Giáo án môn Toán lớp 12 - Chuyên đề Lượng giác

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 TUYỄN TẬP ĐỀ THI “TOÁN HỌC TUỔI TRẺ”: LƯỢNG GIÁC Đề 01: (THTT 2010) Giải phương trình: ( )2 2 2 1cos cos sin 1 3 3 2 x x xp pæ ö æ ö+ + + = +ç ÷ ç ÷è ø è ø Hướng dẫn: Biến đổi phương trình ta được 21 cos2 sin 2sin sinx x x x- = Û = Đáp số: 5; 2 ; 2 . 6 6 x k x k x kp pp p p= = + = + Đề 02: (THTT 2010) Giải phương trình: ( )2 2 2 sin cos 2sin 2 sin sin 3 1 cot 2 4 4 x x x x x x p p+ - é ùæ ö æ ö= - - -ç ÷ ç ÷ê ú+ è ø è øë û Hướng dẫn: Biến đổi PT đưa về dạng: ( ) ( )2cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 sin 1 0 4 4 x x x x x x xp pæ ö æ ö+ = - Û - - =ç ÷ ç ÷è ø è ø Đáp số: 3 ; 2 . 8 2 2 kx x kp p p p= + = + Đề 03: (THTT 2010) Giải phương trình: 2 2 1tan cot 3 sin 2 x x x + + = Hướng dẫn: Điều kiện: sin 2 0x ¹ Biến đổi PT về dạng: 2 4 1 5 0 sin 2 sin 2x x + - = Đáp số: 1 4 1 4; arcsin ; arcsin . 4 2 5 2 2 5 x k x k x kp pp p pæ ö æ ö= + = - + = - - +ç ÷ ç ÷è ø è ø Đề 04: (THTT 2010) Giải phương trình: 2cos cos 2 cos3 5 7cos 2x x x x+ = Hướng dẫn: PT ( ) ( )2cos 2 1 2cos 2 5 0 cos 2 1x x xÛ - + = Û = Đáp số: .x kp= Đề 05: (THTT 2010) Giải phương trình: 2 3cos cos sin 0x x x+ + = Hướng dẫn: Biến đổi PT về dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 cos cos sin .sin 0 1 cos cos sin 1 cos 1 cos 0 1 cos cos sin sin sin cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x Û + + = Û + + + - = Û + + - - = Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 Đáp số: 1 2 1 22 ; arccos 2 ; arccos 2 . 4 42 2 x k x k x kp pp p p p- -= + = - + = + + Đề 07: (THTT 2010) Giải phương trình: 4 1 3 74cos cos 2 cos 4 cos 2 4 2 xx x x- - + = Hướng dẫn: Biến đổi PT về dạng cos 2 1 3cos 2 cos 2 34 cos 1 4 x xx x =ìï+ = Û í =ïî Đáp số: 8 .x k p= Đề 07: (THTT 2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( )2 cos sin 2cos sin xy x x x = - , với 0 3 x p< £ Hướng dẫn: Viết hàm số dưới dạng ( ) 2 2 1 tan tan 2 tan xy x x + = - . Đặt ( )tan 0 3t x t= < £ . Khảo sát hàm số ( ) 2 2 3 1( ) 0 3 2 tf t t t t + = < £ - Ta được kết quả: min 2y = khi 1t = hay . 4 x p= Đề 08: (THTT 2010) Giải phương trình: tan tan sin 3 sin sin 2 6 3 x x x x xp pæ ö æ ö- + = +ç ÷ ç ÷è ø è ø Hướng dẫn: Điều kiện: cos cos 0 6 3 x xp pæ ö æ ö- + ¹ç ÷ ç ÷è ø è ø Ta có ( )tan tan 1 sin 2 2cos 1 0 6 3 x x x xp pæ ö æ ö- + = - Û + =ç ÷ ç ÷è ø è ø Đáp số: 2; 2 . 2 3 kx x kp p p= = - + Đề 09: (THTT 2010) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 11 cos 1 cos 2 1 cos3 2 x x x+ + + = Hướng dẫn: Biến đổi PT về dạng: 23 1cos .cos .cos 2 2 16 x xxæ ö =ç ÷è ø Đáp số: 2 2; 2 ; 2 . 4 2 3 3 kx x k x kp p p pp p= + = - + = + Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 Đề 10: (THTT 2010) Giải phương trình: 4 43sin 1 sin cosx x x+ = - Hướng dẫn: Biến đổi PT về dạng 22sin 3sin 2 0x x- - = . Đáp số: 72 ; 2 . 6 6 x k x kp pp p= - + = + Đề 11: (THTT 2003) Giải phương trình: ( )8 8 14 14cos sin 64 cos sinx x x x+ = + Hướng dẫn: Phương trình vô nghiệm. Áp dụng BĐT Cauchy Đề 12: (THTT 2003) Tìm các nghiệm của phương trình: 22 1 2 1 2 1sin sin cos 0 3 3 x x x x x x + + + + - = thỏa mãn 1 10 x ³ Hướng dẫn: Đặt 2 1 1 3 10 xt t x + æ ö= ³ç ÷è ø Đáp số: 1 2; 3 4 5 4 x x p p = = - - Đề 13: (THTT 2004) a) Chứng minh rằng tam giác ABC có các góc thỏa mãn tính chất sau thì tam giác ABC là tam giác đều: ( )3sin sin sin cos cos cos sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B Cæ öæ ö+ + + + = + +ç ÷ç ÷è øè ø b) Tìm điều kiện để hai phương trình sau tương đương: sin sin 2 1 sin 3 x x x + = - và cos sin 2 0x m x+ = Hướng dẫn: a) Với mọi tam giác ABC: sin sin cos cos 2 2 2 2 A B A B³ Û £ b) sin sin 2 1 cos 0 sin 3 x x x x + = - Û = . Đáp số: 1 2 m £ Đề 14: (THTT 2004) a) Chứng minh rằng tam giác ABC có các góc thỏa mãn tính chất sau thì tam giác ABC là tam giác đều: sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sin 4sin sin sin 2 2 2 A B B C C AA B C A B C - - -+ + = + + + Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 b) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 3tan 6sin 2sin 2 tan 2sin 6sin 2 y x y x y x y x ì + = -ïï í ï - = +ïî Hướng dẫn: a) ( ) ( ) ( )4sin sin sin sin sin sin 2 2 2 A B B C C A C B B A A C- - - = - + - + - b) Nếu tan 0 2 y = thì hệ có nghiệm ( ); 2l kp p . Nếu tan 3 2 y = thì hệ có nghiệm 22 ; 2 3 l kpa p pæ ö+ +ç ÷è ø trong đó ;0 2 pa æ öÎ -ç ÷è ø và 1 4 3cos , sin 7 7 a a -= = . Nếu tan 3 2 y = - thì hệ có nghiệm 22 ; 2 3 l kpa p p-æ ö- + +ç ÷è ø trong đó ;0 2 pa æ öÎ -ç ÷è ø và 1 4 3cos , sin 7 7 a a -= = . Đề 15: (THTT 2004) Giải phương trình: 1cos3 sin 2 cos 4 sin 2 sin 3 1 cos 2 x x x x x x- = + + Hướng dẫn: Đáp số: 2 .x kp p= + Đề 16: (THTT 2004) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2sin sin 2sinQ A B C= + + , trong đó A, B, C là 3 góc của tam giác ABC bất kì. Hướng dẫn: Đáp số: 25 8 Đề 17: (THTT 2010) a) Giải phương trình: 4cos .cos 2 .cos3 cos6x x x x= . b) Chứng minh rằng tam giác ABC có các góc thỏa mãn tính chất sau thì tam giác ABC là tam giác đều: 2sin 3sin 4sin 5cos 3cos cos 2 2 2 A B CA B C+ + = + + Hướng dẫn: a) Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 Đáp số: ; ; . 4 2 3 3 x k x k x kp p p pp p= + = + = - + b) Sử dụng sin sin 2cos 2 CA B+ £ Đề 18: (THTT 2005) Giải phương trình: 3 3sin .sin 3 cos .cos3 1 8tan tan 6 3 x x x x x xp p + = æ ö æ ö- +ç ÷ ç ÷è ø è ø Hướng dẫn: Sử dụng 3 34sin 3sin sin 3 ; 4cos 3cos cos3x x x x x x= - = + Đáp số: . 