Giáo án Toán 8 - Bài: Các phép tính với đa thức nhiều biến

CÁC PHẫP TÍNH VỚI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1/ Cộng hai đa thức nhiều biến. Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta cú thể làm như sau: • Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang ; • Nhúm cỏc đơn thức đồng dạng với nhau; • Thực hiện phộp tớnh theo trong từng nhúm , ta được tổng cần tỡm. 2/ Trừ hai đa thức nhiều biến. Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta cú thể làm như sau: • Viết hiệu P - Q theo hàng ngang, trong đú đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc; • Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu một đơn thức của đa thức Q, nhúm cỏc đơn thức đồng dạng với nhau; Thực hiện phộp tớnh trong từng nhúm, ta được hiệu cần tỡm. 3/ Nhõn hai đa thức nhiều biến. a/ Nhõn hai đơn thức: Tương tự như đối với đơn thức một biến, để nhõn hai đơn thức nhiều biến ta cú thể làm như sau: • Nhõn cỏc hệ số với nhau và nhõn cỏc phần biến với nhau; • Thu gon đơn thức nhận được ở tớch . b/ Nhõn đơn thức với đa thức: Tương tự như trường hợp một biến, ta cú quy tắc sau: Muốn nhõn một đơn thức với một đa thức, ta nhõn đơn thức đú với từng đơn thức của đa thức rồi cộng cỏc kết quả với nhau. c/ Nhõn hai đa thức: Muốn nhõn một đa thức với một đa thức, ta nhõn mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng cỏc kết quả với nhau. 1 4/ Nhõn hai đa thức nhiều biến. a/ Phộp chia hết một đơn thức cho một đơn thức Đơn thức A chia hết cho đơn thức B ( B 0 ) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ khụng lớn hơn số mũ của nú trong A. Quy tắc : Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta cú thể làm như sau : - Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B - Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cựng biến đú trong B. - Nhõn cỏc kết quả vừa tỡm được với nhau. b/ Phộp chia hết một đa thức cho một đơn thức Đa thức A chia hết cho đơn thức ( B 0 ) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B. Quy tắc : Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ( trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi đơn thức của A cho B rồi cộng cỏc kết quả với nhau. -------------------------------------------- 2 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1: Tớnh tổng (hay hiệu) đa thức nhiều biến. Vớ dụ 1. Tớnh tổng A B và hiệu A B của hai đa thức A , B trong cỏc trường hợp sau: a) A x 2y và B x 2y . b) A 2x2y x3 xy2 1 và B x3 2xy2 2 . c) A x2 2yz z2 và B 3yz 5x2 z2 . 1 5 7 1 d) A x 2y xy3 x 3y 2 x 3 và B x 3y 2 x 2y xy3 . 