Giáo án Tự chọn Chủ đề 4: Phương trình

. Chủ đề III: Phương pháp đổi biến Ví dụ 5: Giải phương trình: *Phương pháp: - Đặt X = ta biến đổi về phương trình về dạng phương trình mới đơn giản hơn với ẩn X. - Giải phương trình mới bằng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc công thức nghiệm bậc hai. Lời giải Đặt X = ta có phương trình: (**). Ta giải phưong trình mới. Phương trình (**) tương đương với: *TH1: Phương trình có hai nghiệm là x =0 và x = 1,5 *TH2: Ví dụ 6: Giải phương trình: (1) *Phương pháp: - Đặt ẩn phụ sau đó biến đổi về phưong trình tích để giải. Lời giải Đặt ta có Phương trình (1) đưa về dạng: Vậy phương trình có hai nghiệm là: Ví dụ 7: Giải phương trình: *Phương pháp: - Hạ bậc của phương trình bằng cách đặt ẩn phụ hoặc đặt từ đó biến đổi a2 = 6. Một số dạng phương trình đặc trưng mà ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ như sau: Dạng 1: Giải phương trình: Trong đó a + b = c + d. * Phương pháp: - Ta biến đổi tương đương phương trình về: . Đặt biến đổi giải phương trình bậc hai với ẩn y. - Khi biết y ta thay vào biểu thức đổi biến sau đó giải phương trình với ẩn x. Ví dụ 8: Giải phương trình: (2) *Phương pháp: - Với phương pháp như trên biến đổi đưa về phương trình bậc 2 với ẩn . - Biến đổi giải phương trình bậc hai với ẩn y, biết y ta tìm x. Lời giải Phương trình tương đương với: Đặt ta có phương trình với ẩn y: Ta đi giải phương trình trong các trường hợp: * TH1: * TH 2: => Phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình (2) có hai nghiệm là: *Các dạng bài tập tương tự: 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 2) Dạng 2: Giải phương trình . Phương pháp: - Khi gặp phương trình dạng này thì ta đặt ẩn phụ sau đó đưa về phương trình trùng phương. Ví dụ 9: Giải phương trình: Lời giải Đặt y = x + 4 làm ẩn phụ thay vào phương trình trên ta được: Từ đó: Vậy, phương trình (6) có nghiệm là x = - 4. Nhận xét: - Bằng cách đặt ẩn phụ y = x + 4 ta khai triển loại bỏ các hạng tử bậc lẻ để chuyển sang phương trình trùng phương. - Từ đó ta giải phương trình trùng phương bằng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai. * Các bài tập thuộc dạng toán này: 1) 2) Dạng 3: Giải phương trình dạng Trong đó ad = bc. * Phương pháp: Biến đổi phương trình trên: Với phương trình trên ta có hai cách giải như sau: - Cách 1: Xét giả trị thử x = 0 xem có là nghiệm của phương trình hay không, sau đó với ta chia cả hai vế cho x ta được phương trình: + Phương trình này giải bằng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai với ẩn y. + Với phương trình bậc ta đã có phương pháp giải cụ thể hoặc là giải bằng cách đưa về phương trình tích, lũy thừa cùng bậc. - Cách 2: Đặt ẩn phụ giải phương trình là ta được phương trình với hai ẩn x và y, từ đó ta tìm x theo y. Ví dụ 10: Giải phương trình: * Phương pháp giải: Phương trình tương đương với: Với phương trình này ta có hai cách: Cách 1: - Thử x = 0 xem có là nghiệm không. - Với ta chia cả hai vế cho ta được: Ta đặt y = phương trình với ẩn y. Cách 2: Với phương trình (**) ta đặt thay vào phương trình ta được phương trình hai