Giáo án Toán 9 - Chủ đề I: Giải phương trình và hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

chủ đề i: giải phương trình và hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I. các kiến thức cần lưu ý 1.1 A(x) nếu A(x) 0 = ( A(x) là biểu thức đại số) -A(x) nếu A(x) < 0 1.2. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a 0) Nhị thức bậc nhất ax + b (a 0) sẽ: + Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của nhị thức. + Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. Giả sử x0 là nghiệm của nhị thức ax + b khi đó: + Nhị thức cùng dấu với a x > x0 + Nhị thức trái dấu với a x < x0 1.3. Định lí về dấu của tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a 0) - Nếu < 0, thì f(x) cùng dấu với a x - Nếu 0 thì: + f(x) cùng dấu với a x nằm ngoài khoảng hai nghiệm + f(x) trái dấu với a x nằm trong khoảng hai nghiệm Hay - Nếu 0 x - Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x1 x2 nếu x1 < x < x2 a.f(x) < 0 nếu x x1 hoặc x x2 a.f(x) > 0 Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu biểu thức không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức âm). Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dương hay âm( dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai). Dấu của biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu. 2.2 Rút gọn biểu thức B = - Thật vậy Với x-1 0 hay x 1thì =x-1 Với x-1<0 hay x<1thì = -(x-1)=1-x Với x-50 hay x5 thì = x+5 Với x-5<0 hay x<5 thì =-(x-5) =5-x áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu sau: X 1 5 x-1 - 0 + + x-5 - - 0 + Từ bảng xét dấu ta xét ba trường hợp ứng với ba khoảng của biến x Nếu x<1 thì B = - =1-x-( 5-x) =1-x-5+x = - 4 Nếu 1x<5 thì B = - =(x-1)-(5-x) =x-1-5+x =2x-6 Nếu x5 thì B = - =(x-1)-(x-5) =x-1-x+5 = 4 2.2 Rút gọn biểu thức B = |x2 - 4x + 3|-5 Thật vậy: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 – 4x + 3 f(x) có ' = 4 -3 = 1 > 0 x1 = 1; x2 = 3 Với 1 < x < 3 1.f(x) < 0 f(x) < 0 Với x 1 hoặc x 3 4f(x) > 0 f(x) > 0 Vậy ta xét hai trường hợp ứng với ba khoảng của biến Với 1 < x < 3 thì B = -(x2 - 4x + 3) - 5 = - x2 + 4x - 3 - 5 = - x2 + 4x - 8 Với x 1 hoặc x 3 thì B = ( x2 - 4x + 3) - 5 = x2 - 4x + 3 - 5 = x2 - 4x - 2 2.3. Giải phương trình Thật vậy: áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất và lập bảng, ta xét 3 trường hợp ứng với 3 khoảng. + Nếu x < 1 ta được phương trình: 1 - x + 2 - x = 3x + 1 3 - 2x = 3x + 1 5x = 2 x = 2/5 < 1 ( là nghiệm) + Nếu 1 x < 2 ta được phương trình: x -1 + ( 2 - x) = 3x + 1 x = 0 [1, 2] ( không là nghiệm) + Nếu x 2 ta đựoc phương trình: x - 1 + x - 2 = 3x + 1 x = - 4 < 2 ( không là nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2/5 2.4. Giải phương trình Thật vậy: áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có: Giải 1: Giải 1': ( là nghiệm) Giải 2': x không có giá trị Giải 2: ( không có nghĩa) Vậy phương trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8 2.5 Giải hệ phương trình Thật vậy: Phương trình thứ nhất đưa đến tập hợp hai phương trình: hay Việc phân tích phương trình thứ hai đưa đến tập hợp 4 phương trình theo các khoảng xác định. Theo dạng của phương trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là 3 và , từ đó - 2 x 4 và -1 y 5 Với - 2 x 1 ta có: Với -1 y 2, 1 - x + 2 - y = 3 hay là x + y = 0 (I) Với 2 y 5, 1 - x + y - 2 = 3 hay là y - x = 4 (II) Với 1 x 4 ta có : Với -1 y 2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III) Với 2 y 5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV) Giải 8 hệ phương trình bậc nhất: Hệ (1; I) , đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định. Hệ (1; II) không có nghiệm Hệ (1; III) không có nghiệm Hệ (1; IV) đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định. Hệ (2; I) đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định. Hệ (2; II) không có nghiệm Hệ (2; III) không có nghiệm Hệ (2; IV) , đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định. Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x1 = 1/2; y1 = -1/2 x2 = 7/2; y2 = 5/2 x3 = -1/2; y3 = 1/2 x4 = 5/2; y4 = 7/2 Bài tập luyện tập Bài 10: Tìm x trong các biểu thức a) d) c) b) f) g) h) Bài 11: Tìm x trong các biểu thức a) b) c) d) e) f) g) h) Bài 12: với giá trị nào của a, b ta có đẳng thức: Bài 13: Tìm các số a, b sao cho: Bài 14: Giải các hệ phương trình sau a) b) c) d) Bài 15: Giải phương tình sau: Bài 16: Tìm x ( a là hằng số) chủ đề II: giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.3 Giải bất phương trình: Thật vậy: x2-2x-21 và x2-2x-2-1 Từ Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai -1 x 3 Từ Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai Kết hợp lại ta được các nghiệm của hệ là: ; 2.4 Giải bất phương trình: Thật vậy: TXĐ: Cách 1: + Với + Với Vậy bất phương trình có ngiệm: 1 x 4; 0 < x < 1 Cách 2: Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có: áp dụng định lí và dấu của nhị thức, ta xét 3 trường hợp: + Nếu x -2 thì - x- 2 -2(1 - x) > 0 x > 4 > -2 ( không là nghiệm) + Nếu -2 x 0 3x > 0 x > 0 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 0 < x < 1 + Nếu x > 1 thì x + 2 - 2(x - 1) > 0 x < 4 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 1 < x < 4 Vậy bất phương trình có ngiệm: 1 x 4; 0 < x < 1 Cách 3: Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có: (x + 2)2 > 4(x - 1)2 x2 4x + 4 > 4(x2 - 2x + 1) 3x2 - 12x < 0 3x( x - 4) < 0 0 < x < 4 Kết hợp với TXĐ 1 < x < 4; 0 < x < 1 Bài 19: Tìm x trong các bất đẳng thức b) c) d) Bài 20: Tìm x trong các bất đẳng thức a) b) c) d) e) f) Chủ đề III: đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối I. Đồ thị hàm số y = f(|x|) 1.1. Kiến thức cần lưu ý: Ta thấy f() = f() .Do đó hàm số y = f()là hàm chẵn nên đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Oy Cách dựng : - Dựng đồ thị hàm số y = f(x) đối với x > 0 - Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy 1.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = 2|x| - 2 Thật vậy: Đồ thị của hàm số y = 2x - 2 với x = 1 y = 0 (1, 0) thuộc đồ thị với x = 0 y = -2 ( 0, -2) thuộc đồ thị O -1 1 -2 y x Hình 6 Phần đồ thị in đậm( Hình 6) là đồ thị hàm số y = 2|x| - 2 II. đồ thị hàm số y = |f(x)| 2.1 Kiến thức càn lưu ý Nhận xét f(x) với f(x) 0 y = -f(x) với f(x) < 0 Cách dựng: - Dựng đồ thị hàm số y = f(x) - Phần đồ thị nằm ở dưới mặt phẳng Ox nghĩa là ở đấy f(x) < 0 ta dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua Ox. * Chú ý: Đồ thị hàm số y = |f(x)| + k được xem như đồ thị hàm số y = |f(x)|tịnh tiến theo đường thẳng đứng một đoạn bằn k ( k là số thực) 2.