nếu gặp dạng (2) thì ta đưa về dạng (1) như trên. Sau đây là cách giải dạng (1): Nếu a = 0 và b, c ¹ 0 thì (1) Û cosx.(bsinx + ccosx) = 0 Û Nếu c = 0 và b, a ¹ 0 thì (1) Û sinx.(asinx + bcosx) = 0 Û Nếu a, b, c ¹ 0: C Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì sinx = ± 1). Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x = + kp (k Ỵ Z). A Với cosx ¹ 0, chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được phương trình: atan2x + btanx + c = 0 (1¢) (1¢) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải (Xem phần 2). B Nghiệm của (1) là nghiệm của (1¢) và x = + kp (nếu có). @ Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình bậc nhất theo sinX và cosX (Phần 3). Với: , , J Phương trình đẳng cấp bậc 3: asin3x + bsin2xcosx + c.sinxcos2x + dcos3x = 0 giải tương tự như đẳng cấp bậc 2. Phương trình đối xứng – Phản đối xứng. Dạng1: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) Đặt t = sinx + cosx = sin(x + ) Điều kiện: –£ t £ Û t2 = 1 + 2sinxcosx Û sinxcosx = (1) Û at + b. = c Û bt2 + 2at – b – 2c = 0 (2) Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: –£ t £ Giải phương trình sin(x + ) = t để tìm x. Dạng 2: a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c (1) Đặt t = sinx – cosx = sin(x – ) Điều kiện: –£ t £ Û t2 = 1 – 2sinxcosx Û sinxcosx = (1) Û at + b. = c Û bt2 – 2at – b + 2c = 0 (2) Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: –£ t £ Giải phương trình sin(x – ) = t để tìm x. Dạng 3: a|sinx ± cosx| + bsinxcosx = c (1) Đặt t = |sinx ± cosx| = Điều kiện: 0 £ t £ Giải tương tự như trên. Phương trình lượng giác không mẫu mực. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm: Trường hợp 2: Phương pháp đối lập: Trường hợp 3: Sử dụng tính chất : · sinu + sinv = 2 · sinu – sinv = 2 · sinu + sinv = – 2 · sinu – sinv = – 2 · Tương tự cho các trường hợp cosu ± cosv = ± 2 và cosu ± cosv ± 2. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất : · sinu.sinv = 1 · sinu.sinv = –1 · Tương tự cho các trường hợp cosu.cosv = ±1, sinu.cosv = ±1, cosu.sinv = ±1. Bài tập tự luận: Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) sinx = – 2) sinx = 3) sin(x – 600) = 4) sin2x = – 1 5) cos(3x – ) = – 6) cos(x – 2) = 7) 8) cos(2x + 500) = 9) tan2x = tan 10) tan(3x – 300) = – 11) 12) 13) 14) sin4x = 15) 16) cos(3x – 450) = 17) sin3x = – 18) sin(2x – 150) = 19) 20) cos(x + 3) = 21) sin2x = 22) cos(2x + 500) = – 23) 2cosx – = 0 24) tan3x – 3 = 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) cos2x . cot = 0 2) 3) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0 4) (cotx + 1) . sin3x = 0 5) sin2x . cotx = 0 6) tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 0 7) (2cos2x – 1)(2sin2x –) = 0 8) (3tanx + )(2sinx – 1) = 0 9) tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0 10) (2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0 11) (sinx + 1)(2cos2x – ) = 0 12) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 0 Bài 3. Giải các phương trình sau: 1) sin(2x – 150) = với – 1200 < x < 900 2) cos(2x + 10 = với – p < x < p 3) sin với 0 < x < 2p 4) tan với 0 < x < p 5) sinx = – với – p < x < 0 6) cos(x – 2) = với x Ỵ [0 ; p] 7) tan(x – 100) = 1 với – 150 < x < 150 8) sin= 1 với x Ỵ [p ; 2p] Bài 