Giáo án tự chọn môn Hình học 9 - Trường THCS Hồng Hưng - Năm học 2011 - 2012

Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học Ngày soạn : 13/10/11 Ngày dạy : 18/10/11 Chủ đề 1 Hệ thức l−ợng trong tam giác vuông Buổi 1 Một số hệ thức về cạnh và đ−ờng cao trong tam giác vuông tỉ số l−ợng giác của góc nhọn A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Ôn tập các hệ thức về cạnh và đ−ờng cao trong tam giác vuông - Ôn tập định nghĩa và tính chất các tỉ số l−ợng giác của góc nhọn - Học sinh vận dụng đ−ợc các kiến thức đã học để giải bài tập  Kĩ năng - Rèn kĩ năng vận dụng các hệ thức, định nghĩa, tính chất - Nâng cao khả năng t− duy  Thái độ - Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, cần cù, chịu khó B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: Th−ớc, compa, máy tính - HS: Th−ớc, compa, máy tính C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức – sĩ số II. Kiểm tra bài cũ (10 phút) - HS1: Vẽ hình và viết các hệ thức về cạnh và đ−ờng cao trong tam giác vuông - HS2: Phát biểu bằng lời các hệ thức trên III. Bài mới (105 phút) Hệ thức giữa cạnh và đ−ờng cao trong tam giác vuông I. Lí thuyết: Cho ABC∆ vuông tại A, đ−ờng cao AH với các kí hiệu qui −ớc nh− hình vẽ 1. 2 . 'b a b= 2 . 'c a c= 2. 2 '. 'h b c= 3. . .a h b c= 4. 2 2 2 1 1 1 h b c = + II. Bài tập: Bài 1: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu GT 5 6 AB AC = AH = 30 cm KL Tính HB , HC Giải: - Xét ∆ ABH và ∆ CAH Có

090AHB AHC= = ;

ABH CAH= (cùng phụ với góc
BAH ) ⇒ ∆ ABH ∆ CAH (g.g) ⇒ AB AH CA CH = ⇒ 5 30 6 CH = ⇒ 30.6 36 5 CH = = m +) Mặt khác BH.CH = AH2 ( định lí 2) ⇒ BH = 25 36 30 CH AH 22 == ( cm ) Vậy BH = 25 cm ; HC = 36 (cm ) Bài 2: Cho ∆ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm. Từ A kẻ đ−ờng cao AH xuống cạnh BC a) Tính BC, AH b) Tính C c) Kẻ đ−ờng phân giác AP của
BAC ( P ∈ BC ). Từ P kẻ PE và PF lần l−ợt vuông góc với AB và AC. Hỏi tứ giác AEPF là hình gì ? Giải: a) Xét ABC∆ vuông tại A Ta có: 2 2 2BC =AB + AC ( đ/l Pytago) ⇒ 2 2 2BC = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 ⇒ BC = 10cm +) Vì AH ⊥BC (gt) ⇒ AB.AC = AH.BC ⇒ . 6.8AH = 4,8 10 AB AC BC = = b) Ta có: 6sinC = 0,6 10 AB BC = ≈ ⇒ C ≈ 370 c) Xét tứ giác AEPF có:
BAC =
AEP=
090AFP = (1) Mà APE∆ vuông cân tại E ⇒ AE = EP (2) Từ (1); (2) ⇒ Tứ giác AEPF là hình vuông Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính cạnh bên theo a và h với BC = a, đ−ờng cao AH = h. H−ớng dẫn: Tam giác ABC cân có AH là đ−ờng cao nên cũng là đ−ờng trung tuyến => HB = HC = a 2 - áp dụng định lí Py – ta – go đối với tam giác vuông AHB, tính đ−ợc AB = AC = 2 2 4h a 2 + Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có  0B 60= , đ−ờng cao AH. S 5AB AC 6 = P E F Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học Chứng minh CH AC 3 AH AB = = H−ớng dẫn: Tam giác ABC có  0B 60= => Tam giác ABC vuông tại A là nửa tam giác đều cạnh BC, đ−ờng cao AC Ta có: AC = 2AB 3 ACAB 3 3 (1) 2 AB = => = T−ơng tự: Tam giác AHC cũng là nửa tam giác