Giáo án Toán 7 - Hình học - Buổi 1: Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị của một biểu thức

Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG môn Đại số 9 Ngày soạn : 03/11/11 Ngày dạy : 08/11/11 Chủ đề 10 cực trị đại số Buổi 1 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị của một biểu thức A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Học sinh biết dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số  Kĩ năng - Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức  Thái độ - Học sinh tích cực giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức - sĩ số II. Kiểm tra bài cũ III. Bài mới I - Các ph−ơng pháp Ph−ơng pháp 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức *) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 x y 2 + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x y+ . H−ớng dẫn: Vì x > 0 và y > 0 nên 1 10; 0; x 0; y 0 x y > > > > Vận dụng BĐT cô-si cho hai số d−ơng 1 1; x y tìm đ−ợc xy 4≥ Tiếp tục vận dụng BĐT cô-si cho hai số d−ơng x và y Ta có: A x y 2 x . y 2 4 4= + ≥ = = Dấu “=” xảy ra  x = y = 4. Vậy Min A = 4  x = y = 4 Ph−ơng pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình ph−ơng biểu thức đó. *) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3x 5 7 3x− + − Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu H−ớng dẫn: ĐKXĐ: 5 7x 3 3 ≤ ≤ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2A 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x 4= − + − + − − ≤ + − + − = Dấu “=” xảy ra  x = 2 Vậy Max A2 = 4 => Max A = 2  x = 2 Ph−ơng pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với cùng một số khác 0 *) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 9A 5x − = H−ớng dẫn: ĐKXĐ: x 9≥ ( )x 9 x 91.3 3x 9 3 2 3 1A 5x 5x 5x 30 − − + − = = ≤ = Dấu “=” xảy ra  x = 18 Vậy Max A = 1 30  x = 18 Ph−ơng pháp 4: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. 1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau *) Bài tập 4: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 3x 16A x + = H−ớng dẫn: 4 4 3 3 3 3x 16 16 x.x.x.16A x x x 4 8 x x x + = = + + + ≥ = Dấu “=” xảy ra  x = 2 Vậy Min A = 8  x = 2 2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một hằng số) *) Bài tập 5: Cho 9x 20 x 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x x < < + − H−ớng dẫn: 9x 9x 9x2 2 x 2 xA = 1 2. . 1 7 2 x x 2 x x 2 x x − −+ = + + ≥ + = − − − Dấu “=” xảy ra  x = 1 2 Vậy Min A = 7  x = 1 2 Ph−ơng pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho *) Bài tập 6: Cho ba số d−ơng x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2yx zP y z z x x y = + + + + + Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG môn Đại số 9 H−ớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số d−ơng 2 y zx và y z 4 + + Ta có 2 y zx + x y z 4 + ≥ + T−ơng tự : 2y z x + y z x 4 + ≥ + và 2 x yz + z x y 4 + ≥ + Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta đ−ợc P 1≥ Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 