Giáo án môn Toán lớp 11 - Biến cố và xác suất của biến cố

Biến cố và xác suất của biến cố I/ Kiến thức cơ bản. 1. Phép thử ngẫu nhiên. +/ Phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt là phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà Kết quả của nó không đoán trước được. Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử, kí hiệu là 2/ Biến cố. +/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tuỳ thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra , được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A Khi đó ta nói biểu cố A được mô tả bởi tập hợp A. 3/ Xác suất của biến cố. +/ ( Định nghĩa cổ điển) Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và A. là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A, thì xác suất của A là một số , ký hiệu là P(A), được tính bằng công thức; P(A) = +/ Lưu ý . / 0P(A)1 ./ P() = 1 , P() = 0 +/ Định nghĩa thống kê xác suất. ./ Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta thực hiện N lần phép thử T. Số lần xuất hiện biến cố A được gọilà tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T. Tý số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiệnphép thử T. ./ Khi N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định. Số đó gọi lầ xác suất của A theo nghĩa thống kê. Trong khoa học thử nghiệm , người ta thường lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm. II. Một số ví dụ. Ví dụ 1; Gieo một đồng tiền xu 3 lần 1/ Xây dựng không gian mẫu. 2/ Gọi các biến cố “Lần đầu gieo xuất hiện mặt sấp” “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp” “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” -Mô tả các tập A. , B , C.? -Tính P(A), P(B), P(C)? Giải Ta ký hiệu S là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp và N là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt ngửa. 1/ Không gian mẫu. = Và = 8 2/ +/ Với biến cố A; “ lần đầu tiên gieo xuất hiện mặt sấp” Ta có A = = 4 P(A) = = 0,5 +/ Với biến cố B ; “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp” Ta có; B = . Và = 3 P(B) = +/ Với biến cố C; “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” Ta có; C = C = 7 P(C) = Ví dụ 2 Điểm bài kiểm tra học kỳ I của hai môn Toán, Văn của 10 học sinh như sau; Môn Toán ; 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10 Môn Văn ; 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10 Rút ngẫu nhiên từ tập bài đó mỗi môn một bài. Tìm xác suất để trong hai bài rút ra 1/ Có đúng một bài điểm 5 2/ Có đúng một bài điểm 10 3/ có ít nhất một bài đạt điểm 10 Giải +/ Ta ký hiệu T là phép thử “ Rút ngẫu nhiên từ tập bài thi, mỗi bài có một bài” Biến cố A; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 5” Biến cố B; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 10” Biến cố C; “ Trong hai bài rút ra, có ít nhất một bài đạt điểm 10” +/ Do có 10 bài thi môn toán , 10 bài thi môn Văn nên không gian mẫu của phép thử T có; = 10 . 10 = 100 1/ Ghép bài điểm 5 môn Toán với mỗi một bài thi môn Văn, ta có 10 cách ghép, tức là = 10 P(A) = = 0,1 2/ +/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Toán với một trong số 8 bài không đạt điểm 10 môn Văn, ta có 3 . 8 = 24 cách. +/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Văn với một trong số 7 bài không đạt điểm 10 môn Toán, ta có 2 . 7 = 14 cách. = 24 + 14= 38 P(B) = = 0,38 3/ +/ Có 3 bài đạt điểm 10 môn Toán, 2 bài đạt điểm 10 môn Văn có 3 . 2 = 6 cách ghép hai bài Toán ,Văn cùng điểm 10. +/ Từ đây và từ câu (2), ta có; = 24 + 14 + 6 = 44 P(B) = = 0,44 Ví dụ 3 Trong một hộp có 10 con số; 0, 1, 2.9 . Lờy ngẫunhiên 4 con số trong hộp và xếp lại thành dãy. Tìm xác suất đê số xếp được là một số có 4 chữ số khác nhau và chia hét cho 5. Giải +/ Gọi phép thử T “ Lờy ngẫu nhiên 4 con số trong hộp” Gọi biến cố A; “ Xếp được số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5” +/ Khi đó không gian mẫu , có = A410 = 5040 +/ Ta đi tìm số các số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5(Thực chất là tìm ) Số này có dạng hoặc . +/ Số có dạng có 9 . 8 . 7 = 504 (số) +/ Số có dạng có 8 . 8 . 7 = 448 (số) Vậy có 504 + 448 = 952 (số) Hay = 952 Từ đây, ta được P(A) = = Ví dụ 4 Đội tuyển thi đấu thể thao của một trường THPT gồm 20 em , trong đó có 11 em thi đá cầu, 9 em thi điền kinh. Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội . Tìm xác suất để 1/ Hai em thi đấu hai môn khác nhau. 2/ Hai em đều thi đấu điền kinh. Giải +/ Gọi phép thử T “Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội tuyển” = C220 = 190 1/ +/ Gọi biến cố A ; “ Hai em thi đấu hai môn khác nhau.” = C111 . C19 = 99 P(A) = 2/ +/ Gọi biến cố B; “ Hai em đều thi đấu điền kinh” = C29 = 36 P(B) = = III/ Bài tập Bài1; Gieo 2 đồng tiền đồng chát, cân đối. Tìm xác suất để; 1/ Cả 2 dồng xu đều sấp 2/ Chỉ có một đồng xuất hiện mặt sấp. 3/ ít nhất 1 đồng xuất hiện mặt sấp. Bài 2 Trong phép thử gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố sau; 1/ AK = “ Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là k” với k = 2, 3, 4, ,12. 2/ Bi = “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là i” Với i = 0, 1, 2,,5. 3/ Cj = “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là j” Với j = 2, 4, 6, 8, 12. Đáp số (hướng dẫn ) Bài 1. Xem ví dụ 1 1/ 0,25 2/ 0,5 3/ 0,75 Bài 2 +/ Ta có = 36 1/ Ta tính P(A5). +/ Ta có A5 = P(A5) = 0,111. Tương tự P(A2) = P(A12) 0,028 , P(A3) = P(A11) 0,055 , P(A4) = P(A10)0,083, P(A9) = P(A5) 0,111 , P(A6) = P(A8)0,139 , P(A7) 0,167 2/ Ta tính P(B0) +/ Ta có B0 =