Giáo án môn Toán lớp 11 - Bài tập về cấp số nhân

Bài tập về cấp số nhân 1/Cho dãy số () được xác định bởi: a)CMR ds() với = +5 là một cấp số nhân. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. b)xác định số hạng tổng quát của ds(). Hd: a)Từ = 2+5 => +5 = 2+10 ú +5=2(+5)(). Do đó () là cấp số nhân với ; q =2; = 6.2n-1 = 3.2n b)Kết luận: = - 5 (). 2/ CMR dãy số () với là cấp số nhân. Hd:Do >0 với nên ta xét (đpcm). 3/ Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối bằng 37, tổng của hai số hạng giữa bằng 36. Tìm 4 số đó. Hd: Gọi bốn số cần tìm là: Ta có Cấp số cộng là: . Cấp số nhân là: ; q ; q2. Theo gt có: Do đó: 4/ Cho cấp số nhân có . a) Tìm u1 , q. b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 3069. c) Số 12288 là số hạng thứ mấy? 5/ Tìm u1 , q. Biết: a) (Đsố c) có q =-1/2 và q =-2.) 6/ Cho bốn số lập thành cấp số cộng, lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta được một cấp số nhân. Tìm các số đó? Hd: 7/ Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân. 8/ Viết ba số xen giữa các số và 8 để được một cấp số nhân có năm số hạng. Hd: giả sử csn cần tìm là: , với công bội q. Ta có: = .q4 ố q = 2 và q= -2. 9/ Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là số hạng thứ 1, 4, 25 của một cấp số cộng. Tìm các số đó. 10/ Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. CMR: (a+b+c)(a-b+c) = Hd: sử dụng tính chất : 11/ Cho ba số thỏa mãn: . CMR: lập thành một cấp số nhân. Hd: từ gt biến đổi ta được: . 12/ Tìm một csn có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng các bình phương của chúng bằng 85 Hd: ta có hệ: Chia từng vế của 2 pt ta được: . Đặt 13/ Tìm điều kiện cho 1 csn để 3 số hạng liên tiếp của nó là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hd: Đk: Xét 2 trường hợp sau: ●Nếu q >1 thì 3 số hạng liên tiếp của csn là: . Chúng là 3 cạnh của một tam giác khi và chỉ khi: ●Nếu 0<q <1 thì 3 số hạng liên tiếp của csn là: . Chúng là 3 cạnh của một tam giác khi và chỉ khi : Kết luận: ●Đặc biệt khi q =1 thì tam giác đó là tam giác đều. 14/ Tính các tổng sau: a) A= 1+ 2.2 + 3.22 + 4.23 ++ 99.298 + 100.299. b) B = 1+ 4.2 + 7.22 + 10.23 ++ (3n - 2).2n-1. c). Hd: a) A= 1+ 2.2 + 3.22 + 4.23 ++ 99.298 + 100.299 2A= 1.2 + 2.22 + 3.23 + 4.24 ++ 99.299 + 100.2100. Trừ từng vế 2 đẳng thức trên ta được: - A= 1+ 2 + 22 + 23 ++ 299 - 100.2100. Do đó: b) B = 1+ 4.2 + 7.22 + 10.23 ++ (3n - 2).2n-1. Ta có: 2B = 1.2 + 4.22 + 7.23 + 10.24 ++ (3n - 2).2n. Trừ từng vế 2 đẳng thức trên ta được: -B = 1+ 3.2 + 3.22 + 3.23 ++3.2n-1 - (3n - 2).2n= 1 + 3(2 + 22 + 23 ++2n-1) - (3n - 2).2n B = (3n - 2).2n - 3(1+ 21 + 22 ++2n-1) + 2 = c) 15/ Cho ba số khác nhau lập thành csc, bình phương các số đó lập thành csn.Tìm các số đó. Hd: Csc: a, b, c ô 2b = a +c. Csn: a2 , b2 , c2 ô b4 =a2.c2. NX: nếu a, b, c thỏa mãn bài toán thì ka, kb, kc (k 0) cũng thỏa mãn btoán. Đặt b =1 ố ta có csc là: a, 1, c và csn là: a2 , 1 , c2 . Khi đó: Vậy các bộ số thích hợp là: (k 0)