4. Giải các phương trình sau: 1) cos3x – sin2x = 0 2) tanx tan2x = – 1 3) sin3x + sin5x = 0 4) cot2x cot3x = 1 5) sinx – cos(x + 600) = 0 6) cos(x – 100) + sinx = 0 7) 8) 9) sin3x = cos2x 10) cosx = – sin2x 11) sin2x + cos3x = 0 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0 13) tanx . tan3x = 1 14) cot2x.cot(x + 450) = 1 15) = 0 16) = 0 17) tan3x + tanx = 0 18) tan3x + tan(2x – 450) = 0 Bài 5. Giải các phương trình sau: 1) sin2x = 2) 4cos2x – 3 = 0 3) sin23x – cos2x = 0 4) sin2(x – 450) = cos2x 5) 8cos3x – 1 = 0 6) tan2(x + 1) = 3 Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác Bài 6. Giải các phương trình sau: 1) 2cos2x – 2( + 1)cosx + + 2 = 0 2) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0 3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin2x – 2cos2x + = 0 5) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 6) cot4x – 4cot2x + 3 = 0 7) cos2(x + ) + 4cos() = 8) tan2x – + 5 = 0 9) – 1 + tanx – (tanx + 1) = 0 10) cos4x – 3 + 2 = 0 11) 2cos2x + cosx – 2 = 0 12) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 13) 6sin2x – 5sinx – 4 = 0 14) 15) 16) 17) 18) cos2x + sinx + 1 = 0 Bài 7. Giải các phương trình sau: 1) tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0 2) 4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 3 3) tan3x – 1 + + 2cot = 3 4) 2sin2x = 1 + sin3x 5) 1 + sin3x = sinx + cos2x 6) tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = 6 7) 8) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển) Bài 8. Giải các phương trình sau: 1) sinx – cosx = 2) cosx + sinx = – 3) sin4x + cos4x = 4) 2sinx – 9cosx = 5) cos(2x – 150) + sin(2x – 150) = – 1 6) 2cosx – 3sinx + 2 = 0 7) cosx + 4sinx + 1 = 0 8) sin2x + 3cos2x = 4 9) 2sinx – 2 cosx = 10) sinx – cos2x = 1 11) cosx –sinx = 12) 3sin3x – 4cosx = 5 13) 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0 14) 3sinx + cosx = 1 Bài 9. Giải các phương trình sau: 1) 2sin22x + sin4x = – 3 2) cosx +sinx = 2 cos 3) 2sin + sin = 4) 3cosx + 4sinx = = 6 5) 3sin3x – cos9x = 1 + 4sin33x 6) 5cos(2x + 180) – 12sin(2x + 180) = –13 7) 2cos + 3cos= 8) sin2x + sin2x = 9) 2sin2x + sin2x = 3 10) 3cos2x – sin2x – sin2x = 0 11) 4sinxcosx = sin4x + 3cos2x 12) 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx) 13 2sin17x + cos5x + sin5x = 0 14) cosx – sinx = 2cos3x 15) sin9x + cos7x = sin7x + cos9x 16) sin5x + cos5x = cos13x 17) 8sin2 – 3sinx – 4 = 0 18) 19) 20) 3cosx – 4sinx = = 3 Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau: 1) y = 2sinx + cosx + 1 2) y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3 3) y = sin2x + cos2x – 2 4) y = Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp) Bài 11. Giải các phương trình sau: 1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0 2) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2 3) sin2x + sin2x – 2cos2x = ½ 4) 2cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4 5) sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 0 6) cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0 7) cos2x – sin2x – sin2x = 1 8) 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0 9) 3sin2x – 2sinxcosx + cos2x – 1 = 0 10) 4sin2x – 3sin2x – 2cos2x = 4 11) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2 12) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1 13 cos2x – sin2x – sin2x = 1 14) sin2x + 2cos2x – 1 = 0 15) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0 16) 3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 + 17) sin3x + cos3x = sinx + cosx 18) sin3x + 2sin2xcosx – 3cos3x = 0 19) sin3x – 5sin2xcosx – 3sinxcos2x + 3cos3x = 0 20) cos3x – 4cos2xsinx + cosxsin2x + 2sin3x = 0 *Phương trình đối xứng – Phản đối xứng* Bài 12. Giải các phương trình sau: 1) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 2) (cosx – sinx) + 2sin2x – 1 = 0 3) 2½sinx + cosx½+ 3sin2x = 2 4) ½sinx – cosx½+ 4sin2x = 1 5) tanx + cotx = (sinx + cosx) 6) (1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x 7) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0 8) 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0 9) cosx + + sinx + = 10) sin2x – sin + 1 = 0 Phương trình lượng giác không mẫu mực Bài 13. Giải các phương trình sau: 1) sin25x + 1 = cos23x 2) sin2x – 2sinx + 2 = sin23x 3) sinx + cosx = (2 – sin3x) 4) 2cos2x = 3sin25x + 2 5) (cos4x – cos2x)2 = 4 + cos23x 6) sinx + cosx = tanx + cotx 7) cos5x.sin3x = 1 8) sin2x + sin3x + sin4x = 3 Phương trình dạng khác (tổng quát) Bài 14. Giải các phương trình sau: 1) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x 2) sin24x + sin23x + sin22x + sin2x = 2 3) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 4) sin2x + sin2x = cos23x + cos24x 5) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0 6) sin2x + sin22x = sin23x 7) cos2x – cos8x + cos6x = 1 8) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 9) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x 10) sin6x.sin2x = sin5x.sinx 11) cos8x.cos5x = cos7x.cos4x 12) sin7x.cosx = sin5x.cos3x 13 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cosx – 3 = 0 14) sin3x + sin5x + sin7x = 0 15) cos2x + 4sin4x = 8cos6x 16) sinx = sin5x – cosx 17) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x 18) sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x 19) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x 20) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 21) tanx + cot2x = 2cot4x 22) 2cos2x + sin10x = 1 23) tanx + tan2x = sin3x.cosx 24) 5tanx – 2cotx = 3 25) 26) 27) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 28) 4sin3x = sinx + cosx 29) 30) sin4x + cos4x = Phương trình lượng giác có tham số Bài 15. Định m để phương trình: 1) msinx – 2m + 1 = 0 có nghiệm 2) mcosx – 2m + 1 = (2m – 1)cosx có nghiệm 3) msinx + 1 = 2(sinx + m) vô nghiệm 4) cos2x – sinx.cosx – 2sin2x = m có nghiệm 5) (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1) có nghiệm 6) mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2 có nghiệm 7) sinx + mcosx = 1 vô nghiệm 8) (m + 2)sinx + mcosx = 2 vô nghiệm 9) (m2 + 2)cos2x – 2msin2x + 1 = 0 có nghiệm 10) sin2x – 4(cosx – sinx) = m có nghiệm Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học, cao đẳng 1) ĐH – A – 2002 2) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x ĐH – B – 2002 3) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x Ỵ [0 ; 14] ĐH – D – 2002 4) ĐH – A – 2003 5) ĐH – B – 2003 6) ĐH – D – 2003 7) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x ĐH – B – 2004 8) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx ĐH – D – 2004 9) cos23x.cos2x – cos2x = 0 ĐH – A – 2005 10) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 ĐH – B – 2005 11) sin4x + cos4x + cos.sin = 0 ĐH – D – 2005 12) (với x Ỵ (0 ; p) Dự bị 1 ĐH – A – 2005 13) Dự bị 2 ĐH – A – 2005 14) Dự bị 2 ĐH – B – 2005 15) Dự bị 1 ĐH – D – 2005 16) sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 Dự bị 2 ĐH – D – 2005 17) ĐH – A – 2006 18) ĐH – B – 2006 19) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 ĐH – D – 2006 20) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x = Dự bị 1 ĐH – A – 2006 21) 2sin Dự bị 2 ĐH – A – 2006 22) (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 0 Dự bị 1 ĐH – B – 2006 23) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 Dự bị 2 ĐH – B – 2006 24) cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 Dự bị 1 ĐH – D – 2006 25) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 Dự bị 2 ĐH – D – 2006 26) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x ĐH – A – 2007 27) 2sin22x + sin7x – 1 = sinx ĐH – B – 2007 28) ĐH – D – 2007 29) Dự bị 1 ĐH – A – 2007 30) Dự bị 2 ĐH – A – 2007 31) Dự bị 1 ĐH – B – 2007 32) Dự bị 2 ĐH – B – 2007 33) Dự bị 1 ĐH – D – 2007 34) (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx Dự bị 2 ĐH – D – 2007 35) ĐH – A – 2008 36) sin3x – cos3x = sinxcos2x – sin2xcosx ĐH – B – 2008 37) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx ĐH – D – 2008 Bài tập trắc nghiệm: Nghiệm của phương trình sinx = cosx là: Ⓐ x = + k2p Ⓑ x = – + k2p Ⓒ x = + k Ⓓ x = ± + k2p. Nghiệm của phương trình 1 – cos2x = 0 là: Ⓐ x = + k2p Ⓑ x = k2p Ⓒ x = kp Ⓓ x = + k2p. Nghiệm của phương trình tan2x = 0 là: Ⓐ x = k2p Ⓑ x = k Ⓒ x = kp Ⓓ x = + kp. Nghiệm của phương trình cos = là: Ⓐ x = Ⓑ x = Ⓒ x = Ⓓ x = Nghiệm của phương trình cos + = 0 là: Ⓐ x = Ⓑ x = Ⓒ Cả A và B Ⓓ Đáp án khác Nghiệm của phương trình cosx + cos = 0 là: Ⓐ x = Ⓑ x = Ⓒ x = Ⓓ x = Nghiệm của phương trình cos + = 0 là: Ⓐ x = Ⓑ x = Ⓒ x = Ⓓ x = Nghiệm của phương trình tan4x – 1 = 0 là: Ⓐ x = Ⓑ x = Ⓒ x = Ⓓ x = Nghiệm của phương trình cot3x + 1 = 0 là: Ⓐ x = Ⓑ x = Ⓒ x = Ⓓ x = Nghiệm của phương trình cot(x + 300) + = 0 là: Ⓐ x = 900 + k1800 Ⓑ x = – 300 + k1800 Ⓒ x = –900 + k1800 Ⓓ x = –300 + k3600 Nghiệm của phương trình cos(x – 100) + sinx = 0 là: Ⓐ x = 1400 + k1800 Ⓑ x = –1400 + k3600 Ⓒ x = –1400 + k1800 Ⓓ x = 1400 + k3600 Nghiệm của phương trình sin6x = sin là: Ⓐ x = + k Ⓑ x = + k Ⓒ Cả 2 nghiệm trên Ⓓ Kết quả khác Nghiệm của phương trình sinx – cos = 0 là: Ⓐ x = – – k Ⓑ x = – k Ⓒ x = – – k2p Ⓓ x = – k2p Nghiệm của phương trình sin(2x + 300) = sinx là: Ⓐ x = 300 + k3600 Ⓑ x = 500 + k1200 Ⓒ Cả 2 nghiệm trên Ⓓ Kết quả khác Nghiệm của phương trình cot3x = 0 là: Ⓐ x = + kp Ⓑ x = + kp Ⓒ x = + k2p Ⓓ x = + k Một nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 là: Ⓐ x = + k Ⓑ x = + k2p Ⓒ x = + kp Ⓓ x = + k Nghiệm của phương trình sinx + sin(x – 100) = 0 là: Ⓐ x = 50 + k1800 Ⓑ x = –50 + k1800 Ⓒx = 50 + k3600 Ⓓ x = –50 + k3600 Nghiệm của phương trình tan(x – 100) + cot2x = 0 là: Ⓐ x = 1000 – k1800 Ⓑ x = –1000 – k1800 Ⓒ x = 800 – k1800 Ⓓ x = 800 + k1800 Số nghiệm của phương trình sin2x = trên (– p ; 0) là: Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4 