Giáo án môn toán lớp 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho hàm số xác định trên . Khi đó, hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi và kí hiệu Một số tính chất quan trọng của nguyên hàm Công thức tính tích phân: Một số tính chất quan trọng của tích phân:  Nhắc lại các quy tắc tính đạo hàm ( k là hằng số ) ( k là hằng số ) Đạo hàm các hàm sơ cấp Đạo hàm hàm hợp Bảng nguyên hàm: Bảng nguyên hàm theo biến Bảng nguyên hàm của hàm số hợp B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số Phương pháp: 1. Biến đổi hàm số f(x) về những hàm số có trong bảng nguyên hàm: 2. Áp dụng tính chất của nguyên hàm 3. Các phép biến đổi: - Các tính chất của luỹ thừa: (với x>0) - Sử dụng các phép biến đổi lượng giác - Công thức biến đổi tích thành tổng - Công thức hạ bậc: Ví dụ VD 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Giải: Ta có: VD 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Giải: Ta có: Bài tập Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. Dạng 2: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Phương pháp: - Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số F(x) và f(x) - Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) = f(x), Ví dụ: CMR: hàm là một nguyên hàm của hàm số Giải: tập xác định của F(x) và f(x) là Ta có: Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) Bài tập: Bài 1: CMR: hàm là một nguyên hàm của hàm số Bài 2: CMR: hàm là một nguyên hàm của hàm số Bài 3: Tìm m để hàm số là một nguyên hàm của hàm số Dạng 3: Xác định hằng số C Phương pháp: Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C (*) Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm Ví dụ: Cho f(x) = sin2x, tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F() = 0 Giải: Vậy: F(x) = Bài tập: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau: biết F()= 0. biết rằng F(0) = 1 biết rằng TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa, tính chất Ví dụ: VD 1. Tính tích phân (Đề TN năm 2010) Giải: VD 2: Tính các tích phân sau: Giải: Ta có: Bài tập: Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau: 1. ; Đáp số: 24 2. ; Đáp số:8 3.; Đáp số: 4. ; Đáp số:e+1 5.; Đáp số: 6. ; Đáp số: . Bài 2: Tính các tích phân sau: 1. . 2. 3. 4. . 5. 6. 7. . 8. 9. . 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. Dạng 2: Tích phân đổi biến số dạng 1 Tính tích phân B1: Đặt x = (với là các hàm lượng giác) => dx = B2: Đổi cận: x = a (giải pt = a => t = ) x = b (giải pt = b => t = ) B3. Biến đổi f(x)dx = g(t)dt. B4: Dấu hiệu nhận biết: Tích phân chứa hoặc thì đặt với để Tích phân chứa thì đặt với để Tích phân chứa thì đặt với để Ví dụ: VD 1: Tính: I = Giải: Đặt x = sint dx = cost.dt Đổi cận: x = 0 sint = 0 t = 0 x = 1 sint = 1 t = Vậy I = = = = VD 2: Tính Giải: Đặt Đổi cận: x = 0 sint = 0 t = 0 x = sint = t = Bài tập: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: 1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. (đặt x+1=tant) 9. 10. 11. 12. Dạng 3: Tích phân đổi biến số dạng 2 Tính tích phân I = B1. Đặt u = u(x) => du = u/(x)dx B2. Đổi biến x = a => u = u(a) ; x= b => u = u(b) B3. Biến đổi f(x)dx = g(u)du B4. Dấu hiệu: - Tích phân có chứa lũy thừa, đặc biệt là lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức dưới lũy thừa bằng t - Tích phân có chứa căn thức, đặt cả căn thức bằng t hoặc đặt biểu thức trong căn bằng t - Tích phân có chứa mẫu số, đặt mẫu số bằng t - Tích phân chứa đặt - Tích phân có chứa cả , đặt - Tích phân có chứa cả và , nhân cả tử và mẫu với x rồi đặt - Tích phân của các hàm số hữu tỉ: Nếu mẫu số có nghiệm, đưa về tích phân