2 3 Vậy Min P = 1  x = y = z = 2 3 II – Luyện tập *) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 và x + y = 2a (a > 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 1 x y + H−ớng dẫn: 2x yxy a xy a 2 +≤ = => ≤ => 2 x y 2a 2A xy aa + = ≥ = Dấu “=” xảy ra  x = y = a Vậy Min A = 2 a  x = y = a *) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 5 23 x= − + − H−ớng dẫn: ĐKXĐ: 5 x 23≤ ≤ . Max A2 = 36  Max A = 6  x = 14 *) Bài tập 3: Cho x + y = 15, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức B x 4 y 3= − + − H−ớng dẫn: ĐKXĐ: x 4;y 3≥ ≥ ( ) ( ) ( ) ( )2B x 4 y 3 2 x 4 y 3 8 2 x 4 y 3 8 B 8= − + − + − − ≥ + − − ≥ => ≥ Dấu “=” xảy ra  x – 4 = 0 hoặc y - 3 = 0 Nếu x = 4 thì y = 11 và y = 3 thì x = 12 (vì x + y = 15) B 8 MinB 8≥ => = (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12 ; y = 3) Max B2 = 16 => Max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7) *) Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22x 6x 5A 2x − + = (x > 0) H−ớng dẫn: 5A x 3 10 3 2x = + − ≥ − . Dấu “=” xảy ra  1x 10 2 = Vậy Min A = 10 3−  1x 10 2 = *) Bài tập 5: Tỡm giá trị lớn nhất của biểu thức a) A = 3 5 7 3x x− + − b) B = 5 23x x− + − H−ớng dẫn a) ĐKXĐ: 5 3 ≤ x ≤ 7 3 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Ta có: A2 = 3x - 5 + 7 - 3x + 2 (3 5)(7 3 )x x− − = 2 + 2 (3 5)(7 3 )x x− − Áp dụng BĐT Cụ-si ta cú: A2 ≤ 2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4 Dấu = xảy ra ⇔ 3x - 5 = 7 - 3x ⇔ x = 2 Vậy Max A2 = 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2 b) T−ơng tự câu a IV. H−ớng dẫn về nhà - Xem lại các bài đã chữa, giải các bài tập sau: *) Bài tập 1: Cho a, b, x là những số d−ơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( )x a x b P x + + = H−ớng dẫn: ( ) ( )2ab abP x (a b) 2 x. a b a bx x= + + + ≥ + + = + Min P = ( )2a b+  x = ab *) Bài tập 2: Cho x 0≥ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x 2x 17Q 2(x 1) + + = + H−ớng dẫn: ( )2x 1 16 8 8x 1 x 1Q 2 . 4 2(x 1) 2 x 1 2 x 1 + + + + = = + ≥ = + + + Min Q = 4  x = 3 *) Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 6 x 34M x 3 + + = + H−ớng dẫn: ĐKXĐ: x 0≥ ( )2x 3 25 25M x 3 2 25 10 x 3 x 3 + + = = + + ≥ = + + Min M = 10  x = 4 *) Bài tập 4: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x 2000N x + = H−ớng dẫn: 2 2 232000 1000 1000 1000 1000N x x 3 x . . 3.100 300 x x x x x = + = + + ≥ = = Min N = 300  x = 10 *) Bài tập 5: Cho x > 0 và y > 0; x + y 6≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1612P 5x 3y x y = + + + H−ớng dẫn: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG môn Đại số 9 ( ) ( ) 16 1612 12P 2 x y 3x y 12 2 3x. 2 y. 32x y x y = + + + + + ≥ + + =   Min P = 32  x = 2 và y = 4 *) Bài tập 6: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2x 1,2xy y Q x y + + = − H−ớng dẫn: ( )2x y 3,2xy 16Q x y 2 16 8 x y x y − + = = − + ≥ = − − Min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 và y = 1 hoặc x = - 1 và y = - 