Giáo án Phụ đạo Toán 11

PHỤ ĐẠO TOÁN 11 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH CHƯƠNG MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ------------------------------------------------------ A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) có nghĩa khi B (A có nghĩa) ; có nghĩa khi A 2) 3) 4) 5) Hàm số y = tanx xác định khi Hàm số y = cotx xác định khi Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 3) y = sin 4) y = cos 5) y = 6) y = 7) y = 8) y = tan(x + ) 9) y = cot(2x - 10) y = II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = tan2x 5) y = sin + x2 6) y = cos III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên 2) y = cosx trên khoảng 3) y = cotx trên khoảng 4) y = cosx trên đoạn 5) y = tanx trên đoạn 6) y = sin2x trên đoạn 7) y = tan3x trên khoảng 8) y =sin(x + ) trên đoạn Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Khoảng Hàm số y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn 2) y = -2cos trên đoạn IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x-) + 3 2) y = 3 – cos2x 3) y = -1 - 4) y = - 2 5) y = 6) y = 5cos 7) y = 8) y = Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn 2) y = cosx trên đoạn 3) y = sinx trên đoạn 4) y = cosx trên đoạn B.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC. Phương trình lượng giác cơ bản Các trường hợp đặc biệt Học sinh cần nhớ bẳng các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. Phương trình bậc nhất với một hay nhiều hàm số lượng giác Phương trình lượng giác bậc nhất với một hàm số lượng giác Dạng: a.X + b = 0, với X là sinf(x), hoặc cosf(x), hoặc tanf(x), hoặc cotf(x). Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Phương trình lượng giác bậc nhất với hai hàm số lượng giác Phương trình bậc nhất với sin và cosin: + Dạng: a.sinu + b.cosu = c. + Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 + Nếu a = 0 hoặc b = 0 ta đưa về phương trình cơ bản. + Xét ta có thể giải theo các cách sau Cách 1 Chia hai vế phương trình cho và đặt ta đưa phương trình về dạng cơ bản Cách 2 Chia hai vế phương trình cho a và đặt Cách 3 Xét Với ta đặt , đưa PT đã cho về dạng Giải ra tìm t, rồi tìm ra u, từ đó tìm nghiệm của phương trình. Chú ý Với phương trình mà ta chia hai vế của phương trình cho và đưa về phương trình cơ bản. Với phương trình dạng a.sinu + b.cosu = 0 ta có thể đưa về phương trình cơ bản của tanu hoặc cotu. Phương trình bậc nhất với tang và cotang: + Dạng: a.tanu + b.cotu + c = 0. + Phương pháp: đặt t = tanu. Các phương trình dạng a.X + b.Y = 0 với X là sinu hoặc cosu, còn Y là tanu hoặc cotu, ta thường đưa về phương trình tích, hoặc phương trình bậc hai đối với sin hoặc cosin. Phương trình bậc hai với một hay nhiều hàm số lượng giác Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác Dạng: a.X2 + b.X + c = 0, với X là sin hoặc cosin hoặc tang hoặc cotang. Phương pháp: Đặt t = X, nếu X là sin hoặc cosin thì có điều kiện Phương trình bậc hai với sin và cosin Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cosin + Dạng + Phương trình này còn được gọi là phương trình đẳng cấp bậc hai với sin và cosin. + Phương pháp giải: Cách 1 Tìm cách đưa về phương trình tích. Cách 2 Dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cosin. Cách 3 Xét cosu = 0. Xét , chia hai về phương trình cho cos2u và đặt t = tanu. Chú ý Với phương trình a.sin3u + b.sin2u.cosu + c.sinu.cos2u + d.cos3u + e.sinu + f.cosu = 0 ta làm tương tự như cách 3 nói trên. PT đối xứng đối với sin và cosin có dạng a(sinu + cosu) + b.sinu.cosu +c = 0. Ta đặt Phương trình dạng a(sinu – cosu) + b.sinu.cosu + c = 0, ta thường đặt Các phương trình lượng giác khác Ta có thể biến đổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích. Muốn vậy cần nắm vững các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức, các phương pháp đặt nhân tử chung … Chúng ta lưu ý một số kĩ thuật sau: J Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x … ta có thể đặt nhân tử chung là sinx. J Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, cos3x, cotx, tan2x, cot3x … ta có thể đặt nhân tử chung là cosx. J Nếu trong phương trình lượng giác có chứa ta có thể đặt nhân tử chung là 1 + cosx. J Nếu trong phương trình lượng giác có chứa ta có thể đặt nhân tử chung là 1 – cosx. J Nếu trong phương trình lượng giác có chứa ta có thể đặt nhân tử chung là 1 + sinx. J Nếu trong phương trình lượng giác có chứa ta có thể đặt nhân tử chung là 1 – sinx. J Nếu trong phương trình lượng giác có chứa cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cotx, tanx + cotx … ta có thể đặt nhân tử chung là sinx + cosx. J Nếu trong phương trình lượng giác có chứa cos2x, cot2x, 1 – sin2x, 1 – tanx, 1 – cotx, tanx – cotx … ta có thể đặt nhân tử chung là sinx – cosx. Ta có thể dùng các công thức hạ bậc, nhân đôi, biến tổng thành tích, biến tích thành tổng … để biến đổi các phương trình lượng giác về dạng quen thuộc đã biết cách giải. Có thể dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác. Nhiều phương trình lượng giác cần chú ý đến điều kiện xác định. Bài tập. Bài 1. Giaûi caùc phöông trình sau: 1. , 2. 3. , 4. 5. , 6. 7. 8. Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. 7. 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 10. Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình sau: 1) 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 2) 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0 3) 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4 4) 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 5) 6) cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 Baøi 4. Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2) sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3) 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4) sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 Baøi 6. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx 2/ ÑS : x = k3p , x= ± +k3p , x = ± +k3p 3/ 1+ sinsinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ÑS: sinx =1 v sin = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = - + k p 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ÑS : x = k2p , x = ± +k2p 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = 0 , cos 2x = 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :ñaët t = tan 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :ñaët t =cos 2x 12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ÑS : x = kp v x = + kp 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ÑS : x = + kp 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 Baøi 7. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= + 5/ sin3(x - ) = sinx ÑS : x = +kp 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x = ± + kp v x= + 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). Baøi 9. Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ 11/ sin2tan2x – cos2 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan) 20/ cotx – 1 = Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau: 56) 57) 58) 59) 61) CHƯƠNG HAI TỔ HỢP - XÁC SUẤT ---------------------- A. Lí thuyết I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. Bản chất : 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. Bản chất : II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Chænh hôïp = toå hôïp roài hoaùn vò. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: . c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: Chứng minh: a) Chứng minh công thức (1): Cách 1: Ta có Cách 2: là số tập con có k phần tử của tập A có n phần tử. Mỗi tập con B của A và B có k phần tử thì tập A\B là tập con có n – k phần tử của A. Có bao nhiêu tập con B thì có bấy nhiêu tập con A\B. Mà số tập con có n – k phần tử của A là Vậy phải có . Cách 3: Ta có khai triển nhị thức ở đó số hạng chứa là . Mặt khác ta có và số hạng chứa là . Hai số hạng chứa ở hai cách khai triển đó phải đồng nhất với nhau, tức là b) Chứng minh công thức (2): Cách 2: Cho tập A gồm n phần tử, trong đó có phần tử a. Số tập con có k phần tử của A là Nếu B là tập con gồm k phần tử của A thì