của hàm số logarit Nếu mẫu số vô nghiệm, đưa về dạng , đặt - Tích phân của hàm số lượng giác: - Biến đổi lượng giác: hạ bậc, biến tích thành tổng, đặt - Bậc lẻ với sin thì đặt - Bậc lẻ với cos thì đặt - Cận tích phân đối nhau đặt t = -x; bù nhau đặt , phụ nhau đặt Ví dụ: VD 1: Tính Giải: - Đặt - Đổi cận: x = 0 t = -1 x = 1 t = 0 VD 2: Tính Giải: - Đặt 0 1 1 0 x t - Đổi cận: Hoặc: VD 3: Tính tích phân sau: I = Giải: Đặt u = 1 + tanx du = 0 1 2 x u Đổi cận: I = = VD 4: Tính tích phân I = Giải: - Đặt u =1+ sin xdu = cosx dx - Đổi cận: x = 0 u = 0, x = u = 2 I = VD 5: Tính tích phân I = Đặt t = ex +1, suy ra dt = exdx Khi x = 0 thì t = 2, khi x = ln2 thì t = 3 I = = VD 6: Tính: I = Đặt u = Þ u2 = ln2 x + 1 Þ 2u du = Đổi cận: x = 1 Þ u = 1 x = e Þ u = Bài tập: Bài 1. Tính các tích phân sau: 1. (t=1-x) 2. 3. 4. 5. 6. (t=lnx) 7. 8. 9. 10. 11 . 12. 13. (t=tanx+2) Bài 2: Tính các tích phân sau: 1. Đáp số: 10 2. Đáp số: 3. Đáp số: 4. Đáp số: 5. 6. 7. 8. 9. 10. Bài 3: Tính các tích phân sau: (Tích phân các hàm số lượng giác) 1. ; Đáp số: 2. ; Đáp số: 3. ; Đáp số: 4. ; Đáp số:8)15 5. ; Đáp số:2)63 6. ; Đáp số:ln2 Dạng 4: Tích phân từng phần Sử dụng công thức: Phương pháp: Đặt sao cho thích hợp, tính Dấu hiệu: - Tích phân chứa: Đặt - Tích phân chứa Đặt - Tích phân chứa hoặc Đặt: hoặc (Với là các đa thức) Ví dụ: VD 1: Tính Giải: Đặt Kết luận: VD 2: Tính tích phân Giải: Đặt Kết luận: VD 3: Tính Giải: Đặt Tính Đặt Kết luận: VD 4: Tính tích phân Giải: Đặt Kết luận: VD 5: Tính tích phân sau: . Giải Ta có: Đặt Vậy: VD 6: Tính tích phân: I = Đặt Với . Đặt ;, ta tính được M = Do đó: VD 7: Tính tích phân: I = Đặt I Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau: 1. ; Đáp số:-1 2. ; Đáp số: 3. ; Đáp số: 4. ; Đáp số:2ln2-1 5. ; Đáp số: 6. ; Đáp số: 7. ; Đáp số: 8. ; Đáp số:0 9. ; Đáp số: 10. ; Đáp số:1)2 Bài 2: Tính các tích phân sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. . 21. 22. 23. 24 25. Dạng 5: Tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: Bước 2. Áp dụng tính chất cộng tích phân để tách thành các tích phân rồi tính Ở BXD trên ta có: . Ví dụ: VD 1. Tính tích phân . Giải Bảng xét dấu . Vậy . VD 2. Tính tích phân . Giải . Bảng xét dấu . Vậy . Bài tập: Tính các tích phân sau: 4. 7. Dạng 6: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 1. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: , trục hoành và hai đường thẳng là: . 2. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: và hai đường thẳng là: Ví dụ: VD 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , trục hoành và hai đường thẳng Giải: Áp dụng công thức ta có: Tính : Kết luận: Diện tích bằng VD 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , trục hoành, trục tung và đường thẳng . Giải: Áp dụng công thức ta có: Kết luận: Diện tích bằng VD 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , trục tung và 2 đường thẳng . Giải: Áp dụng công thức ta có: (đvdt) Kết luận: Diện tích bằng VD 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x. Giải: · Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x x2 + x – 2 = 0 x = 1 và x = -2 Áp dụng công thức: S = thì S = Vậy S = = = = (đvdt) Bài tập: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1). y= x2- 3x+ 2, y = x -1, x = 0 , x = 2; Đáp số: S= 2 2).y= x.ex, x=1, y = 0 ; Đáp số: S= 1 2) y = sinx, y = 0, x = 0, x = ; Đáp số: 4). y= sin2x +x, y = x,x = 0, x = ; Đáp số: S= 5). y2 =2x và y= 2x -2 ; Đáp số: S= 6).y2 = 2x +1 và y= x-1; Đáp số: 16) 3 7). y = lnx, y = 1, x = 1 ; Đáp số:1 8). ,x=1 Đáp số: e+2ln2-4 Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , trục hoành và hai đường thẳng Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , trục tung, trục hoành và đường thẳng . Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , trục tung và 2 đường thẳng . Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị và hai đường thẳng Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , trục hoành và hai đường thẳng . Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: , trục hoành và hai đường thẳng . Bài 8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.10. 11. 12. 13. (C): và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 14. (C): và các tiếp tuyến của (C) đi qua Dạng 7: Ứng dụng tích phân để tính thể tích của vật thể khi quay quanh trục hoành, trục tung 1. Công thức tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành là: 2. Công thức tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục tung và hai đường thẳng quay quanh trục tung là: & Nhận xét: @ Điểm lưu ý đầu tiên hãy xác định xem quay quanh trục hoành hay trục tung. @ Đối với bài toán hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường phức tạp (không áp dụng trực tiếp được công thức (1) hoặc (2)), thì nhất thiết phải vẽ hình và xét phương trình tương giao, dựa vào hình vẽ và tính chất chia thể tích để đưa ra công thức phù hợp. @ Việc vẽ đồ thị rất quan trọng khi phải tính diện tích, thể tích của những hình gồm nhiều đường, phức tạp. Ví dụ: VD 1. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục hoành và 2 đường thẳng khi quay quanh trục hoành. Giải: Áp dụng công thức: VD 2. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục tung và hai đường thẳng khi quay quanh trục tung. Giải: Áp dụng công thức: Bài tập: Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x Đáp số: V= Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: Đáp số: V= Bài 3. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: khi quay quanh trục hoành. Bài 4. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục tung và hai đường thẳng khi quay quanh trục tung. ( là tham số khác ) Bài 5. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường:, khi quay quanh trục tung. Bài 6. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: khi quay quanh trục tung. Bài 7. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: khi nó quay quanh trục . Bài 8. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: khi nó quay quanh trục Bài 9. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục hoành và đường thẳng khi quay quanh trục hoành. Bài tập tích phân tốt nghiệp THPT một số năm gần đây: 1. (TN 2005); Đáp số: 2.(TN 2006); Đáp số: 3. (TN 2007 lần 1) ; Đáp số: 4. ( TN 2007 lần 2); Đáp số:ln2 5. ; (TN 2008 PB lần 1); Đáp số: 6.; (TN 2008 PB lần2 ); Đáp số:e+3 7.; (TN 2008 không PB lần1 ); Đáp số: 8. ; (TN 2008 không PB lần2 ); Đáp số: 9.(TN 2009) Đáp số: 10. (TN 2010) Đáp số: 11. (TN 2011) Đáp số Chuyên đề: SỐ PHỨC A. LÍ THUYẾT: - Số phức có phần thực là và phần ảo là () - Giả sử số phức được biểu diễn bởi điểm M(a,b) hoặc thì độ dài của vectơ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|. Vậy |z| . - Số phức liên hợp: Số phức được gọi là số phức liên hợp của số phức . Kí hiệu = a – bi Các phép toán trên tập số phức: Cho hai số phức và . - Phép cộng số phức: . - Phép trừ số phức: . - Phép nhân số phức: . - Phép chia số phức: . Chú ý: B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Nhận xét: Tính toán trên số phức thật ra không khác gì với phép tính trên tập số thực. Chỉ có điều, bạn hãy xem số phức là một kí hiệu mà . Ví dụ: VD 1: Thực hiện các phép tính sau: Giải: VD 2: Tính với: và và Giải: VD 