đều => CH 3 AH = (2) Từ (1) và (2) => đpcm *) L−u ý: Độ dài đ−ờng cao của tam giác đều cạnh a là a 3 2 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = 25 cm, AB = 20 cm a) Tính cạnh AC, đ−ờng cao AH, các đoạn thẳng BH, CH b) Kẻ từ H đ−ờng thẳng song song với AB, đ−ờng thẳng này cắt AC tại N Tính HN, AN, NC = ? c) Tia phân giác của góc AHB cắt cạnh AB tại M. Tính độ dài các đoạn thẳng AM, BM, MN = ? H−ớng dẫn: 1. AC = 15 cm (py – ta - go) AH = 12 cm; CH = 9 cm; BH = 16 cm 2. HN = 7,2 cm; AN = 9,6 cm; NC = 5, 4 cm 3. Theo tính chất đ−ờng phân giác trong tam giác ta có: MB HB 4 MB 4 MA HA 3 MA MB 7 = = => = + => MB 11,43cm;MA 8,57cm≈ ≈ và MN 12,9cm≈ (py – ta – go) Bài 6: Cho tam giác ABC, biết AB = 11 cm, AC = 15 cm, BC = 20 cm. Kẻ đ−ờng cao AH. a) Chứng minh hệ thức sau: 2 2 2 2HC HB AC AB− = − b) Tính HC, HB, AH = ? H−ớng dẫn: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu a) Trong tam giác vuông ABH, ta có 2 2 2 AH AB HB= − Trong tam giác vuông ACH, ta có 2 2 2 AH AC HC= − 2 2 2 2 2 2 2 2 AB HB AC HC HC HB AC AB => − = − => − = − b) áp dụng hệ thức ở câu a tính đ−ợc HC – HB = 5,2 mà HC + HB = 20 => HC = 12,6 cm; HB = 7,4 cm. Tính đ−ợc AH 8,14cm≈ Tỉ số l−ợng giác của góc nhọn I - Lí thuyết: a) Định nghĩa các tỉ số l−ợng giác của góc nhọn cạnh đối sin cạnh huyền α = cạnh kềcos cạnh huyền α = cạnh đối tan cạnh kề α = cạnh kềcot cạnh đối α = Ghi nhớ: sin đi học , cos không h−, tang đoàn kết, côtang kết đoàn. b) Bảng tỉ số l−ợng giác của một số góc đặc biệt: α Tỉ số l−ợng giác 30 0 450 600 sinα 1 2 2 2 3 2 cosα 3 2 2 2 1 2 tanα 3 3 1 3 cotα 3 1 3 3 c) Một số tính chất của các tỉ số l−ợng giác +) Định lí về tỉ số l−ợng giác của hai góc phụ nhau Cho hai góc α và β phụ nhau. Khi đó: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ. +) Cho 0 00 90< α < . Ta có: 2 20 sin 1; 0 cos 1; sin cos 1< α < < α < α + α = sin costan ; cot ; tan .cot 1 cos sin α αα = α = α α = α α d) So sánh các tỉ số l−ợng giác 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 90 sin sin ;cos cos ;tan tan ;cot cot α α α α II - Bài tập: α Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học Bài 1: Cho cosα = 0,8. Hãy tìm sin , tan , cotα α α (làm tròn đến chữ số thập phân thứ t−) H−ớng dẫn: áp dụng các hệ thức sau để tính 2 2 sin cossin cos 1; tan ; cot cos sin α αα + α = α = α = α α Kết quả: sin 0,6; tan 0,75; cot 1,3333α = α = α ≈ Bài 2: Hãy tìm sinα; cosα (làm tròn đến chữ số thập phân thứ t−) nếu biết a) tanα = 1 3 b) cotα = 3 4 H−ớng dẫn: a) tanα = 1 3 => α là một góc nhọn của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 1 và 3, từ đó tính đ−ợc cạnh huyền khoảng 3,1623 => sin 0,3162α ≈ ; cos 0,9487α ≈ b) T−ơng tự: sin 0,8α = ; cos 0,6α = Bài 3: Cho hình vẽ: Biết AB = 4;


