Giáo án Tự chọn Chủ đề: Hệ phương trình

CHUYÊN ÐỀ 3: Tiết 26: KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. KIẾN THỨC CÕ BẢN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn * Nhắc lại về phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng : ax + b = 0 (a ≠ 0) có nghiệm duy nhất x = Ví dụ : Phương trình 2x + 3 = 0 có nghiệm duy nhất x = ; * Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c (1) trong đó a,b và c là các số đã biết, (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0). Ví dụ: Các phương trình 3x - 2y = 2, x + 5y = 0, 0x + 4y = 3, x + 0y = 10 là những phương trình bậc nhất hai ẩn. * Phương trình (1) có nghiệm là cặp số (x0 ; y0) thỏa mãn ax0 + by0 = c Ví dụ: Cặp số (3 ; 5) là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.3 – 5 = 1 * Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ (x0;y0) 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: (I) Ví dụ 1: ; ; là các hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. +) Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung (x0;y0) thì (x0;y0) là một nghiệm của hệ (I). Ví dụ 2: có một cặp nghiệm (1;2); +) Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm Ví dụ: Hệ vô nghiệm. + Cho hệ phương trình Hệ vô số nghiệm khi . Nghiệm tổng quát là hoặc Hệ vô nghiệm khi Hệ có nghiệm duy nhất khi II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không: (-4 ; 5) (3 ; 11) Bài 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ và cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau. a) b) c) d) Bài 3: Cho hệ phương trình: Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất? III. BÀI TẬP ÐỀ NGHỊ Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không: (1,5 ; 2), (3 ; 7) và b) (1 ; 8) Bài 2: Cho hệ phương trình: a) Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ của hệ phương trình trên. b) Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất? Vô nghiệm? Tiết 27 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I. KIẾN THỨC CÕ BẢN *) Quy tắc thế:Quy tắc: Sgk trang 13 Dạng 1: Hệ phương trình chỉ có một nghiệm. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: Giải Bước 1: Từ phương trình (1) biểu diễn x theo y, ta có x = 3y + 2 *) Thế phương trình vào phương trình (2), ta được : -2 (3y + 2) + 5y = 1 Bước 2: Dùng phương trình thay thế cho pt Và dùng phương trình thay thế cho phương trình , ta được hệ mới: Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: Giải: Ta có: Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: (III) Giải: Ta có: Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (x;y) = (10;7) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: Giải: Nhận xét: Ta phải chia cả hai vế của một trong hai phương trình trên cho hệ số của x hoặc y. Ta có: Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (x;y) = (7;5) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) b) Bài 2: Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5:3), B III. BÀI TẬP ÐỀ NGHỊ Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) b) Bài 2: Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình có nghiệm là (1;-2) TIẾT 28: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I. KIẾN THỨC CÕ BẢN Dạng 2: Hệ phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: Giải: Ta có: Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: Giải: Ta có Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm. Dạng 3: Hệ phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: Giải: Ta có: Không có x thoả mãn phương trình . Vậy hệ phương trình (III) vô nghiệm. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: Giải: Nhận xét : Ta chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho hệ số của x hoặc của y . Không có x thoả mãn phương trình . Vậy hệ phương trình (IV) vô nghiệm. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) b) Bài 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1): 5x -2y = 3, (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục tung. III. BÀI TẬP ÐỀ NGHỊ Bài 1: Giải hệ phương trình: Bài 2: Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau: a) a = -1 b) a = 0 c) a = 1 TIẾT 29: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CÕ BẢN - Quy tắc cộng đại số: (SGK – Tr 16) *Dạng 1: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Nhận xét: Hệ số của ẩn x bằng nhau, trừ vế với vế hai phương trình ta được: Giải phương trình (1) ta được y = 4. Thay y = 4 vào phương trình (2) ta được 4x + 7.4 = 16 ó x = - 3. Ta trình bày lời giải như sau: ó ó Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-3; 4) *Dạng 2. Hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình đối nhau Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Nhận xét: Hệ số của ẩn y đối nhau, cộng vế với vế hai phương trình ta được: Giải phương trình (1) ta được x = 2 thay x = 2 vào phương trình (2) ta được 2.2 –y = 7 ó y = -3. Ta trình bày lời giải như sau: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -3) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. a,Giải hệ phương trình (I) Trừ vế với vế của pt (1) cho pt (2) ta được: (I) V ậy ( là nghiệm của hệ phương trình b. Giải hệ phương trình sau: (II) Cộng vế với vế của pt (1) và pt (2) ta được: phương trình vô nghiệm Vậy hệ đã cho vô nghiệm Bài 2. Giải hệ phương trình sau Vậy nghiệm của hệ là (2;1) III. BÀI TẬP ÐỀ NGHỊ Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: a) b) c) Bài 2: a) b) c) TIẾT 30: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CÕ BẢN * Dạng 3: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau nhưng có một hệ số là bội của hệ số kia của cùng một ẩn Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: Nhận xét: Hệ số của ẩn x ở phương trình (1) là bội của hệ số của ẩn x của phương trình (2). Ta nhân hai vế của PT (2) với 2, ta được 4x + 2y =8 Ta được hệ (Dạng 1) Ta trình bày lời giải như sau: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; -2) * Dạng 4. Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau và không là bội của nhau. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Cách giải: Nhân PT (1) với 4, nhân PT (2) với 3 để hệ số của ẩn x trong hai phương trình của hệ bằng nhau (Dạng 1). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng: a. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (-1 ; 0) b. Bài 2: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm A và B. Biết A(2; -2) và B(-1; 3). Giải Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -2) nên toạ độ điểm A thoả mãn y = ax + b: Ta có 2a + b = -2 (1) Đồ thị hàm số đi qua điểm B(-1; 3). nên toạ độ điểm B thoả mãn y = ax + b: Ta c ó –a + b = 3 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Vậy với ; thi đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3). III. BÀI TẬP ÐỀ NGHỊ Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: a) b) Bài 2 : Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m-5)x – 5m đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 3y = 7 và (d2): 3x + 2y = 13. TIẾT 31: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ BẰNG CHƯƠNG TRÌNH GÀI SẴN TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO I. KIẾN THỨC CÕ BẢN * Ấn MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX500MS * Ấn MODE MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX5700MS * Tắt máy (thoát khỏi màn hình làm việc với giải hệ phương trình) ấn