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 2| Đồ thị hàm số y = x - 2 x = 0 y = -2 ( 0, -2) thuộc đồ thị hàm số x = 1 y = -1 (1, -1) thuộc đồ thị hàm số O -1 -2 1 y x Hình 7 Phần đồ thị in đậm ( hình 7) là đồ thị hàm số y = |x - 2| III. đồ thị của hàm số y = |f(|x|)| 3.1 Kiến thức cần lưu ý Ta có: f(|x|) với f(|x|) 0 y = |f(|x|)|= - f(|x|) với f(|x|) < 0 Cách dựng a) Dựng đồ thị hàm số y = |f(|x|)| + Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x > 0 + Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy b) Phần đồ thị nằm ở mặt phẳng dưới Ox nghiã là ở đấy f(|x|) < 0 ta dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox. ( Hay biến đổi các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dưới nên nửa mặt phẳng trên đối xứng qua trục Ox) 3.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |1 - |x|| Thật vậy: Đồ thị hàm số y = 1- x x = 1 y = 0 ( 1, 0 ) thuộc đồ thị hàm số x = 0 y = 1 ( 0, 1) thuộc đò thị hàm số Đồ thị hàm số 1 1 O y x y = 1 - x với x 0 a) Đồ thị hàm số 1 -1 x y O y = 1 - |x| b) Hình 8 Đồ thịi hàm số y = |1 - |x|| -1 1 O y x c) Phần đồ thị in đậm trong phần b ( hình 8) là đồ thị hàm số y = |1 - |x|| IV. Đồ thị của |y| = f(x) với f(x) 0 4.1 Kiến thức cần lưu ý Ta có: y = f(x) với f(x) 0 Cách dựng: - Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x) 0 ( Phần đồ thị của hàm số y = f(x) phía trên trục hoành ) - Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu được qua trục Ox. 4. 2 Ví dụ Dựng đồ thị hàm số |y| = Thật vậy: O -1 -2 -1 Đồ thị hàm số y = x = 0 y = 1 ( 0; 1) thuộc đồ thị x = -2 y = 0 ( -2; 0) thuộc đồ thị Hình 9 Phần đồ thị in đậm ( hình 9 ) là đồ thị hàm số |y| = V. Đồ thị của hàm số |y| = |f(x)| 5.1 Kiến thức cần lưu ý: Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: y = |f(x)| Cách dựng: - Dựng đồ thị hàm số y =|f(x)|( hoàn toàn nằm ở nửa mặt phẳng trên) - Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị thu được ở trên qua trục Ox. 5.2 Ví dụ: 1. Dựng đồ thị hàm số |y| = |x - 3| Thật vậy: Đồ thị hàm số y = x - 3 x = 0 y = -3 ( 0; -3) thuộc đồ thị x = 3 y = 0 ( 3; 0) thuộc đồ thị Đồ thị hàm số y = 1- x với 0 O x y 3 a) Đồ thị hàm số O x y 3 y = 1- |x| b) Hình 10 Đồ thị hàm số y = |1- |x|| O x y 3 c) Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 10) là đồ thị hàm số |y| = |x - 3| VI. mở rộng Đối với mỗi dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối đều có một cách dựng riêng tương ứng với nó. Tuy nhiên trong thực tế có thể có các hàm số giá trị tuyệt đối không chỉ ở một dạng nêu trên mà nó là sự kết hợp của nhiều dạng khác nhau. Đối với trường hợp này chúng ta có thể dựng hàm số đó bằng cách kết hợp nhiều cách dựng nêu trên, ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách dựng chung. Cách dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối. Cách dựng chung - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến ( xem