5) *) Bài tập 7: Cho x > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 25A 4x x 1 = + − H−ớng dẫn: ( ) ( )25 25A 4 x 1 4 2 4 x 1 4 24 x 1 x 1 = − + + ≥ − + = − − Min A = 24  x = 3,5 *) Bài tập 8: Cho 0 < x <1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4B 1 x x = + − H−ớng dẫn: Đặt 4b(1 x)3 3ax4B c 1 x x 1 x x − = + = + + − − Sử dụng ph−ơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đ−ợc a = b = 1; c = 7 Vậy ( ) ( )24 1 x3xB 7 2 31 x x−= + + ≥ +− (theo cô-si) Min B = ( )22 3+  x = ( )23 1− *) Bài tập 8: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = a a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz + zx b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2 2 2x y z+ + H−ớng dẫn: a) 2 2 2 2 2 2x y y z z xxy ;yz ;zx (theo cô-si) 2 2 2 + + +≤ ≤ ≤ => ( ) ( )22 2 2xy yz zx x y z x y z 2 xy yz zx+ + ≤ + + = + + − + + => A 2a 3 ≤ . Max A = 2a 3  x = y = z = a 3 b) ( ) ( ) ( )22 2 2 2B x y z x y z 2 xy yz zx a 2 xy yz zx= + + = + + − + + = − + + B min  (xy + yz +zx ) max  xy + yz +zx = 2a 3 (theo câu a) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Khi đó Min B = 2a ax y z 3 3 = = = *) Bài tập 9: Cho x, y, z là các số d−ơng thỏa mãn điều kiện x + y + z ≥ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yx zP y z x = + + H−ớng dẫn: 22 22 2x yy 2y z 2z xx zP y z x z x y = + + + + + 2 22 4x y x y x .x .y.zx z 4 4x y yzz z + + + ≥ = T−ơng tự 2y y z y z x 4y z x x + + + ≥ ; 2 z x z xz y 4z x y y + + + ≥ Do đó 2P 36≥ => P 6≥ . Min P= 6  x = y = z = 4 *) Bài tập 10: Cho x, y, z là các số d−ơng thỏa mãn điều kiện x + y + z = a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = ( ) ( )a a a1 1 1x y z + + +   H−ớng dẫn: 2 242 x 2 yz 4 x yzx x y za1 x x x x ++ + + + = ≥ ≥ T−ơng tự: 2 242 y 2 xz 4 y xzy y x za1 y y y y ++ + + + = ≥ ≥ ; 244 z yxa1 z z + ≥ Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có ( )4464 xyz Q 64 xyz ≥ = Min Q = 64  x = y = z = a 3 *) Bài tập 11 : Cho a, b, c là các số d−ơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 a 1 b 1 c A 1 a 1 b 1 c + + + = − − − H−ớng dẫn : a b c 1 1 a b c 0+ + = => − = + > . T−ơng tự 1 – b > 0 và 1 – c > 0 Mặt khác 1 + a = 1 + (1- b - c) = 1 – b + 1 – c ( ) ( )2 1 b 1 c≥ − − T−ơng tự : ( ) ( ) ( ) ( )1 b 2 1 a 1 c ;1 c 2 1 a 1 b+ ≥ − − + ≥ − − Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c+ + + ≥ − − − = − − − Vậy 1A 8. Min A = 8 a = b = c = 3 ≥ Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG môn Đại số 9 Ngày soạn : 06/11/11 Ngày dạy : 11/11/11 Chủ đề 10 cực trị đại số Buổi 2 GiảI đề thi A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Học sinh sử dụng thành thạo bất đẳng thức đã học để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức đại số , giải đ−ợc đề thi các huyện, tỉnh, thành phố có liên quan đến cực trị đại số  Kĩ năng - Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức  Thái độ - Học sinh tích cực giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức - sĩ số