xảy ra các khả năg sau: - Tập B không chứa phần tử a, thì B là tập con gồm k phần tử của tập A\{a}, có tập B như thế. - Tập B có chứa a, tức là B\{a} là tập con có k – 1 phần tử của tập A\{a}, có tập B như thế. Theo phân tích này thì có tập con có k phần tử của A. Vậy Cách 3: Ta có Mặt khác Ở khai triển (*) số hạng chứa là , còn ở khai triển ( **) số hạng chứa là Đồng nhất hệ số của ở hai khai triển này ta được III. Khai triển nhị thức Newton Nhận xét: Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. Số hạng tổng quát: Chú ý: @ là khai triển theo số mũ của a giảm dần. @ là khai triển theo số mũ của a tăng dần. @ Học sinh cần chú ý thêm tới tam giác Pascal. n = 1 1 n = 2 1 1 n = 3 1 2 1 n = 4 1 3 3 1 n = 5 1 4 6 4 1 ... IV. Xác suất. A, B độc lập B. Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải: Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6: Từ tập có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Dạng 5: Tìm trong phương trình chứa Phương pháp giải: Dùng các công thức: Bài 8: Tìm , nếu có: . Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n. Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: (khai triển theo lũy thừa của a tăng, b giảm) (Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) Bài 9: Tìm số hạng chứa x3 và hệ số lớn nhất, nhỏ nhất trong khai triển (11 + x)13. Bài 10: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau Hệ số của số hạng chứa trong khai triển và . Hệ số của số hạng chứa trong khai triển và . Hệ số của số hạng chứa trong khai triển . Hệ số của số hạng chứa trong khai triển . Hệ số của số hạng chứa trong khai triển . Hệ số của trong khai triển: . Hệ số của trong khai triển . Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển . Bài 11: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x. Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển Bài 13: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau Số hạng thứ 13 trong khai triển Số hạng thứ 18 trong khai triển Số hạng không chứa x trong khai triển và . Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển . Dạng 7: Tìm tổng hoặc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức có chứa Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả. Bài 15: 1) Tính tổng: 2) Chứng minh rằng với thì 3) Chứng minh với m, n, r thì: a) b) c) d) e) f) g) 4) Chứng minh với thì: a) b) Dạng 8. Tính xác suất. Bài 16 : Hai hộp chứa các quả cầu, hộp I chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp II chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả, tính xác suất để : a) Cả 2 quả là đỏ ; b) Hai quả cùng màu ; c) Hai quả khác màu. Bài 17 : Cho hai biến cố A, B có Chứng minh : CHƯƠNG BA DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN ---------------------- A. DÃY SỐ I. Phương pháp qui nạp toán học Bài tập 1) Chứng minh với mọi số nguywn dương n ta luôn có 2) Cho số nguyên dương n. Cho n số thực thoả mãn Chứng minh rằng 3) Tính tổng T1 = 1.3 + 2.4 + ... + n(n+2) ; T2 = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n-1).n(n + 1) ; với II. Dãy số Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên hàm số được gọi là một dãy số, và kí hiệu là hoặc . Thông thường ta hay chọn A sao cho phần tử nhỏ nhất của A là 1. Dãy (un) gọi là dãy sỗ hữu hạn (hoặc dãy số vô hạn) nếu A là tập hợp gồm hữu hạn (vô hạn) phần tử. Số un được gọi là số hạng tổng quát của dãy (un). Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng (tăng không nghiệm ngặt, giảm, giảm không nghiêm ngặt) nếu (tương ứng , , ) với mọi Dãy số (un) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho Số k nhỏ nhất thoả mãn tính chất này được gọi là chu kì của dãy tuần hoàn (un). Nếu k = 1 thì ta được một dãy hằng (tất cả các số hạng bằng nhau). Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi Dãy số (un) được gọi là bị chặn (hoặc giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số thực M, m sao cho với mọi hoặc tồn tại số thực C sao cho Dãy số hữu hạn hoặc tuần hoàn thì luôn bị chặn. VD1. Cho các số dương thoả mãn Chứng minh dãy (un) cho bởi là dãy tăng không nghiêm ngặt. HD. Với mọi số dương a và số nguyên dương n ta có nên Từ đó suy ra hay Vậy (un) là dãy số tăng không nghiêm ngặt. VD2. Chứng minh dãy số (un) có u1 = 1, là dãy giảm và bị chặn. HD. * Trước hết ta chứng minh Thật vậy, với n = 1 thì Giả sử Khi đó Theo nguyên lí qui nạp toán học, ta có tức là (un) bị chặn dưới bởi * Bây giờ ta xét hiệu Vậy (un) là dãy số giảm. * Vì (un) giảm nên suy ra (un) bị chặn trên bởi 1. Vậy (un) là dãy số bị chặn. Nhận xét. Ta có kết luận tương tự đối với dãy số (un) cho bởi u1 =, , với a, b, c dương, Bài tập 1) Cho dãy số thoả mãn điều kiện và với mọi Chứng minh là dãy số giảm. 2) Xác định số hạng tổng quát, tính đơn điệu và bị chặn của dãy cho bởi : 3) Xét tính bị chặn của dãy số có 4) Cho dãy số có Chứng minh rằng với mọi n và tìm số dư khi chia cho 2011. 5) Cho dãy số có Chứng minh rằng . 6) Xác định số hạng tổng quát của dãy số có 7) Xác định số hạng tổng quát của dãy số có a) b) B. CAÁP SOÁ COÄNG 1. Ñònh nghóa: Caáp soá coäng laø moät daõy soá ( höõu haïn hay voâ haïn), trong ñoù, keå töø soá haïng thöù hai, moãi soá haïng ñeàu laø toång cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng sai. Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d (n = 1, 2, ...). Ñaëc bieät: Khi d = 0 thì caáp soá coäng laø moät daõy soá trong ñoù taát caû caùc soá haïng ñeàu baèng nhau. Ñeå chæ raèng daõy soá (un) laø moät caáp soá coäng,ta kí hieäu u1, u2, ..., un, .... Soá haïng toång quaùt Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt un cuûa moät caáp soá coäng coù soá haïng ñaàu u1 vaø coâng sai d ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: un = u1 + (n - 1)d Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng Ñònh lí: trong moät caáp soá coäng, moãi soá haïng keå töø soá haïng thöù hai ( vaø tröø soá haïng cuoái cuøng ñoái vôùi caáp soá coäng höõu haïn), ñeàu laø trung bình coäng cuûa hai soá haïng keà beân noù, töùc laø (k 2). Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá coäng Ñònh lí: Ñeå tính Sn ta coù hai coâng thöùc sau: Sn tính theo u1 vaø d Sn tính theo u1 vaø un Bài tập Baøi 1: Xaùc ñònh soá haïng caàn tìm trong moãi caáp soá coäng döôùi ñaây: tìm u15. tìm u20. ÑS: Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30. Baøi 3: Cho caáp soá coäng:. Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa noù. Baøi 4: Tìm CSC coù 5 soá haïng coù toång laø 25,ø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165. Baøi 5: Tìm 3 soá taïo thaønh moät caáp soá coäng bieát soá haïng ñaàu laø 5 vaø tích soá cuûa chuùng laø 1140. Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng bieát chuùng taïo thaønh moät caáp soá coäng vôùi coâng sai laø 25. Baøi 7: Cho caáp soá coäng u1, u2, u3, ... Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80. Tìm toång S15 cuûa 15 soá haïng ñaàu tieân cuûa caáp soá coäng ñoù. Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng. Toång cuûa chuùng laø 176. Hieäu cuûa soá haïng cuoái vaø soá haïng ñaàu laø 30. Tìm caáp soá ñoù. Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3. Tính a10. Baøi 11: Tính u1, d trong caùc caáp soá coäng sau ñaây: ÑS: 1/ u1 = vaø d = ; 2/ u1 = 3 vaø d = 4. 3/ u1 = 0 vaø d =  ; Baøi 12 : Cho CSC (un) coù u3 = -15, u14 = 18. Tính toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. Baøi 13 : Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = 3. Tính u20 vaø S20. ÑS: u20 = 74, S20 = 910. Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4. Tính u1 vaø S10. ÑS: u1 = 46, S10 = 280 Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1. Tính d vaø S11. ÑS: d = vaø S11 = 187 Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18. Tìm toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. ÑS: S20 = 1350 Bài 17: Cho cấp số cộng có là tổng của n số hạng đầu tiên. Biết m, n là hai số nguyên dương phân biệt thoả mãn Chứng minh Bài 18: Một cấp số cộng có Tính và d. Bài 19: Ba góc trong một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo của hai góc nhọn trong tam giác đó. Bài 20: Tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng bằng 8. Tính tổng 11 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. C. CAÁP SOÁ NHAÂN Ñònh nghóa: Caáp soá nhaân laø moät daõy soá ( höõu haïn hay voâ haïn), tronh ñoù keå töø soá haïng thöù hai moãi soá haïng ñeàu laø tích cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng boäi. Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù un+1 =un.q (n = 1, 2, ...). Ñaëc bieät: Khi q = 0 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, 0, 0, ..., 0, ... Khi q = 1 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, u1, ..., u1, ... Neáu u1 = 0 thì vôùi moïi q, caáp soá nhaân laø daõy soá 0, 0, ..., ... Ñeå chæ daõy soá (un) laø moät caáp soá nhaân ta thöôøng duøng kí hieäu u1, u2, ..., un, .... Soá haïng toång quaùt Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt cuûa moät caáp soá nhaân ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: un = u1 (q). Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân Ñònh lí: Trong moät caáp soá nhaân, moãi soá haïng keå töø soá haïng thöù hai (tröø soá haïng cuoái ñoái vôùi caáp soá nhaân höõu haïn) ñeàu coù giaù trò tuyeät ñoái laø trung bình nhaân cuûa hai soá haïng keà beân noù, töùc laø: . Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân. Ñònh lí: Ta coù: (q 1) Bài tập Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát: 1/ Caáp soá nhaân coù 6 soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 1 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6. Baøi 2: Tìm u1vaø q cuûa caáp soá nhaân coù a) u3 = 18 vaø u6 = -486. b) u3=12, u5=48. Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát: a). b) . Baøi 4: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát: Baøi 5: Tìm caáp soá nhaân (un) bieát caáp soá ñoù coù 4 soá haïng coù toång baèng 360 vaø soá haïng cuoái gaáp 9 laàn soá haïng thöù hai. Bài 6: Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh rằng: a) b) Baøi 7: Toång 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng laø 21. Neáu soá thöù hai tröø ñi 1 vaø soá thöù ba coäng theâm 1 thì ba soá ñoù laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Tìm ba soá ñoù. Bài 8: Một cấp số cộng và cấp số nhân có các số hạng đều dương. Biết các số hạng thứ nhất và thứ hai của chúng bằng nhau. Chứng minh mọi số hạng của cấp số cộng không lớn hơn số hạng tương ứng của cấp số nhân. Bài 9: Cho dãy số có Đặt Chứng minh là cấp số nhân. Tìm công thức tính theo n. Bài 10: Cho dãy số có Đặt Chứng minh là cấp số nhân. Tìm công thức tính theo n. Bài 11: Cho dãy có Đặt Chứng minh là cấp số nhân và tính theo n. Bài 12: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 100 số hạng và số hạng đầu tiên là 1, công bội là 0,5. Bài 13: Tính tổng tất cảc các số hạng của một cấp số nhân biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai là 54, số hạng cuối là 39366. Bài 14: Viết số 1,014301430143... ở dạng phân số. Bài 15: Số hạng thứ hai, số hạng đầu, số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lại lập thành một cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân đó. Bài 16: Tìm hai số thực x và y sao cho ba số lập thành cấp số nhân, ba số lập thành cấp số cộng. CHƯƠNG BỐN GIỚI HẠN ----------------- A. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nhớ 1. Ôn lại nội dung định lí 1 và định lí 2 về giới hạn của hàm số 2. Nêu một số giới hạn cơ bản đã chứng minh được: ; ( Với c=conts) Nếu hàm số f(x) xác định tại điểm thì ; với k nguyên dương,c là hằng số 3. Ví dụ: Tính giới hạn của các hàm số sau; 4.Bài tập: Tính giới hạn của các hàm số sau; E = II. Các dạng toán điển hình *GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI HAI HAY NHIỀU BIỂU THỨC *Kiến thức cần nhớ: 1. Ôn lại giới hạn bên phải,bên trái của hàm số tại một điểm 2. Ôn lại cách tìm giới hạn của hàm số : B1: Tính các giới hạn: và B2: Nếu L1=L2=L thì Để hàm số có giới hạn tai thì :L1=L2 =const. 3. Ví dụ: Tính giới hạn của hàm số: tại x=-1 4. Bài tập đề nghị: Tính cá