Giáo án Ôn tập môn Toán 9 - Chủ đề 5: Toán nâng cao

Chủ đề 5: TOÁN NÂNG CAO Hoạt động Nội dung Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = HD: Ta có: x2 – x + 1 = với mọi x => P = = = Giá trị nhỏ nhất của P là khi x + 1 = 0 x = -1 P = = = 2 Giá trị lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0 x = 1 Bài 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) HD: Ta có: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) 3y2 + 2(3x – 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1) Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ’ là số chính phương. Ta có: ’ = (3x – 14)2 –36x2 + 84x = k2 0 –27x2 + 196 = k2 0 27x2 196 x2 7 x Nếu x = 0 thì y = 0; x = 1 thì y = 8; x = -1 thì y = 10; x = 2 thì y Z Vậy các cặp số (x; y) thoả mãn đề bài là (0; 0); (1; 8); (-1; 10) Bài 3: Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn: . Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0 HD: Xét phương trình (x2 + ax + b) = 0 (1) có 1= a2– 4b Xét phương trình (x2 + bx + a) = 0 (2) có 2 = b2 – 4a 1 + 2 = a2 + b2 – 4(a + b). mà 2(a + b) = ab 1 + 2 = a2 + b2 – 4(a + b) = a2 + b2 – 2ab = (a – b)2 0 Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm. Do đó phương trình (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0 luôn luôn có nghiệm Bài 4: Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương HD: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3 với x nguyên dương Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k2 (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = k2 (x2 + 3x + 1)2 – 1 = k2 (x2 + 3x + 1)2 và k2 là hai số chính phương hơn kém nhau 1 đơn vị nên (x2 + 3x + 1)2 = 1 và k2 = 0 x = 0; x = -3 trái với giả thiết Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương Bài 5: Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn x + y + z = 1. C.minh: > 14 HD: Từ x + y + z = 1 suy ra (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 1 = = 2 + Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta cho hai số dương ta có: 6 + 2 + = 8 + 2 > 8 + 2= 14 Bài 6: Biết . Tính x + y HD: Ta có: (1) Nhân cả hai vế của (1) với ta được: 5 = 5 hay x + y = – (2) Nhân cả hai vế của (1) với ta được: 5 = 5 hay x + y = – (3) Cộng (2) và (3) vế theo vế ta được: 2(x + y) = 0 Vậy x + y = 0 Bài 8: Cho tam giác ABC cân có: = 1080 . Tính HD: Lấy trên cạnh BC điểm D sao cho CD = AC = AB ABC DBA Đặt = x > 0 x = 1 + x2 – x – 1 = 0 x = Vậy = Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = HD: Ta có: y = (y – 1)x2 – 5yx + 7y = 0 (1) (1) có nghiệm khi = –3y2 + 28y 0 0 y Vậy GTNN của y là 0 kh x = 0; GTLN của y là khi x = Bài tập về nhà Bài 1: Tính: HD: Đặt x = => x3 = 20 + 14+ 20 – 14+ 3x = 40 + 6x x3 – 6x – 40 = 0 x3 – 4x2 + 4x2 – 16x + 10x – 40 = 0 x2(x – 4) + 4x(x – 4) + 10(x – 4) = 0 (x – 4)(x2 + 4x + 10) = 0 Vì x2 + 4x + 10 = (x + 2)2 + 6 > 0 nên x – 4 = 0 x = 4 Bài 2: Giải phương trình: Ta có: = . Đặt = t > 0 t + = 18 t = 9 4x = 2 Bài 3: Cho 2a + 3b = 5. Chứng minh: 2a2 + 3b2 5 HD: Ta có: 2a + 3b = 5 a = 2a2 + 3b2 = (b – 1)2 + 5 5 Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 Bài 4: Tìm các số nguyên x; y thoả mãn: x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy HD: Ta có: x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy (1) Ta có: x = y = 0 là một nghiệm của phương trình (1) Xét x; y 0 . Từ (1) y2(x2 – 7) = (x + y)2 x2 – 7 là số chính phương x2 – 7 = a2 (x – a)(x + a) = 7 Kết quả: (x; y) = (0; 0) ; (4; -1) ; (4; 2) ; (-4; 1) ; (-4; -2) Bài 5: Cho hai số dương x; y. Biết tổng của chúng bằng 6 lần trung bình nhân của chúng. Tính tỉ số HD: Ta có: x + y = 6. Chia cả hai vế cho y ta được: + 1 = 6. Đặt t = > 0 ta có phương trình:t2 – 6t + 1 = 0. Giải phương trình ta được hai nghiệm t1 = 3 + 2 và t2 = 3 – 2 Vậy = t2 = 17 12 RÚT KINH NGHIỆM :