B ài 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hướng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần: m – 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1; -4) vào pt: y = (m – 1)x + m + 3. Ta được: m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0;y0). Ta có
y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
40 trang |
Chia sẻ: oanh_nt | Lượt xem: 1037 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Giáo án Ôn thi lớp 9, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Bài tập rút gọn
Bài 1 :
1) Đơn giản biểu thức : P = .
2) Cho biểu thức : Q =
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : Q = .
b) > - Q x > 1.
c) x = thì Q Z
Bài 2 : Cho biểu thức P =
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = .
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : P = .
b) Với x = thì P = - 3 – 2.
Bài 3 : Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để = A.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với x = thì A = - 1.
c) Với 0 x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì = A.
Bài 4 : Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A > .
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a9. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với 0 .
Bài 5 : Cho biểu thức: A = .
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x Z ? để A Z ?
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 1.
b) Biểu thức rút gọn : A = với x ≠ 0 ; x ≠ 1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z .
Bài 6 : Cho biểu thức: A = .
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x = thì A Z.
Bài 7 : Cho biểu thức: A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
b) Ta xét hai trường hợp :
+) A > 0 > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)
+) A 2 > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Bài 8 : Cho biểu thức: P = (a 0; a 4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P =
b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Bài 9 : Cho biểu thức: N =
1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a .
b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 10 : Cho biểu thức
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn :
b) Ta thấy ĐKXĐ . Suy ra
c) Pmin=4 khi x=4.
Bài 11 : Cho biểu thức
a. Rút gọn P. b. Tìm x để c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x 0, x 9. Biểu thức rút gọn :
b. Với thì
c. Pmin= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A= với x>0 ,x1
Rút gọn A
Tính A với a =
( KQ : A= 4a )
Bài 13: Cho A= với x0 , x9, x4 .
Rút gọn A.
x= ? Thì A < 1.
Tìm để
(KQ : A= )
Bài 14: Cho A = với x0 , x1.
Rút gọn A.
Tìm GTLN của A.
Tìm x để A =
CMR : A . (KQ: A = )
Bài 15: Cho A = với x0 , x1.
a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A = )
Bài 16: Cho A = với x0 , x1.
a . Rút gọn A.
b. CMR : ( KQ : A = )
Bài 17: Cho A =
a. Rút gọn A.
b. Tìm để
( KQ : A = )
Bài 18: Cho A = với a 0 , a9 , a4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
c. Tìm để ( KQ : A = )
Bài 19: Cho A= với x > 0 , x4.
Rút gọn A.
So sánh A với ( KQ : A = )
Bài20: Cho A = với x0 , y0,
Rút gọn A.
CMR : A 0 ( KQ : A = )
Bài 21 : Cho A = Với x > 0 , x1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A = )
Bài 22 : Cho A = với x > 0 , x4.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x = (KQ: A = )
Bài 23 : Cho A= với x > 0 , x1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x = (KQ: A = )
Bài 24 : Cho A= với x0 , x1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm để (KQ: A = )
Bài 25: Cho A= với x0 , x1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm để
c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A = )
Bài 26 : Cho A = với x0 , x9
. a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A < -
( KQ : A = )
Bài 27 : Cho A = với x0 , x1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x = (KQ: A = )
c . CMR : A
Bài 28 : Cho A = với x > 0 , x1.
a. Rút gọn A (KQ: A = )
b.So sánh A với 1
Bài 29 : Cho A = Với
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
c. Tìm x để A < 1.
( KQ : A = )
Bài30 : Cho A = với x0 , x1.
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 0
c. Tính A khi x =3+2
d. Tìm GTLN của A (KQ: A = )
Bài 31 : Cho A = với x0 , x1.
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x0 , x1 thì A > 0 , (KQ: A = )
Bài 32 : Cho A = với x > 0 , x1, x4.
a. Rút gọn
b. Tìm x để A =
Bài 33 : Cho A = với x0 , x1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm để
Bài 34 : Cho A= với x 0 , x9 , x4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm để
c. Tìm x để A < 0 (KQ: A = )
Bài tập về hàm số bậc nhất
Bài 1 :
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Hướng dẫn :
1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :
Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = 3x – 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
Bài 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy.
Hướng dẫn :
1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 m – 2 < 0 m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta được m = .
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt :
(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1) m =
B ài 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hướng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta được : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phương trình đường thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Hướng dẫn :
1) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :
Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) ta cần : m = 2.
Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)
Bài 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = .
Hướng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ().
Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau :
y = ; y = và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
Bài 7 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1).
Bài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).
Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0.
Chủ đề : Phương trình – bất phương trình bậc nhất một ần
Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn .
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phương trình bậc nhất : ax + b = 0.