0 0 0ABC 80 ;ACB 30 ;BAC 70= = = Lập một ph−ơng trình tính x = AC = ? H−ớng dẫn: áp dụng định nghĩa các tỉ số l−ợng giác của góc nhọn đối với các tam giác vuông ABH và ACH, rồi suy ra ph−ơng trình x.sin300 = 4sin800 Bài 4: Cho hình vẽ Hãy tính sinL (làm tròn đến chữ số thập phân thứ t−) H−ớng dẫn: Giải t−ơng tự bài tập 6 Kết quả: sinL = 0 2,8.sin30 0,3333 4,2 ≈ Bài 5: 1. Chứng minh các hệ thức 2 2 1tan 1 cos α + = α ; 2 2 1cot 1 sin α + = α 2. áp dụng tính sin ,cos ,tan ,cotα α α α khi biết tan α = 2 H−ớng dẫn: 1. áp dụng các hệ thức sau để chứng minh 2 2 sin cossin cos 1; tan ; cot cos sin α αα + α = α = α = α α 2. Kết quả: sin 0,8944;cos 0,4472;cot 0,5α ≈ α ≈ α = Bài 6: 1. So sánh các tỉ số l−ợng giác sau: H C B A 70° 30 ° 80 ° 4 x 30 ° 4,2 2,8 M L N Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu a) 0 0sin20 và sin70 b) 0 0cos80 và cos10 c) 0 0sin36 và cos36 2. Sắp xếp các tỉ số l−ợng giác sau theo thứ tự giảm dần 0 0 0 0 0 sin24 ;cos42 ;cos72 ;sin29 ;cos13 H−ớng dẫn: áp dụng định lí về tỉ số l−ợng giác của hai góc phụ nhau, đ−a về cùng một tỉ số l−ợng giác sin hoặc cosin để so sánh Kết quả: 0 0 0 0 0cos13 cos42 sin29 sin21 cos72> > > > Bài 7: Tính giá trị biểu thức a) A = 0 0 03sin60 2cos30 3tan60− + b) 0 2 0 2 0B 3 2sin30 2cos 60 3tan 45= − + − H−ớng dẫn: A = 7 3 2 b) B = 1 2 − III. Củng cố - Luyện tập (60 phút) Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 16 cm, AH là đ−ờng cao và AH = 6 cm. Một điểm D thuộc BH sao cho BD = 3,5 cm. Chứng minh tam giác DAC vuông. H−ớng dẫn: Tr−ớc hết tính DC = 16 – 3,5 = 12,5 cm AH là đ−ờng cao => AH cũng là đ−ờng trung tuyến => HC = 8 cm áp dụng định lí Py – ta – go đối với tam giác vuông HAC tính đ−ợc AC = 10 DH = BH – BD = 4,5 cm áp dụng định lí Py – ta – go đối với tam giác vuông HAD tính đ−ợc AD = 7,5 cm. Vận dụng định lí đảo của định lí Py – ta – go đối với tam giác ADC, chứng minh nó vuông tại A Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 12 cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vuông, biết AB = 2 AC 3 H−ớng dẫn: áp dụng định lí Py – ta – go để giải Kết quả chiều dài hai cạnh góc vuông: AC = 9,98 cm; AB = 6,65 cm Bài 3: Cho (O), đ−ờng kính AB = 26,5 cm; vẽ dây cung AC = 22,5 cm. Gọi H là hình chiếu của C trên AB, nối C với B. Tính BC, AH, BH, CH và OH ? H−ớng dẫn: - Tr−ớc hết chứng minh tam giác ABC vuông tại C - áp dụng các hệ thức về cạnh và đ−ờng cao trong tam giác vuông để tính, kết quả nh− sau: BC = 14 cm; AH = 19,1 cm; BH = 7,4 cm; CH = 11,9 cm; OH = 5,9 cm. O H C B A Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học Bài 4: Hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và  0A 60= 1. Tính cạnh BC 2. Gọi M, N lần l−ợt là trung điểm của AB và CD . Tính MN = ? H−ớng dẫn: 1. Kẻ DE AB,CF AB⊥ ⊥ Chứng minh DAE CBF∆ = ∆ => AE = BF = AB CD 2 − =10 cm Tam giác CBF là nửa tam giác đều => BC = 2BF = 20 cm 2. Tr−ớc hết chứng minh MN = CF Nối AN, BN và chứng minh ADN BCN(c.g.c)∆ = ∆ => AN = BN => Tam giác ANB cân tại N, có MA = MB => MN AB⊥ => MN = CF = BF.tan600 = 10 3 cm Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau: a) 1 cot tan 1 1 cot tan 1 + α α + = − α α − b) 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosα + α = − α α c) 2 2 4 4 2 2 4 sin cos cos tan cos sin