MODE 2 III. BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải các hệ phương trình sau: Bài 1. (bài 38- SBT toán 9 tập II) Bài 3 (bài 24 SGK toán 9 tập II trang 19) Trước hết phải đưa hệ PT về dạng hệ PT bậc nhất hai ẩn tổng quát (hệ II) Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT Ấn MODE 2 5 DATA 1 +/- DATA 4 DATA 3 DATA 1 +/- DATA 5 DATA Kết quả : x = - 0,5 DATA Kết quả : y = - 6,5 Bài 4 (bài 20 SBT toán 9 tập II) Trước hết phải đưa hệ PT về dạng hệ PT bậc nhất hai ẩn tổng quát (hệ III) Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT Bài 5: (Bài 40 ý a SGK toán 9 tập II trang 27) Kết quả : -E- (Hệ PT trên vô nghiệm ) III. BÀI TẬP ÐỀ NGHỊ Bài 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số sau đó sử dụng máy tính CASIO để kiểm tra kết quả a) b) Bài 2. Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế sau đó sử dụng máy tính CASIO để kiểm tra kết quả a) b) TIẾT 32: BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. KIẾN THỨC CÕ BẢN Vận dụng các quy tắc đã học (quy tắc cộng, quy tắc thế) để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. * Lưu ý: Có sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải các hệ phương trình sau Giải a. Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất, ta có: Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (-2; 1) b. Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai, ta có: Vậy hệ (II) có nghiệm duy nhất (-1; -2) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau Giải a. Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (III), ta được Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (-3; 2) b. Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (IV), ta được Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (-2; 1) Bài 3: Giải các hệ phương trình sau Giải a. Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (V), ta được Vậy hệ (V) có nghiệm duy nhất b. Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (VI), ta được Vậy hệ (VI) có nghiệm duy nhất (-3; 4) Bài 4: Giải các hệ phương trình sau Giải a. Hệ số của ẩn x trong phương trình (1) là bội của hệ số cùng ẩn x trong phương trình (2) nên ta nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2, ta được Vậy hệ (VII) có nghiệm duy nhất b. Nhân hai vế phương trình (3) với 4, nhân hai vế của phương trình (4) với 3, ta được Vậy hệ (VIII) có nghiệm III. BÀI TẬP ÐỀ NGHỊ. Giải các hệ phương trình sau Bài 1: Bài 2: TIẾT 33: BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. KIẾN THỨC CÕ BẢN Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, thế, và phương pháp đặt ẩn phụ II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải các hệ phương trình sau: a) b) BÀI GIẢI a) (I) Đặt (1) (I) (2) Thay (2) vào (1) ta được: Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử ) b) (II) Đặt (3) (II) (4) Thay (4) vào (3) ta được: Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử III. BÀI TẬP ÐỀ NGHỊ Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) Chuû ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH – HEÄ PHÖÔNG TRÌNH (06 tieát) I. MUÏC TIEÂU: - HS naém vöõng caùc daïng toaùn veà phöông trình baäc hai: daáu cuûa caùc nghieäm; moái quan heä giöõa caùc nghieäm; veà heä phöông trình baäc nhaát hai aån - Reøn luyeän kyû naêng giaûi caùc baøi toaùn coù tham soá m vaø caùc ñieàu kieän cuûa nghieäm, Giaûi caùc heä phöông trình - Bieát caùch chöùng minh moät phöông trình baäc hai luoân luoân coù nghieäm vaø bieát tìm caùc heä thöùc giöõa caùc nghieäm ñoäc laäp ñoái vôùi m II. NOÄI DUNG: A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT CÔ BAÛN 1) Heä phöông trình baäc nhaát moät aån: Coù daïng: (I) Caùc caùch