Giáo án Toán Lớp 9: Tứ giác nội tiếp

Ngày 28/3/2012 TỨ GIÁC NỘI TIẾP Buổi 20 I.MỤC TIÊU Ôn tập và củng cố định nghĩa ,tính chất của tứ giác nội tiếp và các cách chứng minh tứ giác nội tiếp. -Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra được các góc bằng nhau. II.CHUẨN BỊ -Thước thẳng , com pa. III.TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1.Ôn tập lý thuyết ?Nêu định nghĩa tứ giác nội tiếp? ?Phát biểu tính chất của tứ giác nội tiếp? ?Để c/m một tứ giác nội tiếp ta có cách nào để chứng minh? GV: Bổ sung : -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông. -Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn” HS: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có các cách sau: Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối bằng . Cách 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đình bằng góc trong tại đỉnh đối của đình đó thì nội tiếp được trong một đường tròn. Cách 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì nội tiếp được trong một đường tròn.. Cách 4: Chứng minh 4 đỉnh cách đều một điểm. 2.Luyện tập Bài 1: (Đề 1) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh : a)BEFI là tứ giác nội tiếp. b)AE.AF =AC2. c)Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định ? Để c/m BEFI là tứ giác nội tiếp ta cần chỉ ra điều gì? ?Muốn c/m AE.AF=AC2 ta cần c/m tỉ lệ thức nào? ?Muốn c/m tỉ lệ thức ta cần c/m hai tam giác nào đồng dạng với nhau? GV: Bài 2: (Đề 2):Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đườn tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm M , vẽ MI AB , MKAC (IAB, K AC) a)Chứng minh : AIMK là tứ giác nội tiếp. b) Vẽ MPBC (PBC).C/m c)Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất. ?Để c/m tứ giác AIMK nội tiếp ta cần c/m điều gì? ?Tứ giác AIMK có đặc điểm gì? ?Muốn c/m ta cần c/m điều gì? ?Em có nhận xét gì về tứ giác MPCK? ?Từ đó em hãy cho biết quan hệ giữa hai góc và ? ?Hãy cho biết và có bằng nhau không ?Vì sao? ?Tương tự câu b) ta có hai góc nào bằng nhau? Bài 3: (Đề 3) :Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H . a)C/m : AEHF và BCEF là cá tứ giác nội tiếp đường tròn. b)Gọi M, N thứ tự à giao điểm thứ của (O;R) với BE và CF .C/m : MN//EF. Bài 4 (Đề 12): Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh AC lấy điểm M , dựng đường tròn (O) đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, Đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) tại S. a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp và CA là tia phân giác của góc BCS. b) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. c) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 1: HS : a) Ta có (GT) ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF. b) Vì AB CD nên Xét ACF và AEC có chung ; (c/m trên) ACF AEC AE.AF = AC2 c) Ta có : (c/m trên) AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CEF (1) Mặt khác: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AC CB (2). Từ (1) và (2) CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC. Bài 2 : a) (Do MI AB , MKAC) Suy ra tứ giác AIMK nội tiếp trong đường tròn đường kính AM. b) Tứ giác MPCK nội tiếp trong đường tròn đường kính MC vì ) suy ra (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung MK) Xét (O;R) : (2) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC) Từ (1) và (2) suy ra (3) c) Tương tự b) ta có tứ giác BIMP nội tiếp suy ra hay (4). Từ (3) và (4) suy ra: Tương tự . Suy ra MIP MPK (g.g) MI.MK=MP2 MI.MK.MP=MP3. Để MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất thì MP lớn nhất . Goi H là hình chiếu của O trên BC ta có OH là hằng số (do BC cố định). MP+OHOM=R MP R-OH. Do đó MP lớn nhất bằng R-OH (=OM-OH) Khi và chỉ khi O,H,M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC. Vậy MI.MK.MP lớn nhất bằng (R-OH)3 khi và chỉ khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC. Bài 3: a)Tứ giác AEHF nội tiếp được trong đường tròn đường kính AH vì có tổng 2 góc đối bàng 1800. () Tứ giác BCEF nội tiếp được tong đường tròn đường kính BC vì có đỉnh E và đỉnh F cùng nhìn BC dưới một góc vuông. b)Do tứ giác BCEF nội tiếp nên : (góc nội tiếp cùng chắn cung EC) Xét (O;R) có (góc nội tiếp cùng chắn cung MC). Suy ra =. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN//EF Bài 4: III.Hướng dẫn -Xem lại lý thuyết . -Nắm chắc các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, -BTVN:Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC Ngày 31/3/2012 TỨ GIÁC NỘI TIẾP (Tiếp ) Buổi 23 I.MỤC TIÊU Ôn tập và củng cố định nghĩa ,tính chất của tứ giác nội tiếp và các cách chứng minh tứ giác nội tiếp. -Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra được các góc bằng nhau. II.CHUẨN BỊ -Thước thẳng , com pa. III.TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1.Ôn tập lý thuyết ?Nêu định nghĩa tứ giác nội tiếp? ?Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp? HS: Trả lời 2.Luyện tập Bài 1:Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây AC .Từ một điểm D trên AC vẽ DEAB. Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại F. CMR: a)Tứ giác BCDE nội tiếp được đường tròn. b). ?Để c/m tứ giác BCDE nội tiếp ta cần chỉ ra điều gì? ? Tứ giác BCDE có đặc điểm gì? ?Muốn c/m ta cần chứng minh điều gì? ?Em có nhận xét gì về tứ giác AECF ? GV: Tứ giác AECF nội tiếp thì ta có điều gì? Bài 2:Cho tam giác ABC các đường phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại S, các đường phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E. Chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp. ?Tia phân giác của hai góc kè bù có tính chất gì? BS là phân giác trong của góc B, BE là phân giác ngoài của góc B nên ta có điều gì? Tương tự xét tại đỉnh C ta có điều gì? GV:Bổ sung hãy c/m Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, tâm O và điểm M là một điểm trên đường tròn (M khác A,B, MA < MB). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BM tại C. Đường kính vuông góc với AB cắt MC tại N. a) Chứng minh rằng tứ giác AMNO là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng và MA2 = MB.MC . c) Chứng minh rằng BM.BN không đổi khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O) (với MA < MB) Bài 4 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với AB, Cx cắt nửa đường tròn tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn CI ( K khác C, I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D. a) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng c) Tính diện tích tam giác ABD theo R khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. Bài 1: HS: a)Tứ giác BCDE có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (vì DEAB) + Nên tứ giác BCDE nội tiếp được trong đường tròn đường kính BD. b) Tứ giác AECF có (vì ) và (vì DEAB) hai đỉnh E và C cùng nhìn đoạn AF dưới 1 góc vuông nên tứ giác AECF nội tiếp được trong đường tròn đường kính AF. (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE) Bài 2: BS là phân giác trong của góc B; BE là phân giác của góc ngoài tại B nên Tương tự: + Từ đó suy ra tứ giác BSCE nội tiếp được trong đường tròn đường kính SE Bài 3: a) Ta có ON AB (Góc nội tiếp chắn đường tròn) Xét tứ giác AMNO có = 1800 nên tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn. b) Xét tam giác MOB có OM = OB (=R) MOB cân tại O (1) Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) Nên sđ) (2) Từ (1) và (2) . Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) Nên AC AB hay Ta có (Góc nội tiếp chắn đường tròn) AM BC. Xét ABC có ; AM BC MA2 = MB.MC (hệ thức lượng trong Tam giác vuông) c) Ta có (2 góc nt cùng chắn ). Xét BOM và BNA có chung; (cmt) BOM BNA (g.g) Mà AB.BO không đổi nên BM.BN không đổi . Vậy BM.BN không đổi khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O) Bài 4 : a) Vì AC CD Ta có : (Góc nt chắn nửa đường tròn ) Xét tứ giác ACMD có Cùng nhìn đoạn thẳng AD dưới một góc vuông tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Vậy bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn. b) Xét tứ giác BMKC : có Tứ giác BMKC nội tiếp (cùng bù ) (1) Ta có : sđ (2) Từ (1) và (2) hay