sin α − α + α = α α − α + α H−ớng dẫn: a) Thay 1cot tan α = α b) Sử dụng hằng đẳng thức bình ph−ơng của tổng c)VT = 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 4 sin cos (1 cos ) sin (1 cos ) sin tan VP cos sin (1 sin ) cos (1 sin ) cos α − α − α α − α α = = = α = α − α − α α − α α Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau a) P = 2 2 2 1 4sin cos (cos sin ) − α α α + α b) 2 2 2sin cos 1Q cos sin α α − = α − α Kết quả: P = ( )2cos sinα − α b) Q = tan 1 tan 1 α − α + Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = a, BC = a 3 , AC = a 2 1. Chứng minh tam giác ABC vuông 2. Tính các tỉ số l−ợng giác của góc B và tính góc B 3. Suy ra các tỉ số l−ợng giác của góc C H−ớng dẫn: 1. Dùng định lí đảo của Py – ta – go để chứng minh 2. sinB 0.8165; cosB 0,5774; tanB 1,4142; cotB 0,7071≈ ≈ ≈ ≈ =>  0B 54 44'≈ 3. áp dụng định lí về tỉ số l−ợng giác của hai góc phụ nhau Bài 8: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Chứng minh giá trị các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào góc α a) A = 4 2 2 2cos cos . sin sinα + α α+ α b) B = 2 2(tan cot ) (cot tan )α + α − α − α Kết quả: a) A = 1 => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào góc α b) B = 4 => Giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào góc α Bài 9: Cho đa giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm,  0 0B 60 và A = 90= 1. Tính đ−ờng chéo BD 2. Tính khoảng cách BH và DK từ hai điểm B và D đến AC 3. Tính HK 4. Vẽ BE vuông góc với DC kéo dài. Tính BE, CE, DC Kết quả: 1. BD = 10 2 cm 2. Tam giác ABC đều => BH = AB.sin600 = 5 3 cm; DK = 5 cm 3. HK = 5( 3 1)cm− 4. Tam giác BEC vuông cân => BE = CE = 5 2 cm ; DC = 5( 6 2 )cm− Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đ−ờng cao AH chia BC thành hai đoạn BH = 5cm, CH = 20cm. Chứng minh tan B = 4tan C. Bài 11: Không dùng máy tính bỏ túi hay bảng l−ợng giác , hãy chứng minh: a) 0 0 sin30 1 cos60 = b) 0 0 0 0tan32 .cot32 (tan47 cot43 ) 1− − = c) sin 1cos cot cos α + α = α α V. H−ớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại các bài tập đã chữa. Giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đ−ờng cao AH. Biết AB = 20; AC = 15 . a) Tính cạnh huyền BC b) Tính BH, HC, AH Bài 2: Cho ABC∆ ABC vuông ở A có AB = 15cm, BC = 17cm. Từ A kẻ đ−ờng cao AH xuống cạnh BC a) Tính AC, AH b) Tính số đo C ; B Bài 3: Hãy lập công thức tính a) Đ−ờng chéo của hình vuông cạnh a b) Đ−ờng cao của tam giác đều cạnh a c) Diện tích của tam giác đều cạnh a Kết quả: a) a 2 b) a 3 2 c) 2a 3 4 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, vẽ đ−ờng chéo AC. Tính các tỉ số l−ợng giác của góc ACB Bài 5: Cho biết 1cos 3 α = . Tính giá trị biểu thức sau: P = 2 23sin 4cosα + α Kết quả: P = 28 9 D/Bổ sung ******************************* Ngày soạn : 16/10/11 Ngày dạy : 21/10/11 Chủ đề 1 Hệ thức l−ợng trong tam giác vuông Buổi 2 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Ôn tập các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông; học sinh