giaûi: *) Phöông phaùp ñoà thò: - Heä (I) voâ nghieäm (d) // (d’) - Heä (I) coù moät nghieäm duy nhaát (d) caét (d’) - Heä (I) coù voâ soá nghieäm (d) (d’) *) Giaûi baèng ñaïi soá: - Phöông phaùp theá - Phöông phaùp coäng ñaïi soá 2) Phöông trình baäc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) Caùc caùch giaûi phöông trình baäc hai moät aån: a) Coâng thöùc nghieäm: D = b2 – 4ac > 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1 = ; x2 = = 0 phöông trình coù nghieäm keùp: x1 = x2 = < 0 phöông trình voâ nghieäm b) Coâng thöùc nghieäm thu goïn: D’ = b’2 – ac ’ > 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1 = ; x2 = ’ = 0 phöông trình coù nghieäm keùp: x1 = x2 = ’ < 0 phöông trình voâ nghieäm c) Nhaåm theo heä soá a, b, c: - Neáu phöong trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) coù a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = - Neáu phöong trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) coù a - b + c = 0 thì x1 = - 1; x2 = - 2. Ñònh lyù Vi eùt: a) Neáu p.trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 coù nghieäm x1; x2 thì toång vaø tích caùc nghieäm ñoù laø: S = x1 + x2 = ; P = x1.x2 = b) Neáu hai soá x1; x2 coù S = x1 + x2 vaø P = x1.x2 thì hai soá ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình: x2 – Sx + P = 0 3. C.minh moät phöông trình baäc hai luoân luoân coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m - Böôùc 1: Laäp - Böôùc 2: Bieán ñoåi veà daïng: = A2 0 vôùi moïi m hoaëc = A2 + k > 0 vôùi moïi m 4. Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thoaû maõn moät heä thöùc naøo ñoù ta tieán haønh: Laäp Phöông trình coù nghieäm khi 0. Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m AÙp duïng ñònh lyù Vi eùt tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2 Bieán ñoåi ñeà baøi thaønh moät daõy caùc pheùp tính coù chöùa toång vaø tích Thay S vaø P vaøo suy ra giaù trò cuûa m Ñoái chieáu ñieàu kieän vaø keát luaän 5. Tìm moät heä thöùc giöõa caùc nghieäm ñoäc laäp ñoái vôùi m Khöû m töø S vaø P ta seõ ñöôïc heä thöùc caàn tìm 6. Moät soá heä thöùc khaùc: Phöông trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) coù: - Hai nghieäm traùi daáu a.c < 0 hoaëc - Hai nghieäm ñeàu döông - Hai nghieäm ñeàu aâm - Moät soá coâng thöùc caàn löu yù: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2; (x1 - x2 )2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2; x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1.x2(x1 + x2) B. LUYEÄN TAÄP: Hoaït ñoäng Noäi dung Baøi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau: a) b) c) a) Giaûi ra ta ñöôïc: (x; y) = (11; -3) b) Giaûi ta ñöôïc (x; y) = () c) Giaûi ra ta ñöôïc (x; y) = (2; 5) Baøi 2: Cho heä phöông trình: Giaûi heä phöông trình khi a = -2 Tìm a ñeå heä phöông trình coù nghieäm a) khi a = -2 thay vaøo heä PT ñaõ cho ta ñöôïc heä PT: Giaûi ra ta ñöôïc (x; y) = (-1; 3) b) Tröø hai PT theo veá, ta ñöôïc: [a – 2a(1 – a)].x = -10 (2a2 – a).x = -10 (1) Phöông trình 91) coù nghieäm (2a2 – a) ¹ 0 Vaäy vôùi thì heä p.trình ñaõ cho coù nghieäm Baøi 3: Xaùc ñònh giaù trò cuûa a, b ñeå heä phöông trình coù nghieäm x = 4; y = 3. Vì x = 4; y = 3 laø nghieäm cuûa heä PT ñaõ cho, neân thay vaøo ta ñöôïc heä PT: Giaûi ra ta ñöôïc a = Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 7x2 -12x + 5 = 0; b) c) x2 - 2(1+)x + 2 = 0 d) x2 - (x + = 0 a) 7x2 -12x + 5 = 0 (a = 7; b = -12; c = 5) Ta thaáy a + b + c = 7 + (- 12) + 5 = 0 Vaäy nghieäm phöông trình x1 = 1; x2 = b) (1) ÑK: x ¹ 0; x ¹ -1 (1) x2 + (x + 1)2 = -2x(x + 1) 4x2 + 4x + 1 = 0 Giaûi ra ta ñöôïc x1 = x2 = c) x2 - 2(1+)x + 2 = 0 (a = 1; b = - 2(1+); b’ = - (1+); c = 2 