Phương pháp giải :
+ Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x = .
+ Nếu a = 0 và b ≠ 0 phương trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0 phương trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :
Phương pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phương trình thứ 2 ta được phương trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phương pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau đây :
a) ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = .
b) = 2
Giải : ĐKXĐ : ≠ 0. (*)
Khi đó : = 2 2x = - 3 x =
Với x = thay vào (* ) ta có ()3 + + 1 ≠ 0
Vậy x = là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình theo m :
(m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1)
+ Nếu m 2 thì (1) x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m Z thì 2m – 3 0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) - .
để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m – 3 .
Giải ra ta được m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23 y = = 6 – 2x +
Vì y Z x – 1 4.
Giải ra ta được x = 1 và y = 4
bài tập phần hệ pt
Bài 1 : Giải hệ phương trình:
a) b) c) d)
e) f)
Bài 2 : Cho hệ phương trình :
1) Giải hệ phương trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 3 : Cho hệ phương trình:
1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho hệ phương trình:
có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức nhận giá trị nguyên.
B ài5 : Cho hệ phương trình:
1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình
có nghiệm là .
Bài 7 : Cho hệ phương trình (a là tham số).
1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2.
Bài 8 (trang 22): Cho hệ phương trình : (m là tham số).
Giải hệ khi m = -1.
Giải và biện luận pt theo m.
Bài 9 : (trang 24): Cho hệ phương trình : (m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa m ủeồ heọ coự hai nghieọm nguyeõn.
c) Xaực ủũnh moùi heọ coự nghieọm x > 0, y > 0.
Bài 10 (trang 23): Moọt oõtoõ vaứ moọt xe ủaùp chuyeồn ủoọng ủi tửứ 2 ủaàu moọt ủoaùn ủửụứng sau 3 giụứ thỡ gaởp nhau. Neỏu ủi cuứng chieàu vaứ xuaỏt phaựt taùi moọt ủieồm thỡ sau 1 giụứ hai xe caựch nhau 28 km. Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe.
HD : Vaọn toỏc xe ủaùp : 12 km/h . Vaọn toỏc oõtoõ : 40 km/h.
Bài 11 : (trang 24): Moọt oõtoõ ủi tửứ A dửù ủũnh ủeỏn B luực 12 giụứ trửa. Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 35 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 2 giụứ chieàu. Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 50 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 11 giụứ trửa. Tớnh ủoọ quaỷng ủửụứng AB vaứ thụứi dieồm xuaỏt phaựt taùi A.
ẹaựp soỏ : AB = 350 km, xuaỏt phaựt taùi A luực 4giụứ saựng.
Bài 12 : (trang 24): Hai voứi nửụực cuứng chaỷy vaứo moọt caứi beồ nửụực caùn, sau giụứ thỡ ủaày beồ. Neỏu luực ủaàu chổ mụỷ voứi thửự nhaỏt, sau 9 giụứ mụỷ voứi thửự hai thỡ sau giụứ nửừa mụựi nay beồ . Neỏu moọt mỡnh voứi thửự hai chaỷy bao laõu seừ nay beồ.
ẹaựp soỏ : 8 giụứ.
Bài 13 : (trang 24): Bieỏt raống m gam kg nửụực giaỷm t0C thỡ toỷa nhieọt lửụùng Q = mt (kcal). Hoỷi phaỷi duứng bao nhieõu lớt 1000C vaứ bao nhieõu lớt 200C ủeồ ủửụùc hoón hụùp 10 lớt 400C.
Hửụứng daừn :
Ta coự heọ pt :
Vaọy caàn 2,5 lớt nửụực soõi vaứ 75 lớt nửụực 200C.
Bài 14 : Khi theõm 200g axớt vaứo dung dũch axớt thỡ dung dũch mụựi coự noàng ủoọ 50%. Laùi theõm 300g nửụực vaứo dung dũch mụựi ủửụùc dung dũch axớt coự noàng ủoọ 40%. Tớnh noàng ủoọ axớt trong dung dũch ban ủaàu.
Hửụứng daừn :Goùi x khoỏi axit ban ủaàu, y laứ khoỏi lửụùng dung dũch ban ủaàu.
Theo baứi ra ta coự heọ pt :
Vaọy noàng ủoọ phaàn traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40%.
Phương trình bậc hai
định lý viet và ứng dụng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất
- hoặc vụ nghiệm
- hoặc vụ số nghiệm
b)Nếu a 0
Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac
* < 0 (/ < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm
* = 0 (/ = 0 ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = -
(hoặc x1,2 = -)
* > 0 (/ > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt:
x1 = ; x2 =
(hoặc x1 = ; x2 = )
2. Định lý Viột.
Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ
S = x1 + x2 = -
p = x1x2 =
Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2:
x2 – S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau:
x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 ) p < 0
Hai nghiệm cùng dương( x1 > 0 và x2 > 0 )
Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0)
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0)
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0)
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -
Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m
b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2
- Lập tích p = x1x2
- Phương trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*) =
*) =
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*)
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện )
d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
(hoặc ) (*)
- Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của
tham số
Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay luôn
x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và
giải phương trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ Nếu > 0 m2 – 9 > 0 m 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - x2 = m + 1 +
+ Nếu = 0 m = 3
Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4
Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2
+ Nếu < 0 -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2
Với m 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 - x2 = m + 1 +
Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
Hướng dẫn
Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phương trình đã cho có dạng
- 6x – 3 = 0 x = -
* Nếu m – 3 0 m 3 .Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- Nếu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .phương trình có nghiệm kép
x1 = x2 = - = - 2
- Nếu > 0 m >2 .Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1,2 =
- Nếu < 0 m < 2 .Phương trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phương trình có nghiệm x = -
Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m 3 phương trình có nghiệm x1,2 =
Với m < 2 phương trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
2x2 + 2007x – 2009 = 0
17x2 + 221x + 204 = 0
x2 + ()x - = 0
x2 –(3 - 2)x - 6 = 0
Giải
2x2 + 2007x – 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 =
17x2 + 221x + 204 = 0 có a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,
x2 = - = - 12
c) x2 + ()x - = 0 có: ac = - < 0 .
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có :
x1 + x2 = -() = - +
x1x2 = - = (- )
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = - , x2=
(hoặc x1 = , x2 = - )
d ) x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 có : ac = - 6 < 0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2
Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
(m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Hướng dẫn :
x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0
Suy ra : x1 = 2
Hoặc x2 =
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành – 4x – 4 = 0 x = - 1
* m – 3 0 m 3 (*)
Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0
a) Tính:
A = x12 + x22 B =
C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là và
Giải ;
Phương trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = =
+ C = =
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :
S = (theo câu a)
p =
Vậy và là nghiệm của hương trình :
X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phương trình :
x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phương trình (1) là phương trình bậc hai có:
= (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + )
= 5(k2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k. Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
- k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0
-(k - )2 - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
Vì phương trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x1 + x2 = k – 1 và x1x2 = - k2 + k – 2
x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
= (k – 1)[(2k - )2 + ]
Do đó x13 + x23 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0
k – 1 > 0 ( vì (2k - )2 + > 0 với mọi k)
k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
Giải phương trình (1) với m = -5
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2.)
Giải
Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9
Có = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5
= m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 với mọi m
Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4
Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]
=> = 2 = khi m + = 0 m = -
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = -
Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
Giải phương trình khi m = -
Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
Thay m = - vào phương trình đã cho và thu gọn ta được
5x2 - 20 x + 15 = 0
phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
+ Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành;
5x – 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số :
= (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = = x2 =
Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp
Trường hợp 1 : 3x1 = x2 3 = giải ra ta được m = - (đã giải ở câu 1)
Trường hợp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m – 9 m = (thoả mãn điều kiện m - 2)
Kiểm tra lại: Thay m = vào phương trình đã cho ta được phương trình :
15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm
x1 = 1 , x2 = = (thoả mãn đầu bài)
Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số .
Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1)
Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 x =
+ Nếu m 0 .Lập biệt số = (m – 2)2 – m(m-3)
= m2- 4m + 4 – m2 + 3m
= - m + 4
4 : (1) vô nghiệm
= 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép
x1 = x2 = -
> 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
x1 = ; x2 =
Vậy : m > 4 : phương trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phương trình (1) Có nghiệm kép x =
0 m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x =
2. (1) có nghiệm trái dấu < 0 < 0
Trường hợp không thoả mãn
Trường hợp 0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm
0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có :
9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = -
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m = -.Sau đó thay m = - vào phương trình (1) :
-x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0
có = 289 – 189 = 100 > 0 =>
Vậy với m = - thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x2 = (Như phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
x1 + x2 =
x2 = - x1 = - 3 =
Cách 3: Thay m = - vào công trức tính tích hai nghiệm
x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 =
Bài 10: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x12 + x22 = 10
Giải.
1.Phương trình (1) có nghiệm kép = 0 k2 – (2 – 5k) = 0
k2 + 5k – 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 )
k1 = ; k2 =
Vậy có 2 giá trị k1 = hoặc k2 = thì phương trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:
0 k2 + 5k – 2 0 (*)
Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - - 2k và x1x2 = 2 – 5k
Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lượt k1 , k2 vào = k2 + 5k – 2
+ k1 = 1 => = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k2 = - => =
File đính kèm:
- Giao an on thi lop 9.doc