biết vận dụng các hệ thức trong việc tính toán, chứng minh  Kĩ năng - Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập, tính toán, trình bày  Thái độ - Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, cần cù, chịu khó B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: Th−ớc, th−ớc đo độ, máy tính bỏ túi - HS: Th−ớc, th−ớc đo độ, máy tính bỏ túi C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức- sĩ số II. Kiểm tra bài cũ (10 phút) - HS1: Phát biểu định lí các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ? - HS2: Vẽ tam giác vuông ABC rồi viết các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác đó III. Bài mới (105 phút) 1. Lí thuyết: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông b = a.sinB; c = a.sinC b = a.cosC; c = a.cosB b = c.tanB; c = b.tanC b = c.cotC; c = b.cotB => a = b c b c sinB sinC cosC cosB = = = 2. Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC, đ−ờng cao AH (H BC∈ ),  0B 42 ,AB 12cm,BC 22cm= = = . Tính cạnh và góc của tam giác ABC ? Kết quả: 
0 0 AH 8,03cm BH 8,917cm CH 13,082cm tanC 0,6138 C 32 BAC 106 AC 15,153cm ≈ ≈ ≈ ≈ => ≈ ≈ ≈ Bài 2: Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai cạnh bằng a và b, góc nhọn tạo bởi hai đ−ờng thẳng đó bằng α thì diện tích của tam giác đó là S = 1 absin 2 α H−ớng dẫn: Xét hai tr−ờng hợp tam giác ABC nhọn hoặc tù Bài 3: Tam giác ABC có : AB = 16 cm, AC = 14 cm và  0B 60= a) Tính BC b) Tính diện tích tam giác ABC H−ớng dẫn: Kẻ AH vuông góc với BC Kết quả: a) BC = 10 cm b) S 269,28cm≈ Bài 4: Một hình bình hành có hai cạnh là 10 cm và 12 cm, góc tạo bởi hai cạnh đó bằng 1500. Tính diện tích hình bình hành đó ? H−ớng dẫn: Kẻ AH ⊥ BC =>
0BAH 60= 22 42 ° H CB A 12 α α Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học AH = 5 cm và S = AH.AD = 60 cm2 Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng: a b c sinA sinB sinC = = H−ớng dẫn: Kẻ AH ⊥ BC sinB AC bAH AHsinB ,sinC AB AC sinC AB c b c (1) sinB sinC = = => = = => = Kẻ CK ⊥ AB CK CK sinB AC bsinB ,sinA BC AC sinA BC a b a (2) sinB sinA = = => = = => = Từ (1) và (2) => đpcm Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB = a, AC = b, BC = a Chứng minh rằng: 2 2 2b a c 2accosB= + − H−ớng dẫn: Kẻ AH ⊥ BC Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b AC AH CH (py - ta - go) AH (BC BH) AH BH 2BC.BH BC AB BC 2BC.AB.cosB a c 2accosB = = + = + − = + − + = + − = + − Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A,  0C ( 45 )= α α < , trung tuyến AM, đ−ờng cao AH. Biết BC = a, AC = b, AH = h a) Tính sin ,cos ,sin2α α α theo a, b, h b) Chứng minh rằng: sin2 2sin .cosα = α α H−ớng dẫn: bha)sin ,cos b a α = α =
AMB là góc của tam giác cân AMC =>
AMB = 2α sin