ẩn x và y, từ đó ta tìm x theo y. Dạng 4: Giải phương trình . Trong đó . * Phương pháp: Với dạng toán này cách giải là ta đặt ẩn phụ: y = x + d. Ví dụ 11: Giải phương trình: *Phương pháp: Biến đổi phương trình tương đương với: Đặt y = x + 9 x = y – 9 thay vào phương trình ta được: * TH 1: * TH 2: Vậy phương trình (8) có nghiệm là x = - 9. Dạng tương tự: Giải phương trình: (x + 9)(x + 10)(x + 11) – 8x =0 Dạng 5: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn. Ví dụ 12: Giải phương trình: *Phương pháp: - Thử x = 0 thay vào vào phương trình ta được 2 = 0 (vô lí) nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. - Với ta chia hai vế cảu phương trình cho x2 ta được: Đặt Thay biểu thức trên vào phương trình ta được: * TH 1: ta tính : , phương trình có hai nghiệm: * TH2: Vậy, phương trình trên có 4 nghiệm , Lưu ý: Với phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm x = -1, sau khi ta đặt nhân tử chung x + 1 ta lại giải phương trình bậc chẵn. Dạng 6: Giải phương trình dạng: Phương pháp giải - Bién đổi phương trình: - Đặt ẩn phụ: ta được phương trình: - Ta giải phương trình bậc hai với ẩn y. - Tìm được y sau đó ta giải phương trình với ẩn x. Dạng tương tự: Giải phưong trình: 1) 2) Dạng 7: Giải phương trình dạng: *Phương pháp giải: Xét riêng g(x) = 0 giải phương trình g(x) = 0 xem có x là nghiệm của phương trình không. - Với chia cả hai vế cho g2(x) ta được: Đặt đưa về phương trình bậc hai: ay2 + by + c = 0 sau đó giải phương trình này. Ví dụ: Giải phương trình: Nhận xét: Với phương pháp đổi biến rất hay gặp thường xuyên trong các bài tập, vấn đề là phải biết nhận dạng bài tập và từ đó đặt ẩn hợp lí. Chủ đề IV: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình A. Phương pháp - Dạng phương trình này chứa những biểu thức tương đối phức tạp. - Ta đặt ẩn phụ để có phương trình mới với hai ẩn. Qua đó ta lập được hệ phương trình có cách giải dễ dàng hơn. B. Vận dụng Ví dụ 13: Giải phương trình: Lời giải Đặt . Do đó ta có hệ phương trình: Trừ từng vế 2 phương trình ta có: * TH 1: x = 1 * TH 2: giải phương trình này ta có 2 nghiệm là Vậy, phương trình có 3 nghiệm , x3 = 1. Dạng tương tự: Giải phương trình: 1) 2) Nhận xét: Trong một số dạng toán với cách giải trên giúp ta công cụ hiệu quả tránh được việc biến đổi rườm ra không đi đến kết quả bài toán như việc nâng luỹ thừa của ẩn,... Chủ đề V: Đưa về luỹ thừa cùng bậc A. Phương pháp giải - Với phương trình chứa các biểu thức phức tạp như luỹ thừa bậc cao, chứa căn thức khó biến đổi đổi thông thường dẫn đến chúng ta nghĩ cách giải khác. - Phương pháp này là ta biến đổi đưa 2 vế thành luỹ thừa cùng bậc. Sau đó xét biểu thức có luỹ thừa bằng nhau. Giải phương trình đơn giản hơn. B. Vận dụng Ví dụ 14: Giải phương trình: Lời giải Vậy, phương trình có nghiệm . Các bài tập tương tự: 1) ; 2) Chủ đề VI: Phương pháp dùng bất đẳng thức A. Phương pháp - Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà (a là hằng số). - Nghiệm của phương trình là các giá trị thoả mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a. - Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m mà ta luôn có hoặc ngược lại thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra. B. Vận dụng Ví dụ 15: Giải phương trình: Lời giải Xét vế trái: Xét vế phải ta có: Nên đẳng thức xảy ra khi: Ví dụ 16: Giải phương trình: Lời giải Biến đổi phương trình: Mà Dấu “=” xảy ra khi Điều này không xảy ra, vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ 17: Giải phương trình: Lời giải Ta có: căn thức luôn xác định. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có: Dấu bất “=” xảy ra khi và chỉ khi: Vậy, nghiệm của phương trình là . Dạng bài tập tương tự: 1) Giải phương trình: 2) Tìm x, y thoả mãn: Nhận xét: Khi thực hiện phương pháp trên cần chú ý nhận dạng và đánh giá vế hợp lí để tìm được sự ràng buộc của hai vế phương trình. Chủ đề VII: Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất A. Phương pháp Một số phương trình ta có thể thử trực tiếp để tìm nghiệm của chúng sau đó tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra chúng không còn nghiệm nào khác nữa. B. Vận dụng Ví dụ 18: Giải phương trình: Lời giải Chia cả hai vế cho ta được: Dễ nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Ta xét các trường hợp sau: + Với x > 2 ta có: + Với x < 2 ta có: Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2. Ví dụ 19: Giải phương trình: Lời giải Thử giá trị x = 1993 ta có: Tại x = 1994 có: x = 1993, x = 1994 là nghiệm của phương trình. Bây giờ ta xét khoảng giá trị: + Với x < 1993 + Với 1993 < x < 1994 ta có: + Với x > 1994 ta có: Suy ra trong các khoảng trên không có nghiệm. Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 1993, x = 1994. Dạng tương tự: Giải phương trình 1) 2) D¹ng 6: Ph­¬ng tr×nh bËc cao. Trong ch­¬ng tr×nh phæ th«ng chóng ta chñ yÕu xÐt ph­¬ng tr×nh bËc cao mét Èn: anxn + an-1xn-1+....... + a1x + a0 = 0 (víi ai Z ; n N; n³ 3) A) Ph­¬ng tr×nh bËc ba. ax3 +bx2 + cx + d = 0 (a ¹ 0) (*) 1. §Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc3: ax3 +bx2 + cx + d = 0 ta th­êng thùc hiÖn c¸c b­íc sau: B­íc 1: §o¸n nghiÖm x0 cña (*). B­íc 2: §­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch khi ®ã (*) B­íc 3: Gi¶i tõng ph­¬ng tr×nh råi kÕt hîp ngiÖm . Chó ý: + Dù ®o¸n nghiÖm dùa vµo mét sè c¸ch sau: - NÕu a + b + c+ d = 0 th× (*) cã nghiÖm x = 1 - NÕu a+ c = b+ d th× (*) cã nghiÖm x = -1 - NÕu a,b,c,d nguyªn vµ (*) cã nghiÖm nguyªn x = m th× m lµ ­íc cña d. - NÕu a, b, c, d nguyªn vµ (*) cã nghiÖm h÷u tØ x = th× p lµ ­íc cña d, q lµ ­íc cña a. - NÕu ac3 = bd3 (a;d ¹ 0) th× (*) cã nghiÖm x = + BiÖn luËn ph­¬ng tr×nh bËc 3 theo tham sè: - Ph­¬ng tr×nh bËc 3 (*) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt khi: (2) cã D > 0 g(x0) ¹ 0 - Ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi: (2) cã: D = 0 vµ g(x0) ¹ 0 D > 0 vµ g(x0) = 0 - Ph­¬ng tr×nh (*) cã ®óng 1 nghiÖm khi D = 0 vµ g(x0) = 0 D < 0 + Ph­¬ng tr×nh bËc 3 nµo còng ®­a ®­îc vÒ d¹ng: y2+ my2 + ny +c = 0 b»ng c¸ch ®Æt y = ph­¬ng tr×nh sÏ cã d¹ng x3 + ax+b = 0 §Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh x3 + ax + b = 0 ta biÓu thÞ Èn x thµnh tæng 2 Èn u vµ v tøc lµ x = u + v. (v chän tuú ý). (ph­¬ng ph¸p C¸c- ®a – n«). 