Giáo án môn Toán lớp 11 - Phương trình lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = a Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm Nếu |a| £ 1 : Phương trình có nghiệm là x = a + k2p và x = p - a + k2p, k Î R, với sin a = a. 2. Phương trình cosx = a Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm Nếu |a| £ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ± a + k2p, k Î R, với cosa = a. 3. Phương trình tanx = a Điều kiện: cosx ¹ 0 hay x ¹ +kp, k Î R. Nghiệm của phương trình x = a + kp, k Î R, với tana = a 4. Phương trình cotx = a Điều kiện: sinx ¹ 0 hay x ¹ kp, k Î R. Nghiệm của phương trình là x= a + kp, k Î R với cota = a. B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1. Phương trình asinx + bcosx = c asinx + bsinx = c Û sin(x + a) = trong đó: sina = ; cosa = asinx + bsinx = c Û cos(x – b) = trong đó: sin b = ; cos b = Chú ý: Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi c2 £ a2 + b2. 2. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt t = sinx + cosx, |t| £ . Phương trình trở thành bt2 + 2at – (b + 2c) = 0 II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 1. Phương trình đưa về phương trình tích: Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x +(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 Giải Điều kiện của phương trình là cos2x ¹ 0 và sin3x ¹ 0 Ta biến đổi 3tan2xcot3x + (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 3tan2xcot3x + tan2x – 3cot3x – 3 = 0 tan2x (3cot3x + ) - (3cot3x +) = 0 (3cot3x + ) (tan2x - ) = 0 (k Î R) (k Î R) Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x = và x = , k Î R Bài 2: Giải phương trình: Giải: Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ¹ 0, sinx ¹ 0 và cot x ¹ -1. Ta biến đổi phương trình đã cho: (Loại do điều kiện) sinx x = ± , kÎ R Giá trị x = - , kÎ R bị loại do điều kiện cot x ¹ -1. Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x = , kÎ R. Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x Î (0,2p) Giải: Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ¹ 0, cos4x ¹ 0 và cos5x ¹ 0. Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 2sin4x 2sin4xsin2x = 0 (k Î R) Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là: 2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác. Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x) Giải: Ta có: 1 + sin2x = 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x] = 2 = 2 – sin22x Vậy ta được phương trình sin22x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1 £ t £ 1 ta được phương trình: t2 + t – 1 = 0 Þ t = . Giá trị < -1 nên bị loại. Với t = ta có phương trình sin2x = Phương trình này có nghiệm: x = , k Î ¢ Và x = , k Î ¢ Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho. Bài 5: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2. Giải: Điều kiện của phương trình là cosx ¹ 0 Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được: tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x) tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình. t3 + t2 – 5t +3 = 0 Û (t – 1)(t2 + 2t – 3) = 0 Û Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm , k Î R Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + kp, k Î R Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = , x = arctan(-3) + kp, k Î R Bài 6: Giải phương trình: Giải Ta biến đổi phương trình đã cho: =0 Û Û Û Giải phương trình (1) ta được: x = +kp, k Î R Giải phương trình (2): sin2x - sinxcosx + cos2x = 0 Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx ¹ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được: tan2x - Giải phương trình, ta được: x = và x = arctan + kp, k Î R Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = và x = arctan + kp, k Î R 3. Phương trình asinx + bcosx = c Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2sinx + cos2x +sin2x + 3 = 0 Giải: Ta có: 4cosx + 2sinx + cos2x + sin2x + 3 = 0 Û 4cosx + 2sinx + 2cos2x – 1 + 2sinxcosx + 3 = 0 Û 2sinx(cosx+1) + 2(cosx +1)2 = 0 Û 2(cox +1)(sinx + cosx + 1) = 0 Û Û (k Î R) Bài 8: Giải phương trình: 2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + ) - (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 Giải: Ta biến đổi phương trình đã cho: 2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + ) - (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 Û (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos3x – sin2xcosx – 2cosx = 0 Û (cos2x – sin2x – 1) ( + sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0 Û (cos2x – sin2x – 1) ( + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0 Û (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + ) =0 Û Û Û (k Î R) Û (k Î R) 4. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx + cosx = c Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 Giải: Ta có: cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 Û 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- £ t £ ), phương trình trở thành: 3t2 – 10t + 30 = 0 Þ sinx + cosx = sin Giải ra ta được: (k Î R) Bài 10: Giải phương trình 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 =0 Giải: Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 Û 2sinx (1-cos2x) + 2cos2x – 3cosx +1=0 Û (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0 Û Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2p, k Î R Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- £ t £ ). Phương trình (2) trở thành: t2 – 2t – 2 = 0 Þ Với t = 1 - , giải ra ta được: (k Î R) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (k Î R) III. BÀI TẬP: Giải các phương trình sau: 1. cot2xtan3x-(cot2x + tan 3x) + 1 =0 2. 4cos22xsinx + 2cosxsin4x + 2cos2x + 2sin3x + = 0 3. 4. 3sin2x - 3sinxcosx + sin2x - cos2x = 5. sin4x 6. cos3x(3tanx + 6 + 2) – 3tanx + (3 - 2) sin2x = 2. 7. sin2x – 2sin2x + 3sinx – cosx = 1 8. ( - 1)sinx - cosx-cos3x = 0 9. (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos2x + 3