6 x kp p= - + Đề 19: (THTT 2005) Giải phương trình: 1cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 2 x x x x x x- = Hướng dẫn: Sử dụng 3 34sin 3sin sin 3 ; 4cos 3cos cos3x x x x x x= - = + Đáp số: ; ; . 8 2 12 3 4 x k x k x kp p p p p p= - + = + = - + Đề 20: (THTT 2005) a) Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2 3tan tan 2 2 3 cos cos 1 A B A B ì + =ï í ï + =î . Chứng minh tam giác ABC đều. b) Xét tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 25cot 16cot 27cotF A B C= + + Hướng dẫn: a) Đặt ( )tan ; tan 0; 0 2 2 A Bx y x y= = > > . b)Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 cot 12 4 cot 9 18 cot 3cot 12cot 4cot 9cot 18cot 2cot 12 F A B C F A B B C C A = + + + + + Þ = + + + + + ³ Đáp số: min 1 112 khi cot 1, cot , cot . 2 3 F A B C= = = = Đề 21: (THTT 2005) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: sin 1 6cos 2 2 x xy æ ö= +ç ÷è ø Hướng dẫn: Khảo sát hàm số. Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 Đáp án: [ ]0;4 5 5max 3p = với 0 0 0 52 4 0; ; sin 2 3 x k pa p a a æ öæ ö= + Î =ç ÷ç ÷è øè ø Đề 21: (THTT 2006) a) Giải phương trình: 2cos 4cot tan sin 2 xx x x = + b) Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC sao cho biểu thức: 2 2 2sin sin sinQ A B C= + - đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: a) Đáp số: ; . 3 3 x k x kp pp p= + = - + b) 0 030 , 120 .A B C= = = Đề 22: (THTT 2006) Giải phương trình: ( )2 2 2 1cos cos sin 1 3 3 2 x x xp pæ ö æ ö+ + + = +ç ÷ ç ÷è ø è ø Hướng dẫn: Biến đổi phương trình ta được 21 cos2 sin 2sin sinx x x x- = Û = Đáp số: 5; 2 ; 2 . 6 6 x k x k x kp pp p p= = + = + Đề 23: (THTT 2006) a) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: tan 3 tan 3 tan 3 4 tan tan tan 3 3 3 3 3 3 3 A B C A B Cæ öæ öæ ö æ ö- - - = + + -ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷è øè øè ø è ø b) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin sin 2 2 sin 2 sin x x x x + = Hướng dẫn: b) Đáp số: 22 ; 2 . 3 3 x k x kp pp p= ± + = ± + Đề 24: (THTT 2006) Giải phương trình: ( )2 21 8 12cos cos sin 2 3cos sin 3 3 2 3 x x x x xpp æ ö+ + = + + + +ç ÷è ø Hướng dẫn: Đáp số: 2 . 2 x kp p= + Đề 25: (THTT 2006) Tính các góc của tam giác ABC biết 2 3 , 2 .A B a b= = Hướng dẫn: Đáp số: 0 0 045 ; 30 ; 105 .A B C= = = Đề 24: (THTT 2007) Giải phương trình: ( )2 2 3 3tan tan .sin 1 cos 0x x x x- - - = Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 Hướng dẫn: Đưa về phương trình tích. Đáp số: 2 12 ; ; 2 ; 2 cos 4 4 4 2 x k x k x k x kp p pp p a p a p a æ ö- = = + = + + = - + =ç ÷ è ø Đề 25: (THTT 2007) a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu: sin sin sin sin 2 4sin 1 4sin 2 2 4sin 1 4sin 2 A B B C A B B C ì + = +ïï í ï + = +ïî b) Giải phương trình: ( )23 4sin 2 2cos 2 1 2sinx x x- = + Hướng dẫn: a) Hàm số 2 4xy x= + đồng biến trên R có ( ) 1 0y x x= Û = . Ta có: sin sin 2 4sin 1 4sin sin sin 2 A B A B A B+ = + Þ = b) Đáp số: 7 2 5 22 ; 2 ; ; . 