2, C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1:Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a, x3 – 4x2 – 3x +6 = 0 b,3x3+ 4x2 – 5 x – 6 = 0 c, x3 – 6x2 + 15x – 14= 0 d,3x3 – 5x2 –x +2 = 0 e, 2x3 + 3x2 + 6x -4 = 0 Gi¶i: a, V× a+ b + c + d = 1- 4 – 3 + 6 = 0 nªn x0 = 1 lµ 1 nghiÖm do ®ã: x3- 4x2 – 3x + 6 = 0 Û (x-1)(x2 – 3x - 6) = 0 Û x- 1 = 0 (1) x2 – 3x – 6 = 0 (2) Gi¶i (2): x2 – 3x – 6 = 0 Û x1; x2 = VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiÖm lµ S = b, Ta thÊy a – b + c – d = 3 – 4 – 5 + 6 = 0 do ®ã 3x3+ 4x2 – 5 x – 6 = 0 Û (x+1)(3x2 + x - 6) = 0 Û x+ 1 = 0 3x2 + x – 6 = 0 Û x= -1 x1,2= VËy ph­¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ S = c, x3 – 6x2 + 15x – 14 = 0 + T×m 1 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : ¦(14) = Ta thÊy 2 lµ 1 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nªn: x3 – 6x2 + 15x – 14 = 0 Û (x-2)(x2 – 4x + 7 ) = 0 Û x- 2 = 0 Û x= 2 Û x= 2 x2 – 4x + 7 = 0 xÎÆ VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ:S = d, 3x3 – 5x2 –x +2 = 0 (f(x) = 0) * T×m 1 nghiÖm x0 cña ph­¬ng tr×nh: - u(2) = - u(3) = - LËp c¸c tû sè: - TÝnh f(): ......... - ThÊy f () = 0 nªn x = lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Do ®ã 3x3 – 5x2 – x + 2 = 0 Û 3(x - )(x2 – x - 1) = 0 Û x- = 0 x2 – x – 1 = 0 Û x = x = VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiÖm lµ : S = e, 2x3 + 3x2 + 6x - 4 = 0 (®Æt f(x)= 2x3 + 3x2 + 6x - 4) ¦(4) = ¦(2) = LËp c¸c tû sè: . TÝnh f() ThÊy f() = 0 nªn x = lµ mét nghiÖm cña f(x). Do ®ã 2x3 + 3x2 + 6x – 4 = 0 Û (x- )(2x2 + 4x + 8) = 0Û x - = 0 2x2 + 4x + 8 = 0 (ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm ) VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ: S = VD2: Cho ph­¬ng tr×nh : x3 – (2m + 1 )x2 + (3m + 1)x – (m+ 1) = 0 (1) . (m lµ tham sè). X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) : a. cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. b. cã 1 nghiÖm kÐp vµ 1 nghiÖm ®¬n. c. cã 1 nghiÖm béi ba. d. cã 3 nghiÖm. e. cã 1 nghiÖm duy nhÊt. Gi¶i: Ta cã x3 – (2m + 1)x2 + (3m + 1)x – (m+1) = 0 Û (x- 1)(x2 – 2mx + m +1) = 0 XÐt D/g = m2 – m – 1 XÐt dÊu: m -¥ +¥ D/ + 0 _ 0 + a, Ph­¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi: g(1) ¹ 0 D/g > 0 VËy... b. Ph­¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm kÐp vµ 1 nghiÖm ®¬n khi vµ chØ khi: VËy ... c. Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm béi ba (x1 = x2 = x3) khi vµ chØ khi: g(1) = 0 Û Û D/g = 0 m = 2 M = m Î Æ VËy ... d, Ph­¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm Û D/g ³ 0 Û m £ m ³ VËy... Bµi tËp tù luyÖn: Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau: a, 2x3 + x2 – 5x + 2 = 0 b, 2x3 + x + 3 = 0 c, 3x3 – 8x2 – 2x +4 = 0 d, x3 + x2 - x -2 = 0. Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh. x3 – (2m +1)x2 +3(m+4)x – m - 12 = 0 (1) a, Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = -12 b, X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh: mx3 + (3m-4)x2 + (3m -7)x + m - 3 = 0 a, Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 3. b, T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm phan biÖt kh«ng ©m. Bµi 4: Gi¶i vµ biÖn luËn theo a nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : x3 – (2a+ 1)x2 + (a2+ 2a - b)x – (a2 - b) = 0 Bµi 5: X¸c ®Þnh m trong ph­¬ng tr×nh : 6x3 – 7x2 – 16x + m = 0. BiÕt r»ng x = 2 lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. T ×m nghiÖm cßn l¹i? (TrÝch ®Ò thi chuyªn Th¸i B×nh 1999-2000) Bµi 6: XÐt c¸c ®a thøc P(x) = x3 + ax2 + bx +c Q(x) = x2 + x + 2005. BiÕt ph­¬ng tr×nh P(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Cßn ph­¬ng tr×nh Q(x) = 0 v« nghiÖm. Cmr: P(2005) > (TrÝch ®Ò thi chuyªn Th¸i B×nh : 2005- 2006) B. Ph­¬ng tr×nh bËc bèn mét Èn. I, Kh¸i niÖm. Ph­¬ng tr×nh bËc bèn mét Èn víi hÖ sè nguyªn lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: ax4 +bx3 + cx2 + dx + e = 0 trong ®ã: a, b, c, d, e Î Z a ¹ 0 x: Èn Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®a thøc bËc cao lµ mét vÊn ®Ò phøc t¹p vµ khã kh¨n.. Ng­êi ta ®· chøng minh ®­îc r»ng kh«ng thÓ gi¶i b»ng c¨n thøc c¸c ph­¬ng tr×nh bËc cao h¬n bèn d­íi d¹ng tæng qu¸t. Ta chØ xÐt mét sè ph­¬ng tr×nh bËc bèn cã d¹ng ®Æc biÖt. II, C¸c d¹ng ph­¬ng tr×nh bËc bèn ®Æc biÖt th­êng gÆp. 1, Ph­¬ng tr×nh bËc bèn gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch: §Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh ax4 + bx3 +cx2 + dx + e = 0 (1) ta thùc hiÖn theo c¸c b­íc: B­íc 1: §o¸n nghiÖm x1, x2,.... cña ph­¬ng tr×nh (1): C¨n cø: NÕu a + b + c + d + e = 0 th× ph­¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm : x1 = 1 NÕu a – b + c – d + e = 0 th× ph­¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm : x = -1 NÕu (1) cã nghiÖm nguyªn x= x0 th× x0 lµ ­íc cña e. NÕu (1) cã nghiÖm h÷u tØ th× p lµ ­íc cña e. q lµ ­íc cña a. B­íc 2: Ph©n tÝch (1) thµnh: (x – x1)(x-x2)(ax2 + b1x + c1) = 0 Û x = x1 x = x2 ax2 + b1x + c1 = 0 (1/) B­íc 3: Gi¶i (1/) råi kÕt luËn nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) VD1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0. Gi¶i: Ta thÊy a + b + c + d + e = 1 – 4 + 16 – 12 = 0 Do ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm x = 1 Khi ®ã : x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 = 0. Û (x – 1)(x3 - 3x2 – 4x +12) = 0 Û (x - 1)(x - 2)(x2 - x - 6) = 0 x – 1 = 0 Û x – 2 = 0 x2 - x – 6 = 0 x = 1 Û x = 2 x = -2 x = 3 VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ S = Chó ý: NÕu c¸c ph­¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm kh«ng cã t¸c dông ta cã thÓ biÕn ®æi thµnh ph­¬ng tr×nh tÝch (tÝch cña hai tam thøc bËc hai. VD2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x4 – 2x3 + 10x – 25 = 0. (2) Gi¶i: (2) Û ( x4 + 2x3 +x2) – ( x2 – 10x + 25) = 0 Û ( x2 + x)2 – (x - 5)2 = 0 Û ( x2 + 2x -5)(x2 +5) = 0 Û x2 + 2x -5 = 0 x2 +5 = 0 (v« nghiÖm) Û x = -1+ x = -1- VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm x1,2 = -1 VD3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : x4 – 6x3 + 12 x2 -14x + 3 = 0. (3) Gi¶i: Ph­¬ng trt×nh trªn kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ. §Æt f(x) = x4 – 6x3 + 12 x2 -14x + 3 = 0. NÕu f(x) ph©n tÝch ®­îc thµnh thõa sèth× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) Ta cã : (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x + bd §ång nhÊt ®a thøc nµy víi ®a thøc ®· cho ta cã: a + c = -6 a = -2 ac + b + d =12 b = 3 ad + bc = -14 c = -4 bd = 3 d = 1 Khi ®ã (3) Û (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1) = 0 Û x2 - 2x + 3 = 0 (3.1) x2 - 4x + 1 = 0 (3..2) Gi¶i (3.1): x2 - 2x + 3 = 0 (v« nghiÖm) Gi¶i (3.2): x2 - 4x + 1 = 0 cã x1,2 = 2 VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2nghiÖm ph©n biÖt : x1,2 = 2 2. Ph­¬ng tr×nh hÖ sè ®èi xøng bËc bèn. D¹ng tæng qu¸t : ax4 + bx3 + cx2 +bx + a = 0. (a ¹ 0) VD1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x +10 = 0 (1) GI¶i: Ta thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) x ¹ 0 x2 ¹ 0 Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1) cho x2 ta ®­îc: 10x2 – 27x- 110 - = 0 Û 10(x2 + ) – 27(x+) -110 = 0 §Æt x+ = t x2 + = t2 – 2 Ta cã : 10t2 – 27t – 130 = 0 Û t1 = - t2 = Víi t1 = - x+ = - Û 2x2 +5x + 2 = 0 Û x1 = x2 = - 2 Víi t2 = x+ = Û 5x2 - 26x + 5 = 0 Û x3 = x4 = 5 VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ: S = Chó ý: + NÕu ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0. (a ¹ 0) th× ®Æt x - = t. + Ph­¬ng tr×nh hÖ sè ®èi xøng bËc 5: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0. (a ¹ 0) (*) cã 1 nghiÖm x = -1 V× tæng c¸c hÖ sè cña luü thõa bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña luü thõa bËc lÎ Nªn (*) Û (x – 1) ax4 + (b-a)x3 + (c +a-b)x2 + (b-a)x + a = 0 Khi ®ã ta ®· chuyÓn ph­¬ng tr×nh ®èi xøng bËc 5 vÒ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n . 3. Ph­¬ng tr×nh håi quy. D¹ng tæng qu¸t: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. (a ¹ 0) Trong ®ã Ph­¬ng tr×nh hÖ sè ®èi xøng bËc 4 lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña ph­¬ng tr×nh håi quy. C¸ch gi¶i: -T­¬ng tù ph­¬ng tr×nh hÖ sè ®ãi xøng bËc 4. - §Æt VD: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : x4 - 4x3 - 9x2 + 8x + 4 = 0. (1) Ta thÊy nªn ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh håi quy. x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) x ¹ 0 x2 ¹ 0 khi ®ã (1) Û §Æt = t2+4 , ta cã : t2 – 4t – 5 = 0 Û t1= -1 t2 = 5 Nªn ta cã: = -1 = 5 Û x2 + x - 2 = 0 x2 - 5x- 2 = 0 x1 =1 Û x2 = -2 x3,4 = VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ: : S = 4. Ph­¬ng tr×nh d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (4) Trong ®ã : a + d = b + c C¸ch gi¶i: + (4) Û (x+a)(x+d). (x+b)(x+c) – m = 0 +........ + §Æt ¶n phô. VD: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = -15 (4) Gi¶i: Ta thÊy: 1+7 = 3+5 nªn (4) Û (x+1)(x+7). (x+3)(x+5) +15 = 0 Û (x2+8x+7) (x2+8x+15) +15 = 0 §Æt x2+8x+7 = y ta cã: y2+8y+15 = 0 Û y1 = -3 y2 = -5 Khi ®ã: x2+8x+7 = -3 x2+8x+15 = -5 x1,2 = -4 Û x3 = -2 x4 = -6 VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ: : S = . 