2 2 2 2 Bài giải a) A B (x 2y) (x 2y) x 2y x 2y (x x) (2y 2y) 2x A B (x 2y) (x 2y) x 2y x 2y (x x) (2y 2y) 4y b) A B (2x 2y x 3 xy 2 1) (x 3 2xy 2 2) 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2x y x xy 1 x 2xy 2 2x y ( xy ) 2xy ( x ) x (1 2) 2x 2y xy 2 1 A B (2x 2y x 3 xy 2 1) (x 3 2xy 2 2) 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2x y x xy 1 x 2xy 2 2x y ( xy ) 2xy ( x ) x (1 2) 2x 2y 3xy 2 2x 3 3 c) A B (x 2 2yz z2 ) (3yz 5x 2 z2 ) x 2 2yz z2 3yz 5x 2 z2 2 2 2 2 2 (x 5x ) ( 2yz) 3yz (z z ) 6x yz A B (x 2 2yz z2 ) (3yz 5x 2 z2 ) x 2 2yz z2 3yz 5x 2 z2 2 2 2 2 2 2 (x 5x ) ( 2yz) 3yz (z z ) 4x 5yz 2z 3 d) 1 2 3 5 3 2 3 7 3 2 1 2 3 A B x y xy x y x x y x y xy 2 2 2 2 1 5 7 1 x 2y xy3 x 3y 2 x 3 x 3y 2 x 2y xy3 2 2 2 2 5 3 2 7 3 2 3 3 1 2 1 2 3 x y x y xy xy x y x y x 2 2 2 2 x 3y 2 2xy3 x 3 1 2 3 5 3 2 3 7 3 2 1 2 3 A B x y xy x y x x y x y xy 2 2 2 2 1 5 7 1 x 2y xy3 x 3y 2 x 3 x 3y 2 x 2y xy3 2 2 2 2 5 3 2 7 3 2 3 3 1 2 1 2 3 x y x y xy xy x y x y x 2 2 2 2 6x 3y 2 x 2y x 3 Vớ dụ 2. Thực hiện phộp tớnh sau: A (x2 y2 2xy) (x2 2xy y2) . 1 2 2 1 B xy 3xy (2xy 3xy) xy . 2 2 Bài giải A (x 2 y 2 2xy) (x 2 2xy y 2 ) x 2 y 2 2xy x 2 2xy y 2 2 2 2 2 2 2 (x x ) (y y ) ( 2xy) 2xy 2x 2y 1 2 2 1 1 2 2 1 B xy 3xy (2xy 3xy) xy xy 3xy 2xy 3xy xy 2 2 2 2 1 1 7 1 2 2 2 xy 3xy ( 3xy ) 2xy xy xy xy xy 2 2 2 2 Vớ dụ 3. Cho cỏc đa thức M 3x3 x2y 2xy 3; N x2y 2xy 2 và P 3x3 2x2y xy 3. Tớnh: a) M N . b) M P . c) M 2P . d) M N P . 4 Bài giải a/ 3 2 2 2 2 3 M N (3x x y 2xy 3) (x y 2xy 2) ( x y) (x y) (2xy 2xy) 3x (3 2) 3x 3 1 b/ M P (3x 3 x 2y 2xy 3) (3x 3 2x 2y xy 3) 3x 3 x 2y 2xy 3 3x 3 2x 2y xy 3 3 3 2 2 2 3x 3x ( x y) 2x y (2xy xy) (3 3) x y 3xy c/ M 2P (3x 3 x 2y 2xy 3) 2(3x 3 2x 2y xy 3) 3x 3 x 2y 2xy 3 6x 3 4x 2y 2xy 6 3 3 2 2 3 2 (3x 6x ) ( x y) 4x y (2xy 2xy) (3 6) 9x 5x y 9 d/ M (3x 3 x 2y 2xy 3) (x 2y 2xy 2) (3x 3 2x 2y xy 3) 3x 3 x 2y 2xy 3 x 2y 2xy 2 3x 3 2x 2y xy 3 3 3 2 2 2 (3x 3x ) ( x y) x y 2x y (2xy 2xy xy) (3 2 3) 6x 3 2x 2y xy 4 Dạng 2: Tỡm đa thức thỏa món đẳng thức cho trước Vớ dụ 4. Tỡm đa thức A , B biết: a) A x2 y2 x2 2y2 3xy 2 . b) B (5x2 2xyz) 2x2 2xyz 1. Bài giải a/ A x 2 y 2 x 2 2y 2 3xy 2 A x 2 2y 2 3xy 2 (x 2 y 2 ) x 2 2y 2 3xy 2 x 2 y 2 2 2 2 2 2 (x x ) ( 2y ) y 3xy 2 3y 3xy 2 b/ B (5x 2 2xyz) 2x 2 2xyz 1 B (2x 2 2xyz 1) (5x 2 2xyz) 2x 2 2xyz 1 5x 2 2xyz (2x 2 5x 2 ) (2xyz 2xyz) 1 7x 2 1 5 Vớ dụ 5. Cho cỏc đa thức A 4x2 3y2 5xy ; B 3x2 2y2 2x2y2 . Tỡm đa thức C sao cho: a) C A B . b) C A B . Bài giải a/ C A B (4x 2 3y 2 5xy) (3x 2 2y 2 2x 2y 2 ) 2x 2y 2 5xy (4x 2 3x 2 ) (3y 2 2y 2 ) 2x 2y 2 5xy 7x 2 5y 2 b/ C B A 3x 2 2y 2 2x 2y 2 (4x 2 3y 2 5xy) 3x 2 2y 2 2x 2y 2 4x 2 3y 2 5xy 2x 2y 2 5xy (3x 2 4x 2 ) (2y 2 3y 2 ) 2x 2y 2 5xy x 2 y 2 Dạng 3: Thực hiện phộp tớnh nhõn đơn thức với đa thức ▪ Quy tắc: A(B + C ) = AB + AC (với A, B, C là cỏc đơn thức). Vớ dụ 6. Làm tớnh nhõn ổ ử ổ ử 3 2 3 ỗ1 ữ 2 ỗ 2 2 1 3ữ a) M = (2x y).