D’ = b’2 – ac = [- (1+)]2 - 2 = 4 > 0 => x1 = 3 + ; x2 = - 1 Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau: a) ; b) (x2 – 6x + 9)2 + x2 – 6x – 3 = 0 c) d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = a) Ñaët t = , ta coù phöông trình t2 – 10t + 9 = 0 Giaûi ra ta ñöôïc t1 = 1; t2 = 9 - Vôùi t1 = 1 thì = 1 => x = - Vôùi t2 = 9 thì = 9 => x = 8 b) Ñaët t = x2 – 6x + 9 ta coù phöông trình t2 + t - 12 = 0 Giaûi ra ta ñöôïc t1 = 3; t2 = -4 - Vôùi t1 = 3 thì x2 – 6x + 9 = 3 => x1 =.....; x2 = ..... - Vôùi t2 = -4 thì x2 – 6x + 9 = -4 => x3 =.....; x4 = ..... Keát luaän: c) (ñk: x ³ -7) *) x + 7 x < -6 Do ñoù -7 x < -6, ta coù: 0 = 2 => phöông trình voâ nghieäm *) ³ 0 x + 7 ³ 1 x ³ -6 ta coù: x = -3 Vaäy phöông trình coù nghieäm laø x = -3. d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16.(8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16. (8x + 7)2.(8x + 6).(8x + 8) = 72 Ñaët t = 8x + 7, ta coù PT: t2.(t – 1)(t + 1) = 72 t4 – t2 – 72 = 0 Giaûi ra ta ñöôïc t = ± 3, khi ñoù x1 = Baøi 6: Cho phöông trình x2 + (2a – 5)x – 3b = 0 Xaùc ñònh a; b ñeå phöông trình coù hai nghieäm laø x1 = 2; x2 = -3 Thay x1 = 2; x2 = -3 laàn löôït vaøo phöông trình, ta ñöôïc: Baøi 7: Chöùng minh raèng phöông trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 3 luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi m Î R. Phöông trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 3 = 0 D’ = [-(m+1)]2 – 2m + 3 = m2 + 4 > 0 vôùi moïi m Ñieàu naøy chöùng toû phöông trình luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi m Î R. Baøi 8: Cho phöông trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (m ¹ 1) a) Chöùng toû raèng phöông trình luoân luoân coù hai hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi m ¹ 1 b) Khoâng giaûi phöông trình, haõy xaùc ñònh giaù trò cuûa m ñeå tích hai nghieäm baèng 3. Töø ñoù tính toång hai nghieäm aáy. a) Phöông trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 D’ = (-m)2 – (m – 1)(m + 1) = m2 – m2 + 1 = 1 > 0 vôùi moïi m. Ñieàu naøy chöùng toû phöông trình luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi m ¹ 1. b) Theo heä thöùc viet, ta coù: theo ñeà baøi x1.x2 = 3 ta suy ra m = 2 Vôùi m = 2, ta laïi coù x1 + x2 = 4 Baøi 9: Cho phöông trình x2 + (k – 1)x – k = 0 Xaùc ñònh k ñeå phöông trình coù nghieäm keùp. Tìm nghieäm keùp ñoù. Xaùc ñònh k ñeå phöông trình coù hai nghieäm ñeàu döông a) D = (k – 1)2 + 4k =........= (k + 1)2 Phöông trình coù nghieäm keùp D = 0 k = -1 Khi ñoù nghieäm keùp laø: x1 = x2 = 1 b) Theo heä thöùc Viet, ta coù: Phöông trình coù hai nghieäm ñeàu döông Baøi 10: Cho phöông trình: 2x2 – 3mx – 2 = 0 CMR raèng vôùi moïi giaù trò cuûa m thì phöông trình luoân coù hai nghieäm phaân bieät Goïi x1; x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình. Tìm giaù trò cuûa m ñeå S = x12 + x22 ñaït giaù trò nhoû nhaát. Tính giaù trò nhoû nhaát ñoù. Tính theo m a) D = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > 0 vôùi moïi m Ñieàu naøy chöùng toû phöông trình luoân coù hai nghieäm phaân bieät b) Theo heä thöùc Viet, ta coù: Khi ñoù S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2 x1. x2 = + 2 ³ 2 Daáu “=” xaûy ra khi = 0 m = 0 Vaäy min S = 2 khi m = 0 c) Ta coù: Baøi 11: Cho phöông trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 Giaûi phöông trình vôùi m = 4 Chöùng minh raèng phöông trình luoân coù nghieäm vôùi moïi m Tìm moät heä thöùc lieân heä giöõa hai nghieäm khoâng phuï thuoäc vaøo m Xaùc ñònh giaù trò cuûa m sao cho phöông trình coù hai nghieäm baèng nhau veà giaù trò tuyeät ñoái vaø traùi daáu nhau. a) Khi m = 4, giaûi ra ta ñöôïc nghieäm PT: x1 = ; x2 = b) D’ = (m – 1)2 – (m – 3) =.......= m2 – 3m + 4 = vôùi moïi m Ñieàu naøy chöùng toû PT luoân coù hai nghieäm vôùi moïi m c) Theo heä thöùc Viet, ta coù: Heä thöùc lieân heä giöõa hai nghieäm khoâng phuï thuoäc vaøo m laø: x1 + x2 - 2 x1.x2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) = 4 d) Phöông trình coù hai nghieäm baèng nhau veà giaù trò tuyeät ñoái vaø traùi daáu nhau khi vaø chæ khi: Baøi 12: Cho phöông trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 a) Giaûi phöông trình khi m = 5 b) Chöùng minh raèng phöông trình luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi m c) Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu d) Chöùng minh raèng bieåu thöùc S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) khoâng phuï thuoäc vaøo m a) Giaûi ra ta ñöôïc x1 = ; x2 = b) D’ = (m + 1)2 – (m – 4) =.......= m2 + m + 5 = vôùi moïi m Ñieàu naøy chöùng toû PT luoân coù hai nghieäm vôùi moïi m c) phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu a.c < 0 m – 4 m < 4 d) Theo heä thöùc Viet, ta coù: Khi ñoù: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 + x2 - 2 x1.x2 = 2m + 2 – 2m + 8 = 10 Ñieàu naøy chöùng toû bieåu thöùc S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) khoâng phuï thuoäc vaøo m Baøi 13: Cho phöông trình: (2m – 1) x2 – 2(m + 4) x + 5m + 2 = 0 a) Giaûi phöông trình khi m = - 1 b) Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm a) Giaûi ra ta ñöôïc x = 1 b) Ta coù: D’ = (m + 4)2 – (2m – 1).(5m + 2) =................ = -(9m2 - 9m – 18) Phöông trình coù hai nghieäm khi vaø chæ khi: C. BAØI TAÄP VEÀ NHAØ: Baøi 1: Cho phöông trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 vôùi m laø tham soá: Chöùng minh raèng phöông trình luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi m 1 Xaùc ñònh giaù trò cuûa m ñeå phöông trình coù tích hai nghieäm baèng 5, töø ñoù haõy tính toång hai nghieäm cuûa phöông trình Tìm moät heä thöùc giöõa hai nghieäm khoâng phuï thuoäc m Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm x1, x2 thoaû maõn heä thöùc: HD: a) ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. b) AÙp duïng ñònh lyù Vieùt ta coù: x1.x2 = = 5 m = Khi ñoù: x1 + x2 = = 6 c) x1 + x2 = = – 1 + 1 = x1.x2 + 1 Vaäy heä thöùc caàn tìm laø: x1.x2 – (x1 + x2) + 1 = 0 d) 2(x12 + x22) + 5x1x2 = 0 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = 0 2(x1 + x2)2 + x1x2 = 0 2. = 0 9m2 = 1 m = Baøi 2: Cho phöông trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0 a) Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm b) Goïi x1; x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình. Tính x12 + x22 theo m c) Tìm m sao cho x12 + x22 = 12 HD:a) Ta coù ’ = (m + 1) 2 – m2 + 4m – 5 = 6m – 4 Phöông trình coù nghieäm khi ’ 0 m b) Aùp duïng heä thöùc Viet ta coù S = x1 + x2 = 2(m + 1); P = x1. x2 = m2 – 4m + 5 x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12 4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12 2m2 + 16m – 6 = 12 m2 + 8m – 9 = 0 m1 = 1; m2 = -9 (loaïi) Baøi 3: Cho phöông trình x2 + mx – m2 + m – 1 = 0 a) Chöùng minh phöông trình luoân coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa m. Xaùc ñònh daáu cuûa caùc nghieäm b) Goïi x1; x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình. Tìm m ñeå x12 + x22 ñaït giaù trò nhoû nhaát HD: a) Vì phöông trình coù heä soá a = 1 > 0 vaø c = – m2 + m – 1 = -(m - )2 - < 0 neân ac < 0 vôùi moïi m. Vaäy phöông trình luoân coù hai nghieäm traùi daáu b) Aùp duïng heä thöùc Viet ta coù: S = x1 + x2 = -m; P = x1.x2 = – m2 + m – 1 x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2= 4m2 – 2m + 2 = (m - )2 + vôùi moïi m.Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa x12 + x22 laø khi m = Baøi 4 : Cho phöông trình: x2 - 2x - m2 - 4 = 0 Chöùng toû phöông trình luoân luoân coù hai nghieäm phaân bieät x1 vaø x2. Tìm m sao cho phöông trính nghieäm x = - 2 vaø tính nghieäm kia. Tìm m sao cho : + ) x12 + x22 = 20 +) x1 = -2x2 +) x1 - x2 = 10 Baøi 5 : Cho phöông trình: x2 - 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù nghieäm soá . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì hai nghieäm soá x1 vaø x2 cuûa phöông trình nghieäm ñuùng heä thöùc x1 - x2 = 4 Baøi 6 : Cho phöông trình : x2 + 3x + 2 - m = 0 (1) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình (1) coù moät nghieäm laø 3 . Giaûi phöông trình (1) khi m = 6 . Xaùc ñònh m ñeå hai nghieäm x1 , x2 cuûa phöông trình ( 1) thoûa maõn heä thöùc:x12 + x22 = 3. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình (1) coù hai nghieäm traùi daáu . Baøi 7 : Cho phöông trình coù aån soá x ( m laø tham soá ). x2 - mx + m - 1 = 0 Chöùng toû phöông trình coù nghieäm x1;x2 vôùi moïi m. Tính nghieäm keùp ( neáu coù) cuûa phöông trình vaø giaù trò cuûa m töông öùng . Ñaët A = x12 + x22 - 6x1x2 +) Chöùng minh A = m2 - 8m + 8. +) Tìm m sao cho A = 8 +) Tìm gia trò nhoû nhaát cuûa A vaø giaù trò cuûa m töông öùng . Bµi tËp vµ ®¸p ¸n Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 1 19 37 2 20 38 3 21 39 4 22 40 5 ) 23 41 6 24 42 7 25 43 8 26 44 9 27 45 10 28 46 11 29 47 12 30 48 13 31 49 14 32 50 15 33 51 16 34 52 17 35 53 18 36 54 Bµi tËp 2: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 2 b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m c) T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n x - y = 1 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m. Gi¶i: a) Thay m = 2 vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã hÖ ph¬ng tr×nh trë thµnh VËy víi m = 2 th× hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m Ta cã (m ) VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y ) = víi m - XÐt m = 1 => Ph¬ng tr×nh (*) 0x = 1, ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« nghiÖm - XÐt m = - 1 => Ph¬ng tr×nh (*) 0x = 3, ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« nghiÖm c) §Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n x - y = 1 m = 0 (nhËn), m = - 1 (lo¹i) VËy víi m = 0 th× hpt trªn cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x - y = 1 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m. XÐt hÖ ph¬ng tr×nh Tõ ph¬ng tr×nh thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã ph¬ng tr×nh VËy lµ ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi 4: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 3 b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m. c) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m, trong trêng hîp hÖ cã nghiÖm duy nhÊt t×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n: 2x2 - 7y = 1 d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Gi¶i: a) Thay m = 3 vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã hÖ ph¬ng tr×nh trë thµnh VËy víi m = 3 th× hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt ( x ; y) = b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m. XÐt hÖ ph¬ng tr×nh Tõ ph¬ng tr×nh thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã ph¬ng tr×nh: VËy lµ ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m ta cã hpt ` VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y ) = () - Víi m = 0 th× ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh 0x = -2 , ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« nghiÖm - Víi m = 2 th× ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh 0x