II. Kiểm tra bài cũ (miễn) III. Bài mới *) Bài tập 1 : Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 - 2012 Cho hai số thực d−ơng x, y thoả mãn: ( ) ( )3 3 2 2 2 2 3 33 4 4 0x y xy x y x y x y x y+ − + + + − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y. H−ớng dẫn: Đặt a = x+y = M; b = xy; 2 4a b≥ Từ giả thiết có: 3 2 2 2 33 3 6 4 4a ab a b b ab b− − + + − = 0 2 2( 2 )( 2 3 ) 0− − + − =a b a ab b b 2 2 2 2 3 0 = ⇔  − + − = a b a ab b b +) Nếu a = 2b Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y)2 4xy≥ nên (x+y)2 2( )x y≥ + 2; " " : 1.⇒ = + ≥ = = =M x y khi x y (*) +) Nếu 2 22 3 0a ab b b− + − = 2 22 ( 3) 0⇔ − + + =b a b a (1) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Giả sử ∆ = (1) có nghiệm b thoả mãn b 2 4 a≤ thì b= 23 2 4 a a+ ≤ 2 2 6 0 1 7;( : 0)a a a Do a⇔ − − ≥ ⇔ ≥ + > và 2 2 3( 3) 8 0 ... ( 3 2 2)( 3 2 2) 0 2 2 1 a a a a a a a+ − ≥ ⇔ ⇔ + + + − ≥ ⇔ ≥ − Vậy a 1 7≥ + (**) Từ (*) và (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1. *) Bài tập 2 : Đề thi vào THPT thành phố Hà Nội năm học 2011 - 2012 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 14x 3x 2011 4x − + + H−ớng dẫn: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1M 4x 3x 2011 3 x x x 2010 4x 4 8x 8x 4 1 1 1 1M 3 x x 2010 2 8x 8x 4 = − + + = − + + + + + + = − + + + + + Áp dụng cụ si cho ba số xx x 8 1 , 8 1 , 2 ta cú 4 3 8 1 . 8 1 .3 8 1 8 1 3 22 =≥++ xx x xx x Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2 mà ( )21x 02− ≥ Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2 Vậy 20112010 4 1 4 30 =+++≥M Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi x = 1/2 *) Bài tập 3 :Đề thi vào THPT tỉnh Hải D−ơng năm học 2011 - 2012, ngày thứ hai Cho ba số x, y, z thoả mãn 0 < x, y, z ≤ 1 và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2(x 1) z − + 2(y 1) x − + 2(z 1) y − H−ớng dẫn: Đặt 1 0; 1 0; 1 0= − ≥ = − ≥ = − ≥a x b y c z 0 , , 1; 2 ; ; 0; 1< ≤ + + = ⇒ ≥ + + =x y z x y z a b c a b c 2 2 2 1 1 1 a b cA c a b ⇒ = + + − − − Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacoxki cho ba cặp số ( )1 ; 1 ; 1 ; ; ; 1 1 1 a b c c a b c a b   − − −   − − −  Ta cú : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 11 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2     = + + ≤ − + − + − + + ⇒ ≤ + + ⇒ ≥    − − − − − −    a b c a b c a b c c a b A c a b c a b Vậy Min 1 1 2 2 3 3 MinA a b c x y z= ⇔ = = = ⇔ = = = Cách khác: Sử dụng ph−ơng pháp điểm rơi trong BĐT Côsi Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG môn Đại số 9 ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1x y zA z x y − − − = + + ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 x y zz x y x y z z x y − − − + + = + + + + + − 22 2 1( 1) ( 1) ( 1) 2 x y z≥ − + − + − − ( theo BĐT Cosi) =1-x+1-y+1-z - 1 2 = 3-(x+y+z) - 1 2 = 1 2 => Min A = 1 2 ⇔ 1 / 2 1 / 2 1 / 2 2 x z z y y x x y z − =  − =  − =  + + = ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 x z z y y x x y z − =  − =  − =  + + = ⇔ 2 3 2 x y z x x y z y z x y z =  = ⇔ = = = =  + + = *) Bài tập 4: Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2011 - 2012 Cho hai số thực dương x, y thoả món 2011 x;y 2012.≤ ≤ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 (x y)(x y )A xy + + = . H−ớng dẫn: 2 2 3 3 2 2 2 2 (x y)(x y ) x y yx xyA xy xy + + + + + = = 2 2 x y xA 1 x yy = + + + đặt x t y= ta cú 2 1A t t 1 A(t) t = + + + = Do 2011 x;y 2012≤ ≤ nờn 2011 2012t2012 2011≤ ≤ (theo t/chất tỉ số) Xột 1 2 2011 2012 t t2012 2011≤ < ≤ ta tớnh A(t1) - A(t2) = ... < 0 Do đú A(t1) < A(t2) . Nờn từ 2011 2011t A( ) A(t)2012 2012≤ ⇒ ≤ 2011 16188554 min A A( )2012 4048144⇒ = = khi 2011 t 2012= Hay x = 2011, y = 2012. *) Bài tập 5 : Đề thi vào THPT tỉnh Bình Định năm học 2011 - 2012 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 x 2x 2011 x − + (với x ≠ 0) H−ớng dẫn: Cỏch 1: Với x ≠ 0 thỡ A = 2 2 2 2 2 2 2 x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011.2011 2010x (x 2.2011x 2011.2011) x 2011x 2011x − + − + + − + = = 2 2 2010 (x 2011) 2010 2011 20112011x − = + ≥ Vậy MinA = 2010 2011 x – 2011 = 0 x = 2011 * Caựch 2: (Duứng kieỏn thửực ủaùi soỏ lụựp 8) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu ( )− + ≠   − ⋅ + ⋅ − ≠      − ⋅ ⋅ + + −      − + ≥ ⇔ ⇔ =    2 2 2 2 2 2 2 x 2x 2011A = vụựi x 0 x 1 1 1 = 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (vụựi t = 0) x x x 1 1 1 = 2011 t 2 t 1 2011 20112011 1 2010 2010 1 = 2011 t daỏu"=" t = x 2011 ; tho 2011 2011 2011 2011   ≠    ừa x 0 2010Vaọy MinA = x = 2011. 2011 ⇔ * Caựch 3: (Duứng kieỏn thửực ủaùi soỏ 9) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x 2x 2011A = vụựi x 0 x A.x x 2x 2011 A 1 x 2x 2011 0 * coi ủaõy laứ phửụng trỡnh aồn x − + ≠ ⇒ = − + ⇔ − + − = 2011Tửứ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1) 2 − ⇔ ⇔ Neỏu A 1 0 thỡ (*) luoõn laứ phửụng trỡnh baọc hai ủoỏi vụựi aồn x.− ≠ x toàn taùi khi phửụng trỡnh (*) coự nghieọm. ( ) / / 2 0 1 2011 A 1 0 2010 b 1 1A daỏu "=" (*) coự nghieọm keựp x = 2011 ; thoừa x 0 (2)20102011 a A 1 1 2011 ⇔ ∆ ≥ ⇔ + − ≥     − − − ⇔ ≥ ⇔ = = = ≠  −  −   So saựnh (1) vaứ (2) thỡ 1 khoõng phaỷi laứ giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa A maứ: 2010MinA = x = 2011. 2011 ⇔ *) Bài tập 6 : Đề thi vào THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 - 2012 Cho a, b là các số d−ơng thỏa mãn: a+b =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = )(2011619 4422 babaab ++++ H−ớng dẫn: ta cú )( 6)(19619 22 22 22 baab abba baab + ++ = + + = )(.2. 2 1 )(3)(16 22 222 baab baba + +++ = )(.2. 2 1 3)(16 22 22 baab ba + ++ (1) ỏp dụng bu nhi a copxky cho hai bộ số : b ; a 1 ; 1 (12+12)(a2+b2) ≥ ( a.1+b.1)2 hay 2 (a2+b2) ≥ ( a+b)2 dấu = khi a =b = 2 1 ⇒16 (a2+b2) ≥ 8.( a+b)2 ta cú a > 0 ; b > 0 nờn ab > 0 ; a2+b2 > 0 ỏp dụng co si ta cú Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG môn Đại số 9 ( )22222 2 2 2 baababba +≥      ++ ⇒ ( )222 4 1 baab +≥ dấu = khi a= b = 2 1 ⇒ )(.2. 2 1 3)(16 22 22 baab ba + ++ ≥ ( ) 222 2 2 2 2 1 38       ++ ++ abba ba = 2 2 1 2 1 38       + = 88 dấu = khi a= b = 2 1 Mà a4 + b4 ≥ 2 1 (a2 + b2)2 dấu = khi a= b = 2 1 tương tự : a2 + b2 ≥ 2 1 (a+ b)2 nờn a4 + b4 ≥ 2 1 ( ) 2 2 2 1     + ba = 8 1 (a+ b)4= 8 1 dấu = khi a= b = 2 1 Vậy T ≥ 88 + 8 1 .2011 khi va chỉ khi khi a= b = 2 1 *) Bài tập 7 : Đề thi vào THPT tỉnh Hải D−ơng năm học 2009 - 2010 Cho x, y thỏa mãn: 3 3x 2 y y 2 x+ − = + − . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = + − + +2 2B x 2xy 2y 2y 10 . H−ớng dẫn: 3 3x 2 y y 2 x+ − = + − (ĐK: x,y 2≥ − ) ⇔ 3 32 2x y y x+ − + = − ( )2 2( )( ) 2 2⇔ − = − − + + + + +x y x y x xy y x y ( )2 2( ) ( ) 2 2 1 0 ⇔ − + + + + + + = x y x xy y x y ( ) 0x y⇔ − = (vì ( )2 2( ) 2 2 1+ + + + + +x xy y x y > 0) ⇔ x = y 2 2B x 2x 10 (x 1) 9 9 x 2⇒ = + + = + + ≥ ∀ ≥ − . Min B = 9 Khi x = y = -1 Cách khác: 3 3x 2 y y 2 x+ − = + −  3 3x 2 x y 2 y (x,y 2)+ + = + + ≥ − 3 3 x 2 y 2 x y VT VP x y  + > + > => => >  > x y VP VT < => x = y thỏa mãn 2 2B x 2x 10 (x 1) 9 9 x 2⇒ = + + = + + ≥ ∀ ≥ − . Min B = 9 Khi x = y = -1 *) Bài tập 8 : Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2009 - 2010, ngày thứ nhất Cho các số d−ơng x, y, z thỏa mãn xyz - 16 0 x y z = + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x+y)(x+z) H−ớng dẫn: Vì xyz - 16 0 x y z = + + => xyz(x+y+z) = 16 P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực d−ơng là x(x+y+z) và yz ta có Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz 816.2)(2 ==++≥ zyxxyz ; dấu đẳng thức xẩy ra khi x(x+y+z) = yz . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 Cách 2: Vì xyz zyx zyx xyz 16016 =++⇒= ++ − P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz = yz yz yz xyz x +=+⋅ 1616 áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực d−ơng là yz 16 và yz ta có P = yz yz + 16 816.2162 ==⋅≥ yz yz ; dấu đẳng thức xẩy ra khi yz yz = 16 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 *) Bài tập 9: Đề thi vào THPT tỉnh Tây Nguyên năm học 2009 - 2010 Cho x, y >0 và x y 1+ ≤ . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1A x y xy = + + H−ớng dẫn: Vỡ a 0, b 0> > ; Ta cú : 2 2 2 2a b 2 a b 2ab+ ≥ = (Bdt Cụ si) 2 2 2a b 2ab 4ab (a b) 4ab⇒ + + ≥ ⇒ + ≥ (a b)(a b) a b 4 a a 4 1 1 44 (*) ab ab a b ab ab a b a b a b + + + ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + ≥ + + + Áp dụng BéT (*) v i a = 2 2x y+ ; b = 2xy ; ta cú: 2 2 2 2 2 1 1 4 4 x y 2xy x y 2xy (x y)+ ≥ =+ + + + (1) Mặt khỏc : 2 2 2 1 1 1 4(x y) 4xy 4xy (x y) xy (x y)+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥+ + (2) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1A . x y xy x y 2xy 2xy x y 2xy 2 xy     ⇒ = + = + + = + +   + + +    2 2 2 2 4 1 4 4 1 6 . . 1(x y) 2 (x y) (x y) 2 (x y)  ≥ + = + = ≥ + + + +  6 [Vì x, y > 0 và 2x y 1 0 (x y) 1+ ≤ ⇒ < + ≤ ] ⇒ minA = 6 khi 1x = y = 2 *) Bài tập 10: Đề thi vào THPT tỉnh Hải D−ơng năm học 2009 - 2010 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: K 2 6 8 1 − = + x x H−ớng dẫn: K 22 6 8 x 8 6 0 (1) 1 − = + + − = + x k x k x +) k=0 . Phương trỡnh (1) cú dạng 8x-6=0  x= 2 3 +) k ≠ 0 thỡ (1) phải cú nghiệm  '∆ = 16 - k (k - 6) ≥ 0 2 8k − ≤ ≤ . Max k = 8 ⇔ x = 1 2 − . Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG môn Đại số 9 Min k = -2 ⇔ x = 2 . Cỏch khỏc: Ta cú: 2 2 2 2 6 8x 2x 2 2x 8x 8K x 1 x 1 − − − + − + = = + + ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2 2 2 x 1 x 1 x 1 − + − − = + = − + ≥ − + + + Vậy Min K = - 2 khi x = 2 ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 8 x 1 2 2x 1 2 2x 16 8x 8x 8 8x 8x 2K 8 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + + + − + − − − = = = − = − + + + + + Vậy K 8≤ => Max K = 8 khi x = 1 2 − *) Bài tập 11 : Đề thi vào THPT tỉnh H−ng Yên năm học 2009 - 2010 Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a2 + 2 2 1 4 + b a = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2009. H−ớng dẫn: Từ 2a2 + 2 4 b + 2 1 a = 4 ⇔ (ab)2 = - 8a4 + 16a2 - 4 = 4 - 8(a4 - 2a2 +1) ≤ 4  -2 ≤ ab ≤ 2  2007 ≤ S ≤ 2011 MinS = 2007 ⇔ ab = -2 và a2 = 1 ⇔ a = ± 1 , b = ∓ 2 IV. H−ớng dẫn về nhà - Xem lại các bài tập đã chữa - Giải tiếp các bài tập sau: *) Bài tập 1 : Đề thi vào THPT tỉnh Hà Tĩnh năm học 2011 - 2012 Cho cỏc số a, b, c đều lớn hơn 25 4 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 5 2 5 2 5 a b cQ b c a = + + − − − . H−ớng dẫn: Do a, b, c > 25 4 (*) nờn suy ra: 2 5 0a − > , 2 5 0b − > , 2 5 0c − > Áp dụng bất đẳng thức Cụ si cho 2 số dương, ta cú: 2 5 2 2 5 a b a b + − ≥ − (1) 2 5 2 2 5 b c b c + − ≥ − (2) 2 5 2 2 5 c a c a + − ≥ − (3) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta cú: 5.3 15Q ≥ = . Dấu “=” xẩy ra 25a b c⇔ = = = (thỏa món điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 25a b c⇔ = = = *) Bài tập 2 : Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011 - 2012 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món điều kiện a + b + c = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P = ab bc ca c ab a bc b ca + + + + + . H−ớng dẫn: Cú: ( ) 21 .a b c c a b c c ac bc c+ + = ⇒ = + + = + + ⇒ 2 ( ) ( )c ab ac bc c ab a c b c b c+ = + + + = + + + = ( )( )c a c b+ + ⇒ ( )( ) 2 a b ab ab c a c b c ab c a c b + + + = ≤ + + + Tương tự: ( )( )( )( ) a bc a b a c b ca b c b a + = + + + = + + ;( )( ) 2 ( )( ) 2 + + + + + +⇒ = ≤ = ≤ + + + + + + b c c a bc bc ca caa b a c b c b a a bc a b a c b ca b c b a ⇒ P ≤ 2 a b b c c a c a c b a b a c b c b a + + + + + + + + + + + = 2 a c c b b a a c c b b a + + + + + + + + = 3 2 Dấu “=” xảy ra khi 1 3 a b c= = = Từ đú giỏ trị lớn nhất của P là 3 2 đạt được khi và chỉ khi 1 3 a b c= = = *) Bài tập 3 : Đề thi vào THPT tỉnh Hòa Bình năm học 2010 - 2011 Cho x, y > 0 và 2 2 8x y+ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1A x y = + H−ớng dẫn: x,y > 0 Theo BĐT Cosi và kết hợp với đề bài ta có: 2 22 8 4xy x y xy≤ + ≤ ⇒ ≤ áp dụng BDT Cosi với hai số: 1 1 , x y ta có: 1 1 2 x y xy + ≥ mà: 4xy ≤ Nên: 1 1 1 x y + ≥ . Vậy Amin = 1 1 1 1 2 2 x y x y ⇔ = = ⇔ = = *) Bài tập 4 : Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2010 - 2011 Cho hai số thực dương x, y thỏa món 4xy = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 22 2 12x y xy x y + + + H−ớng dẫn: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG môn Đại số 9 Ta cú A = 22 2 2 2 22 ( ) 2 32 2 3.4 2 2 3 2.( ) 4 3x y xyx y xy x y x y xy x y x y x y x y  + − ++ + + + + − +  = = = + + + + 22 2 2 22. ( ) 12.( ) 1 3 2.( ) 1 3 2.( ) 2 2( ) 2x yx y x y x y x y x y x y x y x y x y  + ++ − + + − + + + + +  = = = = = + + + + + 22( )x y x y = + + + = 12 ( )x y x y   + + +  Xột 1( )x y x y + + + Áp dụng Cosi cho 2 số (x+y) và ( 1 x y+ ) ta cú: (x+y) + ( 1 x y+ ) ≥ 2 ( ) 1x y .( ) x y + + = 2 Do đú: A = 12 ( )x y x y   + + +  ≥ 4 Vậy Min A = 4  (x+y) = ( 1 x y+  (x+y)2 =1 x + y = ±1 Kết hợp với điều kiện 4xy = 1 ta được x = y = - 1 2 ; x = y = 1 2 *) Bài tập 5 : Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 - 2011 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 5 H−ớng dẫn: Tr−ớc hết chứng minh bất đẳng thức bunhia-côp-xki ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2am bn a b m n+ ≤ + + ; đẳng thức xảy ra  a bm n= Chứng minh bằng cách biến đổi t−ơng đ−ơng áp dụng: ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 A (2x 3y) 2 x 2 3 y 3 2x 3y 2 3 5.5 25 3 y2 xA 25 x y 2 3   = + = + ≤ + + = =    = = = Do 2A 25 nên - 5 A 5≤ ≤ ≤ MinA = - 5  x y x y 1 2x 3y 5 = = = − + = − MaxA = 5  x y x y 1 2x 3y 5 = = = + = Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu *) Bài tập 6 : Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 1 4y x x yM xy − + − = H−ớng dẫn: Với điều kiện 1, 4x y≥ ≥ ta cú: M = 41 yx x y −− + Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số khụng õm, Ta cú: ( ) 1 11 1 1 2 2 x x x x + − − = − ≤ = 1 1 2 x x − ⇒ ≤ (vỡ x dương) Và: ( )1 1 4 44 4 4 2 2 2 4 y yy y + −− = − ≤ ⋅ = 4 1 4 y y − ⇒ ≤ (vỡ y dương) Suy ra: M = 41 1 1 3 2 4 4 yx x y −− + ≤ + = Vậy giỏ trị lớn nhất của M là 3 4 ⇔ x = 2, y = 8 *) Bài tập 7 : Cho P x 2 xy 3y 2 x 1= − + − + . Tìm giá trị nhỏ nhất của P H−ớng dẫn: ĐK x; y 0≥ P x 2 xy y 1 2 x 2 y 2 y 2y= − + + − + − + 2P ( x y) 1 2( x y ) 2 y 2y= − + − − − + 2 21 1P ( x y 1) (2 y 1) 2 2 = − − + − − 1 1 9 P y ; x 2 4 4 ≥ − ⇔ = = *) Bài tập 8 : Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện 1 mn 2 = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 m n m nP . m n m n + = + + H−ớng dẫn: b) Từ ( )22 2m n 2mn m n 0+ − = − ≥ và giả thiết suy ra 2 2m n 2mn 1+ ≥ = . Do đó ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 m nm n m n m n m nP . m n m n 16m n m n 16m n + + + = + = + +  + +  áp dụng BĐT a b 2 ab+ ≥ với a, b không âm, đấu đẳng thức có khi a = b, ta có: 1 15 17P 2 4 4 ≥ + = . Kết luận: min 17P 4 = , đạt đ−ợc khi 1m n 2 = = . *) Bài tập 9 : Tỡm GTLN của : a) A x 1 y 2= − + − biết x + y = 4 H−ớng dẫn: Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phộp làm giảm