6 6 18 3 18 3 x k x k x k x kp p p p p pp p= - + = + = + = + Đề 26: (THTT 2007) Giải phương trình: 2cos cos 2 cos3 5 7cos 2x x x x+ = Hướng dẫn: PT ( ) ( )2cos 2 1 2cos 2 5 0 cos 2 1x x xÛ - + = Û = Đáp số: .x kp= Đề 27: (THTT 2007) Giải phương trình: 3 3sin cos cos 2 .tan .tan 4 4 x x x x xp pæ ö æ ö- = + -ç ÷ ç ÷è ø è ø Hướng dẫn: Đưa về phương trình tích. Đáp số: 2 ; 2 2 x k x kp p p= + = Đề 28: (THTT 2007) Giải phương trình: sin 3 sin 2 .sin 4 4 x x xp pæ ö æ ö- = +ç ÷ ç ÷è ø è ø Hướng dẫn: Đáp số: . 4 2 x kp p= + Đề 29: (THTT 2008) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 11 cos 1 cos 2 1 cos3 2 x x x+ + + = Hướng dẫn: Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 8 Biến đổi PT về dạng: 23 1cos .cos .cos 2 2 16 x xxæ ö =ç ÷è ø Đáp số: 2 2; 2 ; 2 . 4 2 3 3 kx x k x kp p p pp p= + = - + = + \ Đề 30: (THTT 2008) Giải phương trình: 5 3 22sin 2sin .cos cos 2 sin 0x x x x x+ + - = Hướng dẫn: Đáp số: ; 2 . 4 2 x k x kp pp p= ± + = + Đề 31: (THTT 2008) a) Giải phương trình: 1 tan .tan 2 cos3x x x- = . b) Cho tam giác ABC thỏa mãn: ( ) 5cos2 3 cos2 cos2 0 2 A B C+ + + = . Tính độ lớn ba góc của tam giác đó. Hướng dẫn: a) Đáp số: cos3 0 cos 1 x x =ì í =î b) Đáp số: 0 030 , 75 .A B C= = = Đề 32: (THTT 2009) Giải phương trình: tan tan sin 3 sin sin 2 6 3 x x x x xp pæ ö æ ö- + = +ç ÷ ç ÷è ø è ø Hướng dẫn: Đáp số: 2; ; 2 . 2 3 x k x k x kp pp p= = = - + Đề 33: (THTT 2009) Giải phương trình: 4 1 3 74cos cos 2 cos 4 cos 2 4 2 xx x x- - + = Hướng dẫn: Biến đổi PT về dạng cos 2 1 3cos 2 cos 2 34 cos 1 4 x xx x =ìï+ = Û í =ïî Đáp số: 8 .x k p= Đề 34: (THTT 2010) Giải phương trình: 5 cos 2 2cos 3 2 tan x x x + = + Hướng dẫn: Đáp số: Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 9 Đề 35: (THTT 2010) a) Giải phương trình: 2 22cos 2 cos 2 .sin 3 3sin 2 3x x x x+ + = . b) Tìm GTLN- GTNN của hàm số: sin 2cos 2( ) cos 2sin 2 xx f x xx + = + trên 0; 2 pé ù ê úë û Hướng dẫn: Đáp số: Đề 36: (THTT 2011) Giải phương trình: 2 4 2 1 tan16cos 4. 2sin 4 4 1 tan xx x x p -æ ö+ = -ç ÷ +è ø Hướng dẫn: Đáp số: Đề 37: (THTT 2011) Giải phương trình: sin 3 cos3 2 2 cos 1 0 4 x x x pæ ö+ - + + =ç ÷è ø Hướng dẫn: Đáp số: Đề 38: (THTT 2011) Giải phương trình: ( ) ( )2 sin 12 1 cos cot 1 cos sin xx x x x - + + = + Hướng dẫn: Đáp số: Đề 39: (THTT 2011) Giải phương trình: 12011tan cot 2 1005 3 sin 2 x x x æ ö+ = +ç ÷è ø Hướng dẫn: Đáp số: Đề 40: (THTT 2011) Tìm [ )2;xÎ +¥ thỏa mãn phương trình : 2(2 1) 2 1sin 2 sin 1 1 1 4 x x x x p+ +æ ö+ - =ç ÷- -è ø Hướng dẫn: Đáp số: