Giáo án Tự chọn 8 Chủ đề 3 Số nguyên tố - ƯCLN– BCNN giải bài toán bằng cách lập phương trình

Chủ đề 3: SỐ NGUYÊN TỐ - ƯCLN– BCNN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ! 1.Số nguyên tố: số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. VD: các số nguyên tố là: 2,3,5,7,11,13,…vì chúng chỉ có 2 ước là 1 và chính nó. *Kiểm tra 1 số là số nguyên tố: Để kết luận số a là số nguyên tố (a>1) , chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. Như vậy: 29 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2,3,5. 67 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2, 3, 5, 7. 127 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2,3,5,7,11. 173 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2,3,5,7,11,13. * Phân tích 1 số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố. VD: Chú ý: Trong cách phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố, ta thường viết các ước nguyên tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. 2.Cách xác định số lượng các ước của 1 số Để tính số lượng các ước của số m (m>1) ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố: Nếu thì m có x+1 ước. Nếu thì m có (x+1)(y+1) ước. Nếu thì m có (x+1)(y+1)(z+1) ước. VD: *Số nên số 32 có 5 +1 = 6 (ước) là: 1,2,4,8,16,32. *Số nên số 63 có (2+1)(1+1) = 6 (ước) *Số nên số 60 có (2+1)(1+1)(1+1) = 12 (ước). 3. Ước chung lớn nhất (ƯCLN ) -Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. -Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau: .B1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. .B2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. .B3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm. VD: Chọn ra các thừa số chung, đó là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, của 3 là 1. Do đó nên: ƯCLN(36,84,168) = **Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó. VD: ƯCLN (12,30) =6 , Do 6 có các ước là: 1; 2 ;3; 6 nên ƯC(12,30) = {1; 2; 3; 6}. 4.Bội chung nhỏ nhất (BCNN) -Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó. - Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau: .B1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. .B2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng. .B3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm. VD: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3 và 5 ; số mũ lớn nhất của 2 là 3, của 3 là 2 và của 5 là 1. Vậy khi đó ta có: BCNN(8,18,30) = *Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó. VD: Cho . Viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử. Giải: Ta phải tìm xBC(8,18,30) và x< 1000 Ta có :BCNN(8,18,30) = 360 Bây giờ lần lượt nhân 360 với 0,1,2,3 ta được: 0, 360, 720, 1080. So sánh với điều kiện bài toán, suy ra: A = {0; 360; 720} Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Các bước giải: *B1: Lập phương trình: -Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. -Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. -Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. *B2: Giải phương trình. *B3: Trả lời: kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Bài 1: Một tổ theo kế hoạch, mỗi ngày phải trồng 300 cây xanh. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã trồng thêm 100 cây xanh, do đó Tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn trồng thêm được 600 cây xanh. Hỏi theo kế hoạch, tổ đó phải trồng bao nhiêu cây xanh? Giải: Gọi x (cây) là số cây mà tổ phải trồng theo kế hoạch, điều kiện x > 600. Khi đó, số ngày đội phải trồng theo kế hoạch là: (ngày). -Thực tế: + Số cây đội đã trồng được là: x + 600 (cây). + Số cây đội đã trồng trong 1 ngày là: 300 + 100 = 400 (cây). + Số ngày mà đội đã trồng là : (ngày). Vậy theo bài ra, ta có phương trình: (thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch, đội phải trồng 3000 cây. Bài 2: Một tủ sách có 2 ngăn, tổng số sách của hai ngăn là 90 quyển. Nếu chuyển từ ngăn thứ hai sang ngăn thứ nhất 10 quyển thì số sách ở ngăn thứ nhất sẽ gấp đôi số sách ở ngăn thứ hai. Tìm số sách ở mỗi ngăn lúc ban đầu. Giải: Gọi x(quyển) là số sách có lúc đầu ở ngăn thứ nhất, điều kiện 0< x < 90. Thế thì số có lúc đầu ở ngăn thứ hai là: 90 - x (quyển) -Sau khi chuyển: +Số sách có ở ngăn thứ nhất là: x + 10 (quyển); +Số sách còn lại ở ngăn hai là 90 - x -10 = 80 – x (quyển) Theo bài ra ta có phương trình: x + 10 = 2(80 – x)(thỏa mãn). Suy ra số sách có ở ngăn thứ hai là: 90 - 50 = 40 (quyển) Vậy lúc đầu số sách có ở ngăn nhất là: 50 quyển; số sách có ở ngăn hai là 40 quyển. Bài 3:Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 5giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 7 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h ? Giải: Gọi x (km/h) là vận tốc thực của ca nô, điều kiện x > 3. Khi đó, -Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng từ A đến B là: x + 3(km/h). Suy ra độ dài quãng đường AB là : (x+ 3).5 (km). -Vận tốc của ca nô khi ngược dòng từ B về A là: x-3 (km/h). Suy ra độ dài quãng đường BA là : (x-3).7 (km). Mà độ dài quãng đường AB thì bằng BA, nên ta có phương trình: Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là : (18+3).5 = 105 (km). VUI TOÁN HỌC Đố: Ta biết , . Hãy dự đoán 11112 bằng bao nhiêu? Kiểm tra lại dự đoán đó. Ta dự đoán 11112 = 1234321 (đúng). Vậy ta thấy Bình phương của một số tạo bởi toàn chữ số 1, nếu số có a chữ số 1 thì kết quả sẽ có (2a-1) chữ số và sẽ tăng dần từ chữ số1 dồn từ hai bên vào số ở chính giữa. Như vậy các chữ số ở 2 bên là đối xứng nhau, còn chữ số ở chính giữa chỉ có một chữ số. Người ta chứng minh được rằng: *Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n). VD: a4 và a6 nên aBCNN(4,6) tức là a12. *Nếu tích a.b chia hết cho c mà b và c là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho c. VD: Tích a.3 chia hết cho 4 và ƯCLN(3,4)=1 nên a4. CÂU CHUYỆN VỀ LỊCH. Hoàng đế La Mã Ju- lơ Xê –da cho áp dụng lịch mang tên ông từ năm 45 trước Công nguyên. Lịch này quy định một năm có 365 ngày và cứ bốn năm có một năm 366 ngày. Năm có 366 ngày gọi là năm nhuận. Năm có số chỉ năm chia hết cho 4 là năm nhuận, chẳng hạn năm 2004 là năm nhuận vì số 2004 chia hết cho 4. Cách tính bốn năm có 1 năm nhuận làm cho đến năm 1582, lịch bị chậm đi 10 ngày so với ngày thực tế. Vì thế năm 1582, giáo hoàng G rê –goa XIII quy định những năm có số chỉ năm chia hết cho 100 mà không chia hết cho 400 không là năm nhuận, và ngày tiếp theo ngày 4-10-1582 là ngày 15-10-1582. Theo lịch đó (ta gọi là lịch mới), các năm sau không là năm nhuận: 1700, 1800, 1900, 2100. Sau năm 1582, nước Nga vẫn duy trì lịch cũ nên đến năm 1917, lịch Nga đã chậm 13 ngày so với lịch mới (đã chậm 10 ngày, lại chậm thêm 3 ngày nữa do đã tính các năm 1700, 1800, 1900 là năm nhuận). Cách mạng tháng Mười Nga nổ ra ngày 25-10-1917 theo lịch Nga và là ngày 7-11-1917 theo lịch mới. LỊCH CAN CHI. Nhiều nước phương Đông, trong đó có Việt Nam, gọi tên năm âm lịch bằng cách ghép 10 can (theo thứ tự là Giáp, Ất, Bính, Đinh, Mậu, Kỉ, Canh, Tân, Nhâm, Quý) với 12 chi ( Tí, Sửu, Dần, Mão, Thìn, Tị, Ngọ, Mùi, Thân, Dậu, Tuất, Hợi). Đầu tiên, Giáp được ghép với Tí thành năm Giáp Tí. Cứ 10 năm, Giáp lại được lặp lại. Cứ 12 năm, Tí lại được lặp lại: Giáp Ất Bính Đinh Mậu Kỉ Canh Tân Nhâm Quý Giáp Ất Bính Đinh … Tí Sửu Dần Mão Thìn Tị Ngọ Mùi Thân Dậu Tuất Hợi Tí Sửu … Như vậy cứ sau 60 năm (60 là BCNN của 10 và 12) , năm Giáp Tí lại được lặp lại. Tên của các năm âm lịch khác cũng được lặp lại sau 60 năm.