AMB = sin2α = AH 2h AM a = b) bhsin2 2. . 2sin .cos b a α = = α α Bài 8: Cho tam giác ABC cân ở A, đ−ờng cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở đáy bằng α . Chứng minh rằng: 2 ABC hS 4sin .cos = α α H−ớng dẫn: α Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 2 ABC Kẻ BE AC BE h h hsin BC BC sin Kẻ AH BC 1 h=>AH=HC.tan BC.tan 2 2cos 1 hS AH.BC 2 4sin .cos ⊥ => = α = => = α ⊥ α = α = α = = α α Bài 9: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm a) Tính BC,  B,C b) Đ−ờng phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính BD, DC c) Từ D kẻ DE AB,DF AC.⊥ ⊥ Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF ? H−ớng dẫn: a) BC = 10 cm;  0 0B 53 8';C 36 52'≈ ≈ b) áp dụng tính chất đ−ờng phân giác trong tam giác, đ−ợc kết quả: 30 40BD cm;DC cm 7 7 = = c) Tứ giác AEDF là hình vuông Vì DF // AB => CDDF 24CFD CAB DF cm AB BC 7 ∆ ∆ => = => =∼ Chu vi : 96 cm 7 ; Diện tích: 2576 cm 49 Bài 10: Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính: a) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0sin 12 sin 22 sin 32 sin 58 sin 68 sin 78+ + + + + b) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0cos 15 cos 25 cos 35 cos 55 cos 65 cos 75 3+ + + + + − H−ớng dẫn: Sử sụng tỉ số l−ợng giác của hai góc phụ nhau và 2 2 sin cos 1α + α = , kết quả: a) 3 b) 0 IV. Củng cố - Luyện tập (60 phút) Bài 1: Cho hình thang ABCD có   0A D 90= = ; AB = 30 cm; CD = 18 cm và BC = 20 cm a) Tính các góc ABC và BCD b) Tính các góc DAC, ADB và các đ−ờng chéo AC, BD H−ớng dẫn: a) Kẻ CH AB BH 12cm⊥ => = 
0 0cosB 0,6 B 53 BCD 127≈ => ≈ => ≈ b) CH = 16 cm


0 0tgDAC 1,125 DAC 48 22' ADB 61 56' AC 24,1cm;BD 34cm = => ≈ => ≈ ≈ = α Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học Bài 2: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 20 cm, cạnh bên AD =8 cm và tạo với đáy lớn AB góc 650 a) Tính đ−ờng cao DH, đáy nhỏ CD b) Tính góc ABD và đ−ờng cao BD H−ớng dẫn: a) Kẻ DH AB,CK AB⊥ ⊥ DH 7,25cm;AH 3,38cm CD HK 13,24cm => ≈ ≈ => = ≈ b)
0ABD 23 34' BD 18,13cm ≈ ≈ Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10 cm, AC = 15 cm 1. Tính góc B 2. Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI 3. Vẽ AH BI⊥ tại H. Tính AH H−ớng dẫn: 1.  0B 56 19'≈ 2. AI = 5,35 cm 3. AH = 4,72 cm Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 4,5 cm; BC = 7,5 cm a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông b) Tính  B,C, đ−ờng cao AH c) Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi hình chiếu của M trên AB, AC lần l−ợt là P và Q. Chứng minh rằng: PQ = AM Hỏi M ở vị trí nào thì PQ có độ dài nhỏ nhất H−ớng dẫn: a) Dùng định lí đảo của định lí Py - ta - go để chứng minh b)  0 0B 36 52'; C 53 8'; AH 3,6cm≈ ≈ = c) Tứ giác APMQ là hình chữ nhật suy ra PQ = AM PQ nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM vuông góc với BC M H≡ IV. H−ớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại các bài đã chữa. Giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính: a) 2 2 14cos 6sin , biết sin 5 α − α α = b) sin .cos , biết tan + cot 3α α α α = Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Kết quả: a) 3,6 b) 1 3 Bài 16: Chứng minh với mọi góc α , thì mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào α a) 2A (sin + cos ) - 2sin .cos - 1= α α α α b) 2B (sin - cos ) 