Giáo án Tự chọn 8: Một số kiến thức bổ sung về đường trung bình trong tam giác và hình thang

Ai cã nhu cÇu trao ®æi gi¸o ¸n buåi giái to¸n líp 8 (cßn n÷a) gÆp ThiÖn theo hép th­ : Thaogiay81@yahoo.com hoÆc nickname: Hoamuongaoque hoÆc sè ®iÖn tho¹i 0983382940 Gi¸o ¸n tù chän 8 So¹n: 05/09/2007 Th¸ng 9 (D¹y trong c¸c tuÇn 1 + 2 + 3 + 4) MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG VỀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TRONG TAM GIÁC VÀ HÌNH THANG Mục đích Cung cấp thêm cho Hs các kiến thức mở rộng về hình thang và đường TB của hình thang và tam giác Rèn luyện kĩ năng phân tích các bài toán và mở rộng, khái quát bài toán HH Nội dung Các kiến thức bổ sung Định lí 1 : Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Định lí 2 : Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. * Việc chứng minh hai định lí này không khó (dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác) nhưng vấn đề sẽ nảy sinh nếu định lí 1 được phát biểu bằng cách khác : “Trong một tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh đối diện với đỉnh đó”. Câu hỏi tôi đã đặt ra khi đó là : Trong một tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn (hay đỉnh góc tù) so với cạnh đối diện với đỉnh đó sẽ như thế nào ? Không khó khăn lắm để có trả lời cho câu hỏi này. Trường hợp 1 (trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn) : Cho tam giác ABC có Ð A = 90o M là trung điểm của BC. Ta so sánh AM với BC/2; Không mất tính tổng quát, giả sử Ð B < 90o(hình 1). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB thì H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A và H khác B). Suy ra : Ð AHM = Ð AHC + Ð CHM > Ð AHC = 90o => Ð H là góc lớn nhất trong tam giác AHM => AM > HM. Mặt khác, theo định lí 1 thì HM = BC/2 nên : AM > BC/2. Trường hợp 2 (trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù) : Cho tam giác ABC có Ð A > 90o, M là trung điểm của BC. Ta so sánh AM với BC/2 : Dựng hình bình hành ABDC (hình 2). Dễ thấy M là trung điểm của AD và Ð ACD < 90o, theo định lí 1 thì AD/2 < CM. Suy ra AM = BC/2. Như vậy ta có thêm hai định lí sau đây : Định lí 1.1 : Trong một tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn lớn hơn nửa cạnh đối diện với đỉnh đó. Định lí 1.2 : Trong một tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù nhỏ hơn nửa cạnh đối diện với đỉnh đó. Bằng phương pháp phản chứng ta dễ dàng chứng minh được hai định lí khác : Định lí 2.1 : Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh lớn hơn nửa cạnh ấy thì góc đối diện với cạnh này nhọn. Định lí 2.2 : Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh nhỏ hơn nửa cạnh ấy thì góc đối diện với cạnh này tù. * Tôi đã rất vui sướng đem kết quả này khoe với người anh họ. Anh ấy khen và đặt thêm cho tôi một câu hỏi : Với tam giác vuông ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Đặt BC = a, AM = ma khi đó định lí 1 được viết dưới dạng hệ thức là : ma = a/2 (*), vậy có hệ thức tổng quát tính độ dài các đường trung tuyến khi ABC là tam giác bất kì không ? Phải đợi đến khi học định lí Py-ta-go ở lớp 8 tôi mới trả lời được câu hỏi này, chính là định lí sau đây (trong SGK mới, định lí Py-ta-go được giới thiệu ngay từ lớp 7). Định lí 3 : Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c và độ dài ba đường trung tuyến tương ứng là ma, mb, mc thì : Chứng minh (**) : Dựng đường cao AH (hình 3), không mất tổng quát, giả sử H thuộc tia MB. Theo định lí Py-ta-go ta có : AB2 = AH2 + HB2 = AH2 + |MB - MH|2 = AH2 + MH2 + MB2 - 2.MB.MH = AM2 + BC2/4 - 2,MB.MH ; AC2 = AH2 + HC2 = AH2 + (MC + MH)2 = AH2 + MH2 + MC2 + 2.MC.MH = AM2 + BC2/4 + 2.MB.MH. * Tôi tiếp tục dự đoán và chứng minh được định lí 3 bao trùm các định lí 1 ; 1.1 ; 1.2. Ta có : Việc dự đoán và chứng minh trên đã dẫn tôi đến các kết quả (1), (2), chính là các mở rộng của định lí Py-ta-go. Đảo lại của định lí Py-ta-go và các kết quả (1), (2) cũng đúng. Chứng minh (1) : Tam giác ABC có Ð A < 90o. Không mất tính tổng quát, giả sử Ð B < 90o (hình 4). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB thì H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A và H khác B). Suy ra : BC2 = BH2 + CH2 = (BA - AH)2 + AC2 - AH2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AH < AB2 + AC2 => a2 < b2 + c2. Chứng minh (2) : Tam giác ABC có Ð B < 90o (hình 5). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB thì A phải nằm giữa B và H. Suy ra : BC2 = BH2 + CH2 = (BA + AH)2 + AC2 - AH2 = AB2 + AC2 + 2.AB.AH > AB2 + AC2 a2 > b2 + c2. Bài toán thuận : Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên AD, BC. Nối MN (đường trung bình) cắt hai đường chéo BD và AC tại P và Q tương ứng. Ta đã có các kết quả sau : 1) MN song song với hai đáy AB, CD và MN = 1/2. (AB + CD) 2) P, Q lần lượt là các trung điểm của hai đường chéo BD, AC và PQ = 1/2.|AB - CD| 3) MP = NQ. Từ đó ta có các bài toán đảo : Bài toán đảo 1 : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N là các trung điểm của các cạnh AD, BC tương ứng. Chứng minh rằng nếu MN = 1/2.(AB + CD) thì ABCD là hình thang. Chứng minh : - Gọi K là trung điểm của đường chéo BD, ta có : MK // AB và MK = 1/2.AB NK // CD và NK = 1/2.CD => : MK + NK = 1/2.(AB + CD) = MN (gt) => : M, K, N thẳng hàng => AB // MN và CD // MN => AB // CD (đpcm). Bài toán đảo 2 : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AD và BC tương ứng. Giả sử MN lần lượt cắt các đường chéo BD và AC tại P và Q. Chứng minh rằng nếu MP = NQ thì ABCD là hình thang. Chứng minh : - Tất nhiên AC không song song với BD   (1) - Gọi E, F là trung điểm của các đường chéo BD và AC tương ứng. Giả sử P không trùng với E và Q không trùng với F. Ta có ME song song và bằng NF (vì cùng song song và bằng 1/2.AB) => MENF là hình bình hành => MN cắt EF tại trung điểm O của mỗi đoạn hay OM = ON, mà MP = NQ => PO = OQ => PEQF là hình bình hành => PE // QF hay BD // AC, trái với (1). Vậy E trùng với P, F trùng với Q hay AB // MP, CD // NQ => AB // MN // CD (đpcm). Bài toán đảo 3 : Cho tứ giác lồi ABCD (AB < CD). Gọi P, Q là trung điểm của các đường chéo BD và AC tương ứng. Chứng minh rằng nếu PQ = 1/2.(CD - AB) thì ABCD là hình thang. Chứng minh : Gọi M là trung điểm của AD, ta có : PM // AB và PM = 1/2.AB ; QM // CD và QM = 1/2.CD => : QM - PM = 1/2.(CD - AB) = PQ => : M, P, Q thẳng hàng => AB // PQ và CD // PQ => AB // CD (đpcm). Bằng cách suy nghĩ tương tự như vậy ta cũng có bài toán đảo sau đây mà lời giải dành cho các bạn : Ngµy so¹n: 25/09/2007 Th¸ng 10 (D¹y trong c¸c tuÇn 5 + 6 + 7 + 8 ) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Cßn n÷a