Số nghiệm của phương trình cos(x – 2) = trên [0 ; p] là: Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4 Số nghiệm của phương trình tan(x – 100) = 1 trên (–150 ; 150) là: Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3 Phương trình nào sau đây vô nghiệm: Ⓐ pcos(2x – 1) + = 0 Ⓑ 2008cosx – 2007 = 0 Ⓒ (1 + )cos7x + 1 = 0 Ⓓ cosx + cos2007 = 0 Với giá trị nào của m thì phương trình sinx + m + 1 = 0 có nghiệm. Ⓐ m ³ – 1 Ⓑ m £ – 1 Ⓒ 0 £ m £ 2 Ⓓ – 2 £ m £ 0. Với giá trị nào của m thì phương trình sinx – m2 + 1 = 0 vô nghiệm. Ⓐ m ³ – 1 Ⓑ m Ⓒ – £ m £ Ⓓ m £ – 1. Giá trị của m để phương trình (m + 1)cosx + 1 – m = 0 có nghiệm là: Ⓐ m ³ 0 Ⓑ m £ 0 Ⓒ m > 0 Ⓓ m < 0 Giá trị của m để phương trình (m + 1)cosx + 1 – m = 0 vô nghiệm là: Ⓐ m ³ 0 Ⓑ m £ 0 Ⓒ m > 0 Ⓓ m < 0 Số nghiệm của phương trình 2sin2x – 1= 0 trên khoảng (–;p) là: Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4 Tập nghiệm của phương trình tanx + 1= 0 trên là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ . Nghiệm của phương trình 2sinx – = 0 là: Ⓐ x =+ k2p ; x =+ k2p Ⓑ x =+ kp ; x =+ kp Ⓒ x = –+ k2p ; x = – + k2p Ⓓ x = –+ kp ; x = – + kp Nghiệm của phương trình 2sin(2x – 100) + 1 = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình 2cos3x – = 0 là: Ⓐ x =+ k2p Ⓑ x =+ kp Ⓒ x =+ k Ⓓ x =+ k Nghiệm của phương trình sin2x – sinx – 2= 0 là: Ⓐ x = – + k2p Ⓑ x = arcsin2 + k2p Ⓒ x = p – arcsin2 + k2p Ⓓ Cả ba đều đúng Nghiệm của phương trình sin2x – sinx + 1 – = 0 là: Ⓐ x = + kp Ⓑ x = – + k2p Ⓒ x =kp Ⓓ Đáp án khác Nghiệm của phương trình sin2x + cosx + 1 = 0 là: Ⓐ x = p + k2p Ⓑ x = (2k + 1)p Ⓒ Cả hai đúng Ⓓ Đáp án khác Nghiệm của phương trình cos2x + cosx = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ B và C đúng Nghiệm của phương trình = 2tanx là: Ⓐ x = + kp Ⓑ x = + k2p Ⓒ x = + kp Ⓓ Đáp án khác Nghiệm của phương trình cot2x – (1 –)tan2x + 1 = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Giá trị m để phương trình cos22x + (m2 – m – 1)sin2x + 1 = 0 có một nghiệm x = 450 là: Ⓐ m = 0 Ú m = – 1 Ⓑ m = 0 Ú m = 1 Ⓒ m = – 1 Ⓓ m = 1 Ú m = – 1. Nghiệm của phương trình sin2x + 2cos2x = 3 là: Ⓐ x = –arcsin+ kp Ⓑ x = arcsin+ kp Ⓒ Phương trình vô nghiệm Ⓓ Đáp án khác Nghiệm của phương trình cos3x – sin3x = là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình sin3x – cos3x = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Giá trị của m để phương trình sin3x – cos3x = m vô nghiệm là: Ⓐ m £ – 2 Ú m ³ 2 Ⓑ – 2 £ m £ 2 Ⓒ m 2 Ⓓ – 2 < m < 2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 3sinx + cosx là: Ⓐ ymin = – ; ymax = Ⓑ ymin = ; ymax = – Ⓒ ymin = –10 ; ymax = 10 Ⓓ ymin = 10 ; ymax = – 10 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = là: Ⓐ ymin = –1 ; ymax = Ⓑ ymin = –1 ; ymax = Ⓒ ymin = ; ymax = 1 Ⓓ ymin = – ; ymax = 1 Nghiệm của phương trình 4sin2x + 3sin2x – 2cos2x = 4 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ B và C đúng. Nghiệm của phương trình sin3x + 1 = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình sinx = cos là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình cos(tanx) = 1 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Trong khoảng (–p ; p) phương trình 2cos2x = 3 + cos(p – 2x) có tập nghiệm là: Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ S = Ⓓ S = . Trong đoạn [0 ; p] phương trình sin2x + cos2x = 0 có tập nghiệm là: Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ Ⓓ S = . Nghiệm của phương trình sin22x + 2sinix – 3 = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình cos2x – 3sinx – 1 = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình cos2x – cosx + 3 = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ x Ỵ Ỉ Ⓓ Số nghiệm của phương trình cos2x– cosx–2 = 0 trong khoảng (0 ; p) là: Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3 Nghiệm của phương trình 4tanx = = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình cosx – sinx = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Với giá trị nào của m thì phương trình cosm + sinm = sinx có nghiệm x = ? Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Giá trị của m để phương trình mcosx + sinx = 1 vô nghiệm là: Ⓐ m = 0 Ⓑ m £ 0 Ⓒ m > 0 Ⓓ m ¹ 0 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = cosx + 2sinx thỏa: Ⓐ ymin + ymax = 1 Ⓑ ymax – ymin = 0 Ⓒ ymin + ymax = 0 Ⓓ ymax – ymin= –2. Nghiệm của phương trình sin2x + 2sinxcosx – 3cos2x = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Chọn câu đúng: Ⓐ cosx = 0 là một nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0 Ⓑ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0 Ⓒ sinx = 0 là một nghiệm của phương trình sin2x – 3cos2x = 0 Ⓓ Phương trình sin2x – 3cos2x = 0 vô nghiệm. Nghiệm của phương trình cos23xcos2x – cos2x = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn [2p ; 4p] là: Ⓐ 2 Ⓑ 4 Ⓒ 5 Ⓓ 6 Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn (p ; 8p) là: Ⓐ 1 Ⓑ 3 Ⓒ 2 Ⓓ 4 Một nghệm của phương trình sin2x + sin22x + sin23x = 2 là : Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn [0 ; p] là: Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 0 Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn [p ; 2p] là: Ⓐ 0 Ⓑ 1 Ⓒ 2 Ⓓ 3 Khi x thay đổi trong nửa khoảng thì y = cosx lấy mọi giá trị thuộc : Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Khi x thay đổi trong khoảng thì y = sinx lấy mọi giá trị thuộc : Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Tập giá trị của hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + 6 là: Ⓐ [3 ; 10] Ⓑ [6 ; 10] Ⓒ [–1 ; 13] Ⓓ [1 ; 11] Phương trình cosx = sinx có số nghiệm thuộc đoạn [–p ; p] là: Ⓐ 2 Ⓑ 4 Ⓒ 5 Ⓓ 6 Phương trình có số nghiệm thuộc khoảng là: Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 4 Ⓓ 5 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx + sin5x = cosx + 2cos2x là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan2x + 5tanx + 3 = 0 là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Phương trình 2tanx + 2cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng là: Ⓐ 1 Ⓑ 3 Ⓒ 2 Ⓓ 4 Hàm số y = sin3x và y = sin có giá trị bằng nhau khi: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Hàm số y = cos(2x + 1) và y = cos(x – 2) có giá trị bằng nhau khi: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Hàm số y = tan3x và y = tancó giá trị bằng nhau khi: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Nghiệm của phương trình cosx = là: Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ --------------------------------------------