5. Ph­¬ng tr×nh d¹ng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 Trong ®ã ad = bc VD : Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (x-4)(x-5)(x-8)(x-10) = 72x2 (5) Ta thÊy (-4)(-10) = (-5)(-8) Nªn (5) Û (x-4) (x-10) . (x-5) (x-8) = 72x2 Û (x2-14x+40)(x2-13x+40) = 72x2 Û (v× x2 ¹ 0 ) Û §Æt ta cã: Û t1,2 = Nªn ta cã: x2-5x + 40 = 0 x2-22x+40 = 0 Û x1 = 2 x2 = 20 VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ: : S = . 6. Ph­¬ng tr×nh d¹ng: Trong ®ã : a; b;c Î R. C¸ch gi¶i: §Æt VD: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (x+3)4 + (x-1)4 = 626 §Æt x+1 = y ta cã: (y+2)4 + (y-2)4 = 626 Û y4 + 24y2 – 297 = 0 . Û y1;2 = Do ®ã: x1 = 2 ; x2 = -4 VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm : x1 = 2 ; x2 = -4 . 7. Ph­¬ng tr×nh bËc bèn gi¶i b»ng Èn phô bËc hai. C¸ch gi¶i: + B­íc 1: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: A(x2+b1x+c1)2 + B(x2+b1x+c1) + c = 0 + B­íc 2: §Æt x2+b1x+c1 = t ta cã : At2 + Bt + c = 0 (*) + B­íc 3: Gi¶i (*)t... x... VD: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a, x4 - 8x3 + 7x2 + 36x - 36 = 0 b, 2(x2-x+1)2 + x3 +1 = (x+1)2 Gi¶i: a, Ta cã x4 - 8x3 + 7x2 + 36x - 36 = 0 Û (x2-4x)2 – 9(x2-4x)+ 36 = 0 §Æt x2- 4x = t ta cã t2 – 9t + 36 = 0 Û t1 = 12 t2= -3 Do ®ã: x2- 4x = 12 Û x2- 4x -12 = 0 Û x1 = - 2 ; x2 = 6 . x2- 4x = -3 x2- 4x + 3 = 0 x3 = 1 ; x4 = 3. VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ: : S = . b, Ta thÊy x = -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. x +1 ¹ 0 (x+1)2 ¹ 0 Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho (x+1)2 ta cã: §Æt ta cã: 2t2+ t - 1 = 0 Û t= -1 t = Do ®ã: Û x2 + 2 = 0 (v« nghiÖm) 2x2-3x+1 = 0 Û x = 1 x = VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ: : S = . Bµi tËp tù luyÖn. Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a, 2x4-13x3+24x2-13x+2 = 0 b, 3x5-10x4+3x3+3x2-10x+3 = 0 c, x4+5x3-14x2-20x+16 = 0 d, (x2-4x+40)(x2-13x+40) = 72x2 e, (x-90)(x-35)(x+18)(x+7) = -1080x2 g, (x+5)4 + (x+1)4 = 80 Bµi 2 : Cho ph­¬ng tr×nh: x4+ (2m - 1)x3+ (m2 - 2m)x2 - (m2-m+1)x - m+1 = 0 (m lµ tham sè) a, Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - 1 b, X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh : x4- 4m x2 + 4(m2 – 1)x2 + 12x – 9 = 0 X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã : a, §óng 1 nghiÖm. b, §óng 2 nghiÖm ph©n biÖt c, §óng 3 nghiÖm ph©n biÖt. d, §óng 4 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 4: Cho ph­¬ng tr×nh x4 – (m+2)x2 + m = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh : a, Cã nghiÖm duy nhÊt. b, Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. c, Cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. d, cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh : (x + 2)4 + (x + 6)4 = m2 – 2 a, Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 2 b, T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh : * Cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. * Cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. * Cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 6: Cmr nÕu ph­¬ng tr×nh ax4 + bx3 + cx2 – 2bx + 4a = 0 (a ¹ 0) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho· m·n x1 . x2 = 1 th× 5a2 = 2b2 + ac)