2sin .cos + 1 = α α + α α c) ( )2 2B (sin + cos ) sin cos + 2 = α α + α − α Kết quả: a) A = 0 b) B = 2 c) C = 4 Bài 17: Cho 0 00 x 90< < . Chứng minh các đẳng thức sau: a) 6 6 2 2sin x cos x 1 3sin x.cos x+ = − b) 4 4 2sin x cos x 1 2cos x− = − c) 1 cosx sinx sinx 1 cosx − = + D/Bổ sung ******************************* Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học Ngày soạn : 19/10/11 Ngày dạy : 25/10/11 Chủ đề 1 hệ thức l−ợng trong tam giác vuông Buổi 3 vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh hệ thức tính số đo góc và độ dài đoạn thẳng A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Củng cố và khắc sâu các hệ thức l−ợng trong tam giác vuông - Học sinh biết vẽ yếu tố phụ một cách hợp lí để chứng minh các hệ thức - áp dụng thành thạo hệ thức l−ợng để tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc  Kĩ năng - Rèn kĩ năng vận dụng, trình bày - Rèn khả năng t− duy, vận dụng kiến thức  Thái độ - Có tinh thần tự giác, tích cực trong học tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: Th−ớc, êke - HS: Th−ớc, êke C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức - sĩ số II. Kiểm tra bài cũ III. Bài mới (145 phút) Chứng minh hệ thức (80 phút) 1.Bài 1: Cho tứ giác ABCD có

0ADC + DCB = 90 CMR: 2 2 2 2AB + CD = AC + BD - GV để cho học sinh suy nghĩ tìm kiếm cách giải - Nếu học sinh không làm đ−ợc thì gợi ý: Các em có nhận xét gì về kết luận của bài toán ? có liên quan tới định lí Py-ta-go trong tam giác vuông không ? Vậy liên quan đến tam giác vuông nào ? dựa vào giả thiết

0ADC + DCB = 180 ta cần tạo ra ∆OCD vuông tại O bằng cách kéo dài các cạnh AD và BC cắt o c ba d Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu nhau tại O. Lời giải: Vì

0ADC + DCB = 90 nên hai đ−ờng thẳng AD và BC cắt nhau Gọi O là giao điểm của AD và BC Vì

0ADC + DCB = 90 ⇒
0COD = 90 ⇒ OAB, ODC, OAC, OBD∆ ∆ ∆ ∆ là các tam giác vuông tại O. áp dụng định lí Pythagoras cho các OAB, ODC, OAC, OBD∆ ∆ ∆ ∆ vuông tại O Ta có: 2 2 2AB = OA + OB 2 2 2CD = OC + OD ⇒ 2 2 2 2 2 2AB + CD = OA + OB + OC + OD (1) 2 2 2AC = OA + OC 2 2 2BD = OB + OD 2 2 2 2 2 2AC + BD = OA + OC + OB + OD (2) Từ (1), (2) ⇒ 2 2 2 2AB + CD = AC + BD (tính chất bắc cầu) (đpcm) 2. Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD và K là một điểm thuộc miền trong của hình chữ nhật . Chứng minh rằng: 2 2 2 2KA + KC = KB + KD Phân tích: Bài toán có liên quan đến định lí Pythagoras, các em kẻ đ−ờng phụ MN AB⊥ và trình bày lời giải nh− sau. - Qua K kẻ MN AB⊥ ( nh− hình vẽ bên ) => Tứ giác AMND và tứ giác BCNM là các hình chữ nhật ⇒ AM = ND MB = NC    và AP = BQ PD = QC    ( )1 Xét KAM∆ : 2 2 2KA = AM + KM KNC:∆ 2 2 2KC = NC + KN ⇒ 2 2 2 2 2 2KA + KC = AM + KM + NC + KN (2) Xét KBM∆ : 2 2 2KB = BM + KM KND:∆ 2 2 2KD = ND + KN ⇒ 2 2 2 2 2 2KB + KD = BM + KM + ND + KN (3) Từ (1),(2),(3) ⇒ 2 2 2 2KA + KC = KB + KD (đpcm) - Cách khác: Vẽ PQ AD⊥ và trình bày t−ơng tự 3. Bài 3: Cho hình vuông ABCD, qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt các cạnh BC, DC (hoặc đ−ờng thẳng chứa các cạnh đó) tại E, F. CMR: 2 2 2 1 1 1 + = AE AF AD Phân tích: Học sinh nhận thấy đẳng thức cần đ−ợc chứng minh có liên quan tới hệ thức giữa cạnh và đ−ờng cao trong tam giác vuông. Do vậy cần xác định một tam giác vuông có hai cạnh bằng AE, AF và có đ−ờng cao AD từ nhận xét đó các em kẻ thêm đ−ờng phụ AK vuông góc với AF, từ đó các em trình bày nh− sau. Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Hình học Lời giải: Qua A kẻ đ−ờng thẳng vuông góc với AF cắt đ−ơng thẳng chứa cạnh CD tại K - Xét ADK∆ và ABE∆ Có:  1 3A = A (cùng phụ với  2A ) AD = AB (cạnh hình vuông)

0ADK = ABE = 90 Suy ra ADK∆ đồng dạng với ABE∆ (g.c.g) 2 2 AK = AE AK = AE⇒ ⇒ - Xét AKF∆ vuông tại A có AD KF⊥ ⇒ 2 2 2 1 1 1 AK AF AD + = hay 2 2 2 1 1 1 + = AE AF AD Nhận xét: Qua ba bài tập này b−ớc đầu các em hình thành đ−ợc ph−ơng pháp vẽ đ−ờng phụ để giải bài toán về tam giác vuông và các cách triển khai theo ph−ơng h−ớng đó. Tuy nhiên để hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm đ−ờng phụ để giải bài toán về tam giác vuông . Giáo viên h−ớng dẫn HS các bài tập sau. 4. Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC, trên cạnh BC lấy điểm M bất kì đ−ờng thẳng AM cắt cạnh CD kéo dài tại N CMR: 2 2 2 1 1 1 4AM AN AB + = - Phân tích: Dựa vào ví dụ 3 các em cũng tạo ra tam giác vuông ANS tuy nhiên ch−a tìm ra lời giải , gợi ý nh− sau: - Tam giác ABM đồng dạng với tam giác nào ? ( ADS∆ ) Cách giải: Vì ABCD là hình chữ nhật có AB = 2BC AB = 2AD ⇒ ⇒ 1AD = AB 2 Từ A kẻ đ−ờng thẳng vuông góc với AN cắt CD tại S - Xét ADS∆ và ABM∆ có:  1 3A = A (cùng phụ với  2A )

0ADS = ABM = 90 Suy ra ADS∆ ABM∆ (g.g) ⇒ 1 2 AD AS AB AM = = ⇒ 1 2 AS AM= - Xét ANS∆ vuông tại A có AD NS⊥ Ta có: 2 2 2 1 1 1 AS AN AD + = S Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu ⇒ 2 22 1 1 1 1 1 2 2 AN AM AB + =             ⇒ 2 2 2 4 1 4 AM AN AB + = ⇒ 2 2 2 1 1 1 4AM AN AB + = (đpcm) - Qua bài tập 3 và 4 có thể cho học sinh thấy rằng cách giải hai ví dụ này là một, đều phải kẻ thêm đ−ờng phụ để làm xuất hiện tam giác vuông và áp dụng hệ thức giữa cạnh và đ−ờng cao trong tam giác vuông từ đó có cách kẻ hợp lí. 5. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, đ−ờng chéo lớn AC. Gọi E , F là các hình chiếu của C lên các cạnh AB và AD. CMR: 2AB.AE + AF.BC = AC Phân tích: Các em không tìm đ−ợc mối liên hệ giữa các cạnh với đ−ờng chéo AC. - Từ B kẻ đ−ờng thẳng BK vuông góc với AC - Xét hai tam giác đồng dạng nào để => AC.AK = AB.AE (1) - Chứng minh hai tam giác đồng dạng khác để suy ra AC.CK = BC.AF (2) từ đó tìm đ−ợc lời giải bài toán Cách giải: Từ B kẻ BK AC⊥ (hình vẽ bên) - Xét AEC∆ và AKB∆ có 

0 chung AEC = AKB = 90 A  ⇒  AEC∆ AKB∆ (g.g) ⇒ AE AC AK AB = ⇒ AB.AE = AC.AK (1) - Xét AFC∆ và CKB∆ có:

CAF = BCK (so le trong)

0AFC = CKB = 90 Suy ra AFC∆ CKB∆ (g.g) ⇒ AF AC CK BC = ⇒ BC.AF = AC.CK (2) Từ (1) và (2) ⇒ AB.AE+ BC.AF = AC.AK+ AC.CK ⇒ AB.AE+ BC.AF = AC.(AK+ CK) ⇒ 2AB.AE+ BC.AF = AC.AC= AC (đpcm) 6. Bài