(x - 2y + 1) b) N = (2xy - 4y - 8x) ìỗ yữ c) P = x y ìỗxy - x - y ữ ốỗ2 ứữ ốỗ 2 ứữ Bài giải a/ M = (2x 3y).(x 2 - 2y + 1) = 2x 3y.x 2 + 2x 3y.(- 2y) + 2x 3y.1 = 2x 5y - 4x 3y2 + 2x 3y b/ ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử 3 ỗ1 ữ 3 ỗ1 ữ ỗ1 ữ ỗ1 ữ 4 2 N = (2xy - 4y - 8x) ìỗ yữ= 2xy .ỗ yữ+ (- 4y).ỗ yữ+ (- 8x).ỗ yữ= xy - 2y - 4xy ốỗ2 ứữ ốỗ2 ứữ ốỗ2 ứữ ốỗ2 ứữ c/ ổ ử ổ ử 2 ỗ 2 2 1 3ữ 2 2 2 2 2 ỗ- 1 3ữ 3 3 4 1 2 4 P = x y ìỗxy - x - y ữ= x y.(xy ) + x y.(- x ) + x y.ỗ y ữ= x y - x y - x y ốỗ 2 ứữ ốỗ 2 ứữ 2 ổ ử2 ỗ 1 2 ữ 2 2 Vớ dụ 7. Nhõn đơn thức A với đa thức B biết rằng A = ỗ- x yữ và B = 4x + 4xy - 3. ốỗ 2 ứữ 6 Bài giải ổ ử2 ổ ử ỗ 1 2 ữ 2 2 ỗ1 4 2ữ 2 2 A.B = ỗ- x yữ .(4x + 4xy - 3) = ỗ x y ữ.(4x + 4xy - 3) ốỗ 2 ứữ ốỗ4 ứữ ổ ử ổ ử ổ ử ỗ1 4 2ữ 2 ỗ1 4 2ữ 2 ỗ1 4 2ữ 6 2 5 4 3 4 2 = ỗ x y ữ.4x + ỗ x y ữ.4xy + ỗ x y ữ.(- 3) = x y + x y - x y ốỗ4 ứữ ốỗ4 ứữ ốỗ4 ứữ 4 Dạng 4: Thực hiện phộp tớnh nhõn đa thức với đa thức ▪ Sử dụng quy tắc: (A + B)(C + D) = A ìC + A ìD + B ìC + B ìD Vớ dụ 8. Thực hiện phộp nhõn a) (x + y)(x2y - x); b) (x + 2y)(x2 - 2y + 4z) ; c) (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2). Bài giải a/ (x + y)(x 2y - x) = x.x 2y + x.(- x) + y.x 2y + y.(- x) = x 3y - x 2 + x 2y2 - xy (x + 2y)(x 2 - 2y + 4z) = xx 2 + x.(- 2y) + x.4z + 2y.x 2 + 2y.(- y) + 2y.4z b/ = x 3 - 2xy + 4xz + 2x 2y - 2y2 + 8yz Vớ dụ 9. Rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị của biểu thức ổ ửổ ử ỗ 1 ữỗ 1 ữ - 1 a) M = ỗ2x - yữỗ2x + yữ tại x = và y = 4 ốỗ 2 ứữốỗ 2 ứữ 2 1 b) N = (2x - y2)(4x2 + 2xy2 + y4) tại x = và y = 2. 2 Bài giải: a/ ổ ửổ ử ổ ử ổ ử ỗ 1 ữỗ 1 ữ 1 ỗ- 1 ữ ỗ- 1 ữ 1 M = ỗ2x - yữỗ2x + yữ= 2x.2x + 2x. y + ỗ yữ.2x + ỗ yữ. y ốỗ 2 ứữốỗ 2 ứữ 2 ốỗ 2 ứữ ốỗ 2 ứữ 2 1 1 = 4x 2 + xy - xy - y2 = 4x 2 - y2 4 4 ổ ử2 - 1 2 1 2 ỗ- 1ữ 1 2 Thay x = và y = 4 vào 4x - y ta được : 4.ỗ ữ - .(4) = 1- 4 = - 3 2 4 ốỗ 2 ứữ 4 b/ N = (2x - y2)(4x 2 + 2xy2 + y 4) = 2x.4x 2 + 2x.2xy2 + 2x.y 4 + (- y2).4x 2 + (- y2).2xy2 + (- y2).y 4 = 8x 3 + 4x 2y2 + 2xy 4 - 4x 2y2 - 2xy 4 - y6 = 8x 3 - y6 7 3 ổử 6 1 3 6 3 6 ỗ1ữ Thay x = và y = 2 vào 8x - y ta được : 8x - y = 8.ỗ ữ - (2) = 1- 64 = - 63 2 ốỗ2ứữ Dạng 5: Thực hiện phộp tớnh chia đơn thức với đa thức Vớ dụ 10: Làm phộp tớnh chia: a) x5 : x3 . b) 18x7 :6x4 . c) 8x6 y 7 z 2 : 4x 4 y 7 . d) 65x9 y5 : 13x4 y4 . 27 9 e) x3 yz5 : xz2 . 15 5 Bài giải: a) x5 : x3 x2 . b) 18x7 :6x4 3x3 . c) 8x6 y 7 z 2 : 4x 4 y 7 2x 2 z 2 . d) 65x9 y5 : 13x4 y4 5x5 y . 27 9 e) x3 yz5 : xz2 x2 yz2 . 15 5 Dạng 6: Thực hiện phộp tớnh chia đa thức với đa thức Vớ dụ 11: Làm phộp tớnh chia: 3 2 4 3 2 2 3 2 5 4 1 4 2 3 3 2 1 2 a) x 12x 5x : x b) 3x y 9x y 15xy : xy c) 5x y z x y z 2xy z : xy z 2 4 Bài giải: a) x3 12x2 5x : x x2 12x 5. b) 3x4 y3 9x2 y2 25xy3 : xy2 3x3 y 9x 25y 5 4 1 4 2 3 3 2 1 2 4 2 3 2 c) 5x y z x y z 2xy z : xy z 20x y 2x z 8yz 2 4 8 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tớnh tổng cỏc đa thức a) A x2 y x3 xy2 3 và B x3 xy2 xy 6. ổ ử ổ ử ỗ1 1 ữ ỗ1 1 ữ b) C = ỗ a - bữ- (a + 2b); và D = ỗ a + bữ- (a - b). ốỗ3 3 ứữ ốỗ3 3 ứữ Bài giải: a) A B (x2 y x3 xy2 3) (x3 xy2 xy 6) 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 x y x xy 3 x xy xy 6 (x x ) ( xy ) xy x y xy (3 6) 2x3 x2 y xy 3 b) ổ1 1 ử ộổ1 1 ử ự C + D = ỗ a - bữ- (a + 2b) + ờỗ a + bữ- (a - b)ỳ ỗ ữ ờỗ ữ ỳ ố3 3 ứ ởờố3 3 ứ ỷỳ 1 1 1 1 = a - b - a - 2b + a + b - a + b 3 3 3 3 ổ ử ổ ử ỗ1 1 ữ ỗ- 1 1 ữ = ỗ a + aữ+ ỗ b + bữ+ (- a - a)+ (- 2b + b) ốỗ3 3 ứữ ốỗ 3 3 ứữ 2 = a - 2a - b 3 Bài 2: Cho hai đa thức: 2 và 2 M 3xyz 3x 5xy 1; N 5x xyz 5xy 3 y. Tớnh M N; N M . Bài giải: M N 3xyz 3x2 5xy 1 5x2 xyz 5xy 3 y 3xyz 3x2 5xy 1 5x2 xyz 5xy 3 y (3xyz xyz) ( 3x2 5x2 ) (5xy 5xy) y ( 1 3) 2xyz 8x2 10xy y 4 N M (M N) (2xyz 8x2 10xy y 4) 2xyz 8x2 10xy y 4 Bài 3: Cho cỏc đa thức : A = 5x 3y - 4xy2 - 6x 2y2 ; B = - 8xy3 + xy2 - 4x2y2 C = x3 + 4x3y - 6xy3 - 4xy2 + 5x2y2 Hóy tớnh: a) A B C b) B A C c) C A B Bài giải: A - B - C = (5x3y - 4xy2 - 6x2y2) - (- 8xy3 + xy2 - 4x2y2) - (x3 + 4x3y - 6xy3 - 4xy2 + 5x2y2) a) = 5x3y - 4xy2 - 6x2y2 + 8xy3 - xy2 + 4x2y2 - x3 - 4x3y + 6xy3 + 4xy2 - 5x2y2 9 3 2 2 2 3 3 = x y - xy - 7x y + 14xy - x 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 b) B + A - C = (- 8xy + xy - 4x y ) + (5x y - 4xy - 6x y ) - (x + 4x y - 6xy - 4xy + 5x y ) = - 8xy3 + xy2 - 4x2y2 + 5x3y - 4xy2 - 6x2y2 - x3 - 4x3y + 6xy3 + 4xy2 - 5x2y2 3 2 2 2 3 3 = - 2xy + xy - 15x y + x y - x 3 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 c) C - A - B = (x + 4x y - 6xy - 4xy + 5x y ) - (5x y - 4xy - 6x y ) - (- 8xy + xy - 4x y ) = x3 + 4x3y - 6xy3 - 4xy2 + 5x2y2 - 5x3y + 4xy2 + 6x2y2 + 8xy3 - xy2 + 4x2y2 3 3 3 2 2 2 = x - x y + 2xy - xy + 15x y Bài 4: Cho đa thức M = ax2 + by2 + cxy (x,y là biến). Tỡm a,b,c biết: Khi x = 0,y = 1 thỡ M = - 3. Khi x = - 2,y = 0 thỡ M = 8. Khi x = 1,y = - 1 thỡ M = 0. Bài giải: Khi x = 0; y = 1; M = - 3 thỡ: - 3 = a.02 + b.12 + c.0.1 ị b = - 3. 2 Khi x = - 2; y = 0; M = 8 thỡ: 8 = a.(- 2) + b.02 + c.(- 2).0 Û 4a = 8 Û a = 2. 2 Khi x = 1; y = - 1; M = 0 thỡ: 0 = 2.12 + (- 3).(- 1) + c.1.(- 1) đ c = - 1. 2 2 Vậy M = 2x - 3y - xy. Bài 5: Tỡm đa thức M biết: a) (6x2 - 3xy2)+ M = x 2 + y2 - 2xy2; b) M - (2xy - 4y2) = 5xy + x 2 - 7y2. Bài giải: a/ (6x2 - 3xy2)+ M = x 2 + y2 - 2xy2 M = (x 2 + y2 - 2xy2) - (6x2 - 3xy2) = x 2 + y2 - 2xy2 - 6x2 + 3xy2 = (x 2 - 6x 2) + y2 + (- 2xy2 + 3xy2) = - 5x 2 + y2 + xy2 b/ M - (2xy - 4y2) = 5xy + x 2 - 7y2 M = (5xy + x 2 - 7y2) + (2xy - 4y2) = 5xy + x 2 - 7y2 + 2xy - 4y2 = x 2 + (- 7y2 - 4y2) + (5xy + 2xy) = x 2 - 11y2 + 7xy Bài 6: Thực hiện phộp tớnh ổ ử ổ ử 2 2 ỗ 3 2 2 3 1 5ữ 1 3 2 2 2 ỗ 2 2 2 2ữ 3 a) 2x y ỗx y - x y - y ữ b) - xy(3x y - 6x + y ) c) ỗ- 2xy + y + 4xy ữì xy . ốỗ 2 ứữ 3 ốỗ 3 ứữ 2 ổ ử 2 1 2 ỗ 3 2 2 ữ 2 2 2 d) (x + 2xy - 3)(- xy) e) x y ỗ2x - xy - 1ữ f) (- xy ) ì(x - 2x + 1) . 2 ốỗ 5 ứữ 10 Bài giải: a/ ổ ử ổ ử 2 2 ỗ 3 2 2 3 1 5ữ 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 ỗ- 1 5ữ 2x y ỗx y - x y - y ữ= 2x y .x y + 2x y .(- x y ) + 2x y .ỗ y ữ ốỗ 2 ứữ ốỗ 2 ứữ = 2x 5y 4 - 2x 4y5 - x 2y7 b/ ổ ử ổ ử ổ ử 1 3 2 2 2 ỗ- 1 ữ 3 2 ỗ- 1 ữ 2 ỗ- 1 ữ 2 - xy(3x y - 6x + y ) = ỗ xyữ.(3x y )+ ỗ xyữ.(- 6x )+ ỗ xyữ.y 3 ốỗ 3 ứữ ốỗ 3 ứữ ốỗ 3 ứữ 1 = - x 4y 3 + 2x 3y - xy 3 3 c/ ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ỗ 2 2 2 2ữ 3 ỗ3 ữ 2 ỗ3 ữ ỗ2 2ữ ỗ3 ữ 2 ỗ- 2xy + y + 4xy ữì xy = ỗ xyữ.(- 2xy )+ ỗ xyữ.ỗ y ữ+ ỗ xyữ.4xy ốỗ 3 ứữ 2 ốỗ2 ứữ ốỗ2 ứữ ốỗ3 ứữ ốỗ2 ứữ = - 3x 2y 3 + xy 3 + 6x 2y 3 d/ (x 2 + 2xy - 3)(- xy) = (- xy).x 2 + (- xy).2xy + (- xy).(- 3) = - x 3y - 2x 2y2 + 3xy e/ ổ ử ổ ử 1 2 ỗ 3 2 2 ữ 1 2 3 1 2 ỗ- 2 2ữ 1 2 x y ỗ2x - xy - 1ữ= x y.2x + x y.ỗ xy ữ+ x y.(- 1) 2 ốỗ 5 ứữ 2 2 ốỗ 5 ứữ 2 1 1 = x 5y - x 3y 3 - x 2y 5 2 f/ (- xy2)2 ì(x 2 - 2x + 1) = x 2y 4.(x 2 - 2x + 1) = x 2y 4.x 2 + x 2y 4.(- 2x) + x 2y 4.1 = x 4y 4 - 2x 3y 4 + x 2y 4 Bài 7: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau a) A = x2(x - y2) - xy(1- yx) - x3 b) B = x(x + 3y + 1) - 2y(x - 1) - (y + x + 1)x 11 Bài giải: a/ A = x 2(x - y2) - xy(1- yx) - x 3 = x 2.x + x 2.(- y2) + (- xy).1+ (- xy).(- yx) = x 3 - x 2y2 - xy + x 2y2 = x 3 - xy b/ B = x(x + 3y + 1) - 2y(x - 1) - (y + x + 1)x = x.x + x.3y + x.1+ (- 2y).x + (- 2y).(- 1) + (- x).y + (- x).x + (- x).1 = x2 + 3xy + x - 2xy + 2y - xy - x2 - x = (x2 - x2) + (3xy - 2xy - xy) + (x - x) + 2y = 2y Bài 8: Rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị biểu thức 1 1 a) P = x(x2 - y) + y(x - y2) tại x = - và y = - ; 2 2 b) Q = x2(y3 - xy2) + (- y + x + 1)x2y2 tại x = - 10 và y = - 10. Bài giải: a/ P = x(x 2 - y) + y(x - y2) = x.x 2 + x.(- y) + y.x + y.(y2) = x 3 - xy + xy + y 3 = x 3 + y 3 1 1 Thay x = - và y = - vào P ta được : 2 2 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 8 8 8 4 b/ Q = x 2(y 3 - xy2) + (- y + x + 1)x 2y2 = x 2.y 3 - x 2.xy2 + x 2y2.(- y)+ x 2y2.x + x 2y2.1 = x 2y 3 - x 3y2 - x 2y 3 + x 3y2 + x 2y2 = x 2y2 Thay x = - 10 và y = - 10 vào Q ta được : 10 2 . 10 2 100.100 10000 12 Bài 9: Chứng tỏ rằng giỏ trị của cỏc biểu thức sau khụng phụ thuộc vào giỏ trị của biến x a) P = x(3x + 2) - x(x2 + 3x) + x3 - 2x + 3; ổ ử ỗ1 1 ữ b) Q = x(2x - 3) + 6x ỗ - xữ+ 1. ốỗ2 3 ứữ Bài giải: a/ P = x(3x + 2) - x(x 2 + 3x) + x 3 - 2x + 3 = x.3x + x.2 - x.x 2 - x.3x + x 3 - 2x + 3 = 3x 2 + 2x - x 3 - 3x 2 + x 3 - 2x + 3 = 3 Vậy giỏ trị của cỏc biểu thức sau khụng phụ thuộc vào giỏ trị của biến x . b/ ổ ử ổ ử ỗ1 1 ữ 1 ỗ- 1 ữ Q = x(2x - 3) + 6x ỗ - xữ+ 1 = x.2x + x.(- 3) + 6x. + 6x.ỗ xữ ốỗ2 3 ứữ 2 ốỗ 3 ứữ = 2x 2 - 3x + 3x - 2x 2 = 0 Vậy giỏ trị của cỏc biểu thức sau khụng phụ thuộc vào giỏ trị của biến x . Bài 10: Nhõn cỏc đa thức sau ổ ửổ ử 2 ỗ 2 1 ữỗ 2 1 ữ a) (2xy + 3)(x - 2y); b) (xy + 2y)(x y - 2xy + 4); c) 4ỗx - yữỗx + yữ. ốỗ 2 ứữốỗ 2 ứữ Bài giải: a) (2xy + 3)(x - 2y) = 2xy.x + 2xy.(- 2y) + 3.x + 3.(- 2y) = 2x 2y - 4xy2 + 3x - 6y b) (xy + 2y)(x2y - 2xy + 4) = xy.x2y + xy.(- 2xy) + xy.4 + 2y.x2y + 2y.(- 2xy) + 2y.4 = x3y2 - 2x2y2 + 4xy + 2x2y2 - 4xy2 + 8y = x3y2 + 4xy - 4xy2 + 8y Bài 11: Chứng minh rằng với mọi x,y ta luụn cú (xy + 1)(x2y2 - xy + 1) + (x3 - 1)(1- y3) = x3 + y3 . 13 Bài giải: VT = (xy + 1)(x 2y2 - xy + 1) + (x 3 - 1)(1- y 3) = (xy.x 2y2 - xy.xy + xy.1+ 1.x 2y2 - 1.xy + 1.1) + (x 3.1- x 3y 3 - 1.1+ 1.y 3) = x 3y 3 - x 2y + xy + x 2y2 - xy + 1+ x 3 - x 3y 3 - 1+ y 3 = x 3 + y 3 = VP Bài 12: Cho biểu thức Q = (2n - 1)(2n + 3) - (4n - 5)(n + 1) + 3. Chứng minh Q luụn chia hết cho 5 với mọi số nguyờn n . Bài giải: Q = (2n - 1)(2n + 3) - (4n - 5)(n + 1) + 3 = (4n2+ 6n - 2n - 3) - (4n2 + 4n - 5n - 5) + 3 = 4n2+ 6n - 2n - 3- 4n2 - 4n + 5n + 5+ 3 = 5n + 5M5, " n ẻ Â Bài 13: Làm tớnh chia: a) (x8y8 + 2x5y5 + 7x3y3) : (- x2y2) ; ổ ử ỗ 5 3 3 5 3 3 3ữ 2 b) ỗ2x y - 5x y + x y ữ: xy ; ốỗ 4 ứữ 3 c) (9x2y4z - 12x3y2z4 - 4xy3z2) : xyz. Bài giải: a) (x8y8 + 2x5y5 + 7x3y3) : (- x2y2) = x8y8 : (- x2y2) + 2x5y5 : (- x2y2) + 7x3y3 : (- x2y2) = - x6y6 - 2x3y3 - 7xy b) ổ ử ỗ 5 3 3 5 3 3 3ữ 2 ỗ2x y - 5x y + x y ữ: xy ốỗ 4 ứữ 3 ổ ử ổ ử ổ ử ỗ 5 3 2 ữ ỗ 3 5 2 ữ ỗ3 3 3 2 ữ = ỗ2x y : xyữ+ ỗ- 5x y : xyữ+ ỗ x y : xyữ ốỗ 3 ứữ ốỗ 3 ứữ ốỗ4 3 ứữ 15 9 = 3x 4y2 - x 2y 4 + x 2y2 2 8 14 c) (9x2y4z - 12x3y2z4 - 4xy3z2) : xyz = (9x2y4z : xyz) + (- 12x3y2z4 : xyz) + (- 4xy3z2 : xyz) = 9xy3 - 12x2yz3 - 4y2z Bài 14: Tớnh giỏ trị biểu thức: a) A 15x5 y3 10x3 y2 20x4 y4 : 5x2 y2 tại x 1; y 2. 2 2 b) B 2x2 y 3x4 y3 6x3 y2 : xy tại x y 2. 2 1 c) C 2x2 y2 4xy 6xy3 : xy tại x ; y 4. 3 2 1 2 5 2 5 2 2 2 d) D x y x y : 2x y tại x 3; y 3. 3 3 e) E 20x5 y4 10x3 y2 5x2 y3 :5x2 y tại x 1; y 1. f) G 7x5 y4 z3 3x4 yz2 2x2 y2 z : x2 yz tại x 1; y 1;z 2 . Bài giải: a) A 15x5 y3 10x3 y2 20x4 y4 : 5x2 y2 15x5 y3 : 5x2 y2 10x3 y2 : 5x2 y2 20x4 y4 : 5x2 y2 3x3 y 2x 4x2 y2 (*) Thay x 1; y 2 vào (*) ta được : 3.( 1)3.2 2.( 1) 4.( 1)2.22 ( 6) 2 16 12 b) 2 2 B 2x2 y 3x4 y3 6x3 y2 : xy 4x4 y2 3x4 y3 6x3 y2 : x2 y2 4x4 y2 : x2 y2 3x4 y3 : x2 y2 ( 6x3 y2 : x2 y2 ) 4x2 3x2 y 6x(*) Thay x 2; y 2 vào (*) ta được : 4.( 2)2 3.( 2)2.( 2) 6.( 2) 4.4 3.4.( 2) 12 16 24 12 4 15 c) 2 C 2x2 y2 4xy 6xy3 : xy 3 2 2 2 3 2 2x y : xy 4xy : xy 6xy : xy 3 3 3 3x 6 9y2 (*) 1 Thay x ; y 4. vào (*) ta được : 2 1 3 279 ( 3). 6 9.(4)2 6 9.16 2 2 2 d) 1 2 5 2 5 2 2 2 1 2 5 2 2 2 5 2 2 2 1 3 1 3 D x y x y : 2x y x y : 2x y x y : 2x y y x (*) 3 3 3 3 6 3 Thay x 3; y 3. vào (*) ta được : 1 1 9 27 .(3)3 .( 3)3 9 6 3 2 2 e) E 20x5 y4 10x3 y2 5x2 y3 :5x2 y 20x5 y4 :5x2 y 10x3 y2 :5x2 y 5x2 y3 :5x2 y 4x3 y3 2xy y2 (*) Thay x 1; y 1 vào (*) ta được : 4.(1)3.( 1)3 2.1.( 1) ( 1)2 ( 4) 2 1 7 f) G 7x5 y4 z3 3x4 yz2 2x2 y2 z : x2 yz (7x5 y4 z3 : x2 yz) (3x4 yz2 : x2 yz) (2x2 y2 z : x2 yz) 7x3 y3 z2 3x2 z 2y(*) Thay x 1; y 1;z 2 vào (*) ta được : 3 3 2 2 7.( 1) .1 .2 3.( 1) .2 2.1 ( 28) 6 2 32 16 Bài 15: Hỡnh ảnh bờn dưới mụ tả cỏch cú thể làm để cú một hỡnh hộp chữ nhật cú ba kớch thước là x; y; z. (cm). Cỏc kớch thước và tỉ lệ của hộp phụ thuộc vào cỏc giỏ trị của x; y; z. Tớnh diện tớch của cỏc mặt của hỡnh hộp chữ nhật được thể hiện qua hỡnh đú. z x x z y x x Lời giải Diện tớch của cỏc mặt của hỡnh hộp chữ nhật là : xz xz xy xy yz yz 2xz 2xy 2yz (cm 2 ) Bài 16: Bỏc Nam cú một mảnh vườn hỡnh chữ nhật. Bỏc chia mảnh vườn này ra làm hai khu đất hỡnh chữ nhật: Khu thứ nhất dựng để trồng cỏ. Khu thứ hai dựng để trồng 2y + 12 (m) hoa. (Với cỏc kớch thước cú trong hỡnh vẽ). a/ Tớnh diện tớch khu đất dựng để trồng hoa theo x,y. b/ Tớnh diện tớch khu đất dựng để trồng cỏ theo x,y. c/ Tớnh diện tớch mảnh vườn hỡnh chữ nhật của bỏc Nam với x = 4 và y = 4. Lời giải 2x (m) y+1 (m) a/ Diện tớch khu đất dựng để trồng hoa là : 2x. y 1 2xy 2x (m 2 ) b/ Chiều dài khu đất dựng để trồng cỏ là : (2y 12) (y 1) 2y 12 y 1 (2y y) (12 1) y 11 (m) Diện tớch khu đất dựng để trồng cỏ là : 2x. y 11 2xy 2x.11 2xy 22x (m 2 ) 17 c/ Học sinh cú thể trỡnh bày hai cỏch như sau : Cỏch 1: Diện tớch mónh vườn hỡnh chữ nhật theo x,y là : 2x. 2y 12 2x.2y 2x.12 4xy 24x (m 2 ) Thay x = 4 và y = 4 vào 4xy 24x ta được : 4.4.4 + 24.4 = 160 (m 2 ) Vậy với x = 4 và y = 4 thỡ diện tớch mảnh vườn hỡnh chữ nhật đú là 160 (m 2 ) Cỏch 2: Diện tớch mónh vườn hỡnh chữ nhật theo x,y là : (2xy 2x) (2xy 22x) 4xy 24x (m 2 ) Thay x = 4 và y = 4 vào 4xy 24x ta được : 4.4.4 + 24.4 = 160 (m 2 ) Vậy với x = 4 và y = 4 thỡ diện tớch mảnh vườn hỡnh chữ nhật đú là 160 (m 2 ). Bài 17: C = 20 (m) y (m) Khu vườn trồng mớa của nhà bỏc Minh ban đầu cú dạng một hỡnh vuụng biết chu vi hỡnh vuụng là 20 (m) sau đú được mở rộng bờn phải thờm y (m), phớa dưới thờm 10x (m) nờn mảnh vườn trở thành một hỡnh chữ nhật (hỡnh vẽ bờn) a/ Tớnh diện tớch khu vườn bỏc Minh sau khi được mở rộng theo x, y. b/ Tớnh diện tớch khu vườn bỏc Minh sau khi được mở rộng khi x = 1 ; y = 2 8x (m) Lời giải a/ Cạnh của mảnh vườn hỡnh vuụng ban đầu là 20 : 4 = 5 (m) Chiều rộng của khu vườn sau khi được mở rộng là : y + 5 (m) Chiều dài của khu vườn sau khi được mở rộng là : 8x + 5 (m) Diện tớch của khu vườn bỏc Minh sau khi được mở rộng là : (y +5).(8x + 5) = y.8x + y.5 + 5.8x + 5.5 = 8xy + 5y + 40x + 25 (m 2 ) b/ Khi x = 1 ; y = 2 thỡ diện tớch khu vườn bỏc Minh sau khi được mở rộng là : 8.1.2 + 5.2 + 40.1 + 25 = 91 (m 2 ) 18 Bài 18: Một cửa hàng buổi sỏng bỏn được xy bao gạo thỡ cửa hàng đú thu được số tiền là x6 y 5 x5 y 4 nghỡn đồng. a/ Tớnh số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đú đó bỏn theo x,y. b/ Tớnh số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đú đó bỏn khi x = 2; y = 2. Lời giải a/ Số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đú đó bỏn theo x,y là : (x6 y5 x5 y4 ) : xy x6 y5 : xy x5 y4 : xy x5 y4 x4 y3 (nghỡn đồng). b/ Số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đú đó bỏn khi x = 2; y = 2 là : 25.24 24.23 384 (nghỡn đồng) Bài 19: Một tấm bỡa cứng hỡnh chữ nhật cú chiều dài là x + 43 (cm) và chiều rộng là x + 30 (cm). Người ta cắt ở mỗi gúc của tấm bỡa một hỡnh vuụng cạnh y2 1 (cm) ( phần tụ màu) và xếp phần cũn lại thành một cỏi hộp khụng nắp. a/ Tớnh diện tớch xung quanh của hỡnh hộp chữ nhật trờn theo x; y. b/ Tớnh diện tớch xung quanh của hỡnh hộp chữ nhật trờn với x = 16 ; y = 4. x + 43 x + 30 y2 + 1 y2 + 1 Lời giải a/ Chiều cao của hỡnh hộp chữ nhật bằng cạnh của hỡnh vuụng cắt đi và bằng y2 1 (cm). Chiều dài của hỡnh hộp chữ nhật là : (x 43) (y2 1).2 x 43 2y2 2 x 2y2 41 (cm). Chiều rộng của hỡnh hộp chữ nhật là: (x 30) (y2 1).2 x 30 2y2 2 x 2y2 28 (cm). Diện tớch xung quanh của hỡnh hộp chữ nhật trờn theo x, y là : 19 2 2 2 2 2 2 x 2y 41 (x 2y 28) .(y 1) 2(2x 4y 69).(y 1) (4 x 8 y2 138).(y2 1) 4x.y2 8y2.y2 138y2 4x 8y2 138 4xy2 8y4 130y2 4x 138(cm2 ) b/ Diện tớch xung quanh của hỡnh hộp chữ nhật trờn với x = 16 ; y = 4 là : 4.16.(4)2 8.(4)4 130.(4)2 4.16 138 1258(cm2 ) 20