chủ đề 1) - Mỗi khoảng ta đều thu được một hàm tương ứng Dựng đồ thị theo từng khoảng đang xét. Ví dụ 1: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3| Thật vậy: Xét theo từng khoảng của biến x ta thu được: 4 - 2x nếu x 1 y = 2 nếu 1 x 3 2x - 4 nếu x 3 Đồ thị hàm số y = 4- 2x với x 1 O 1 2 4 y x a) Đồ thị hàm số y = 2 với 1 x 3 x O 1 2 4 y 3 b) Đồ thị hàm số y = 2x - 4 với x 3 x O 1 2 4 y 3 c) Hình 11 Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 11) là đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3| Ví dụ 2. Dựng đồ thị hàm số y = ||x| - 2| Thật vậy: -2 - x nếu x -2 Với x 0, y = |-2 - x| = x + 2 nếu x -2 -2 - x nếu x -2 y = x + 2 nếu 0 x -2 x - 2 nếu x 2 Với x 0, y = |x - 2| = 2 - x nếu x 2 x - 2 nếu x 2 y = 2 - x nếu 0 x 2 Việc dựng đồ thị được thực hiện trong 4 khoảng -2 - x nếu x -2 x + 2 nếu -2 < x 0 y = 2 - x nếu 0 < x 2 x - 2 nếu x > 2 ĐTHS y= -2 -x x -2 O -2 y x a) ĐTHS y= x + 2 -2 < x 0 O -2 y x b) ĐTHS y = 2 - x 0 < x 2 O -2 y x 2 c) ĐTHS y = x - 2 x > 2 O -2 y x 2 d) Hình 12 Phần đồ thị in đậm trong phần d) (hình 12) là đồ thị hàm số: y = ||x| - 2| VIII.bài tập luyện tập Bài 21. Dựng đồ thị của các hàm số a) y = b) y = 3 - 1.5|x| c) y = 1 - |x| Bài 22. Dựng đồ thị của các hàm số sau: a) y = 2|x - 3| b) y = |x + 2| + 1 c) Y = -|X - 1| Bài 23. Dựng đồ thị của các hàm số sau: a) y = |2|x| - 3| b) y = Bài 24. Dựng đồ thị của các hàm số sau: a) |y| = 1 - x b) |y - 1| = x c) |y| = x2 + 1 Bài 25. Dựng đồ thị của các hàm số sau: a) |y| = |x| b) |y - 2| = |x| c) |y - 1| = |x - 2| chủ đề IV: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối I. các kiến thức cần lưu ý: Cho A, B là các biểu thức đại số. 1.1 |A| 0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 ) 1.2 |A + B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 ) 1.3 |A - B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 ) 1.4 |A - B| |A| - |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 ) 1.5 ||A| - |B|| |A + B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 ) 1.5 ||A| - |B|| |A - B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B 0 ) II. Các bài tập điển hình 2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4 Thật vậy: Ta có: |3x - 1| 0 x 2|3x - 1|- 4 -4 x GTNN của B = -4 3x - 1 = 0 x = 1/3 2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = với x Z Thật vậy: Xét |x| > 3 C > 0 |x| > 3 Xét |x| < 3 thì do x Z |x| = { 0; 1; 2} Nếu |x| = 0 C = -2 Nếu |x| = 1 C = -3 Nếu |x| = 2 C = -6 GTNN của C = -6 |x| = 2 x = 2 2.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = |x - 2| + |x - 3| Thật vậy: Cách 1: áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và lập bảng ( chủ đề I), ta có: * Xét x < 2 thì D = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x Do x -4 D > 1 (1) * Xét 2 x 3 thì D = x - 2 + 3 - x = 1 (2) * Xét x > 3 thì D = x - 2 + x - 3 = 2x - 5 Do x > 3 nên 2x > 6 D > 1 (3) So sánh (1), (2), (3) ta được minD = 1 2 x 3 Cách 2: Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x| |x - 2 + 3 - x| = 1 Do đó minD = 1 (x - 2)(3 - x) 0 2 x 3 Cách 3: Ta có: D = |x - 2| + |x - 3| | (x - 2) - (x - 3)| |x - 2 + 3 - x| = 1 Do đó minD = 1 (x - 2)(3 - x) 0 2 x 3 2.4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5|| Thật vậy: Cách 1: Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| |(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = 4 Do đó max E = 4 (x - 1)(x + 5) 0 5 x hoặc x 1 Cách 2: Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | 5 - x|| |x -1 +5 - x| = 4 Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x) 0 5 x hoặc x 1 III. bài tập luyện tập Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 5 - |2x - 1| b) B = c) C = với x Z Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a) A = 2|3x - 2| - 1 b) B = x2 + 3|x - 2| - 1 c) C = |x + 2|+ |x + 3| d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4| e) E = |x2 - x - 1|+ |x2 - x - 2| f) F = (0,5x2 + x)2 - 3|0,5x2 + x| Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3|| c. Đáp án Bài 1: a) a > 0; b) không tồn tại; c) d) a 0; f) a < 0; g) a = -5; h) a = 0 Bài 2: a) a = 0; b) a = 2; c) a = 1, b = -1; d) a = - 5, b = -2 Bài 3: a) a, b cùng dấu hoặc cùng bằng 0 b) b = 0 hoặc a, b cùng dương Bài 4: a) -1 a 1; b) a 3 hoặc a -3; c) a = 11; d) -3 a < -1; 1 < a 3 Bài 5: a) 99 số; b) 20 cặp số Bài 6: a) ; b) ; c) =; d) = Bài 7: a) Cách 1: Xét hai trờng hợp: Nếu b 0 thì a + b = |a| + b a = |a| a 0 Nếu b < 0 thì a + b = |a| - b |a| - a = 2b VT 0, VP < 0 đăng thức không xẩy ra a 0, b 0 là các giá trị thoả mãn Cách 2: Ta có a |a|, b |b|. Do đó a + b = |a| + |b| a 0, b 0 b) Tương tự b 0, a 0 hoặc b < 0, a = -b Bài 8: |a - b| = |(a + c) + (c - b)| |a - c| + |c - b| = 3 + 2 = 5 Bài 9: a) BT = 2a với a 0; BT = 0 với a < 0 b) BT = 0 với a 0, BT = -2a với a < 0 c) BT = a2 với a 0, BT = - a2 với a < 0 d) BT = 1 với a > 0, BT = -1 với a < 0 e) BT = x - 9 với x - 3, BT = 5x + 3 với x < - 3 f) BT = 2x + 5 với x < 1/4, BT = -6x + 7 với 1/4 x < 3, BT = -2x - 5 với x 3 Bài 10: a) x1 = 4, x2 = -1; b) x = -1/2 c) x1 = 5/2, x2 = -2/3 d) x1= 1/2, x2 = 3/2 e) x = 0 f) x = -1/2 g) 1 x 2 i) x 2 Bài 11: a) x = 4 hoặc x = - 2 b) 1 x 2 c) 2,3 và 4 d) e) x 1 f) -3/2 g) 0 h) 0 và 3/2 i) 2,0,-4 và -6 k) -5,7,3,-1,1 Bài 12: a > 0 và b 2 Bài 13: a = b = 0 hoặc a > 0; b< 0 hoặc a = -b Bài 14: a) ; ; ; b) (1; 3) ; (3 ; 1) ; (- 3; -1) ; (-1; -3) c) ; d) ; Bài 15: |A| -A, dấu " = " xẩy ra A 0 x2 - x - 2 0 (x + 1)(x - 2) 0 -1 x 2 Bài 16: Nếu a > 0 thì - a < 2a; Xét trường hợp x < -a, -a x 2a, x 2a ta được các nghiệm x = -7a, x = a Nếu a 0 thì 2a -a thì ta được nghiệm x = -a Bài 17: a) -2 x 3; b) x > -2; c)x -2; x 5; d) x > 3/2 Bài 18: a) b) c) d) x 0, x 1 Bài 19: a) x 7; c) -3 < x < 5 d) x 1 e) 0 x 1 g) hoặc x 12 Bài 20: a) ; b) c) - 3 < x < d) vô nghiệm e) f) 0 x 2 hoặc x hoặc x Bài 21: x y -6 6 O a x y -2 2 O b) x y -1 1 O 1 c) Bài 22: x y O 6 3 a x y -2 O 3 b) x y -1 1 O c) Bài 23: O 3 y x a) y x O 1 1 b) Bài 24: y x 1 O a) y x 1 O 1 b) y x 1 O c) Bài 25: O y x a) y O x b) y O x 2 1 c) Bài 26: a) max A = 5 b) max A = c) Xét các trường hợp max C = 3 max A = 5 x = 1 Bài 27: a) min A = -1 b) min B = -1 x = 0; y = 2 c) min C = 5 -2 x 3 d) min D = 5 e) min E = 3 -1 x 2 f) Đặt |0,5x2 + x| = y min G = -9/4 y = 3/2 x1 = 1; x2 = -30 Bài 28: max H = 5 x 2 hoặc x -3