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết :  Lời giải : Vậy số phức z có phần thực là -2 và phần ảo là -4. Vậy số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là 2. Vậy số phức z có phần thực là 31 và phần ảo là 1. Vậy số phức z có phần thực là -1 và phần ảo là 1 VD 4: Tìm môđun của các số phức sau :  Lời giải : Ta có : Do đó : Ta có : Do đó : Ta có : Do đó : . VD 5 : Tìm số phức liên hợp của z biết : Lời giải : Vậy : Vậy : Bài 3 : Cho số phức . Tìm số phức nghịch đảo của z Lời giải : Ta có Bài tập tự luyện: Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:   Bài 2: Cho . Tính và . Suy ra ĐS: , , , , , , Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo: a) ĐS: thực 5, ảo 10. b) ĐS: thực 19, ảo -4. c) ĐS: thực , ảo d) ĐS: thực 37, ảo -38. e) Đs : thực -5, ảo 12 f) Đs : thực 2, ảo 5 g) Đs: thực , ảo -1 h) ĐS: thực -6 ảo 9 i) ĐS: thực ảo k) ĐS: thực ảo Bài 4: Cho hai số phức ; .Tính môđun của số phức z biết: a. ĐS: b. ĐS: c. ĐS: d. ĐS: e. ĐS: f. ĐS: Bài 5: Tìm , biết : ĐS: ; ĐS: Dạng 2 ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC Phương pháp: - Gọi là số phức cần tìm. - Từ giả thiết, tìm hệ thức giữa . Hệ thức này xác định một đường cong trong mặt phẳng phức (thực chất là mặt phẳng tọa độ Oxy). Một số tập hợp điểm trong mặt phẳng phức: 1) Đường thẳng: * song song hoặc trùng với trục ảo Oy * song song hoặc trùng với trục thực Ox * 2) Đường tròn: có tâm bán kính 3) Hình tròn: có tâm bán kính 4) Đường elip: 5) Đường hyperbol: Ví dụ: VD 1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn từng điều kiện sau: a) b) c) Giải: Giả sử a) . Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính trong mặt phẳng phức. b) Tập hợp các điểm biểu diễn là trục thực Ox trong mặt phẳng phức. c) . Tập hợp điểm là đường thẳng có phương trình VD 3: Cho các số phức . Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức , , , , lần lượt bởi các điểm A, B, C, D, E. Giải: Bài tập: Bài 1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn từng điều kiện sau: a) là số thực âm b) là số ảo c) d) là số ảo e) Phần thực của z bằng 5 f) Phần ảo của z bằng -4 ĐS: a) Là trục ảo Oy trừ điểm gốc O b) Là hai đường thẳng . c) Là hai trục Ox, Oy d) Là trục ảo Oy trừ điểm e) Là đường thẳng song song với Oy, cắt Ox tại điểm (5;0) f) Là đường thẳng song song với Ox, cắt Oy tại điểm (0;-4) Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn từng điều kiện sau: a) b) c) và phần ảo của z bằng 1 ĐS: a) là đường thẳng b) là đường thẳng c) là giao điểm của đường tròn tâm O bán kính bằng 1 và đường y = 1 Bài 3: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn đồng thời và . ĐS: Dạng 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC Tính biệt thức , pt có hai nghiệm thực phân biệt , pt có hai nghiệm phức phân biệt , pt có nghiệm kép Có thể dùng biệt thức và công thức nghiệm thu gọn như trong phương trình bậc hai trên tập số thực Ví dụ: VD 1: Giải các phương trình trên C: a) b) c) Lời giải: a) Ta có: Phương trình có hai nghiệm phức: b) c) Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức Lời giải: a) Ta có: Phương trình có hai nghiệm phức: b) Ta có: Phương trình có hai nghiệm phức: c) Ta có: Phương trình có hai nghiệm phức: d) Ta có: Phương trình có hai nghiệm phức: Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức (ẩn x) a) ĐS: b) ĐS: c) ĐS: Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) b) c) ĐS: a) b) c) Bài 3: Giải các phương trình trên tập số phức: a) b) c) d) e) f) ĐS . . . . . . . Bài 4: Giải các phương trình trên tập số phức: a) ĐS: b) ĐS: c) ĐS: d) ĐS: e) ĐS: f) ĐS: g) ĐS: h) ĐS: