Giáo án Tự chọn môn Toán học 11 - Bài 1: Phương pháp quy nạp Toán học

Ngày soạn: 2.9.2011 Cụm tiết: 2 Tuần: 13 Tiết PPCT: 37 Chương III: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu:Qua bài học HS cần 1. Kiến thức: - Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định. 2.Kỹ năng: - Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí. 3. Tư duy: - Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng. 4. Thái độ: - Nghiêm túc, hứng thú trong học tập. II. Chuẩn bị: - GV: Phiếu học tập. - HS: Kiến thức mệnh đề chứa biến đã học. III. Phương pháp: - Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm. IV. Tiến trình: 1.Ổn định lớp 2.Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong quá trình day học 3.Bài mới: Mở đầu: Thầy giáo kiểm tra bài lớp 11c. Thầy gọi 5 bạn. Cả 5 bạn đều thuộc bài. Có bạn kết luận : Cả lớp 11c đều thuộc bài” Kết luận vậy đúng không? Nếu không thì làm cách nào cho đúng? 2.Giả sử có 1 mệnh đề chứa biến là những số tự nhiên. Ta cần chứng minh mệnh đề đó và không thể chứng minh bằng cách kiểm tra trên tất cả các số tự nhiên. Vậy ta phải làm thế nào? Ho¹t ®éng 1: Thực hiện HĐ1: Xét hai mệnh đề chứa biến. P(n): “” và Q(n): “2n > n” với Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai? Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng GV y/c HS lên bảng điền vào bảng Gợi ý HS trả lời y/c bài toán - H1: Phép thử một vài TH có phải là c/m cho KL trong TH TQ không ? - H2: Trở lại MĐ Q(n) , thử kiểm tra tiếp với một giá trị ? Có thể khẳng định Q(n) đúng với mọi chưa ? - H3: Muốn chứng tỏ một kết luận đúng ta phải làm thế nào? Muốn chứng tỏ kết luận sai, ta phải làm thế nào? HS lên bảng trình bày HS trả lời câu a HS lần lượt trả lời n 3n n + 100 P(n) ? n 2n Q(n) ? 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Ho¹t ®éng 2: Giới thiệu phương pháp quy nạp Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS Ghi b¶ng GV giới thiệu phương pháp quy nạp Giải thích và chỉ rõ đâu là giả thiết có sẵn, đâu là điều cần chứng minh - Ghi nhËn kiÕn thøc I. Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc B1: KiÓm tra mÖnh ®Ò ®óng víi n = 1 B2: Gi¶ thiÕt mÖnh ®Ò ®óng víi mét sè tù nhiªn bÊt k× n = k 1, chøng minh r»ng nã còng ®óng víi n = k + 1 Ho¹t ®éng 3: Ví dô Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS Ghi b¶ng - Víi n = 1 nhËn xÐt g× vÒ 2 vÕ cña (1). - Đặt Sn = 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) - Giả sử (1) đúng với , nghĩa là có giả thiết gì ? Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh điều gì ? Hãy c/m điều đó ? ( chú ý đến giả thiết qui nạp) - Hoàn thành B1, B2 ta kết luận ? - Giúp HS phân tích : lời giải tiến hành theo sơ đồ sau : T(b)→(1)VT(a)→(2)VP(a)→(3)VP(b) Dấu mũi tên (1), ta sử dụng giả thiết hoặc những phép toán, định nghĩa cơ bản đã học.Dấu mũi tên (2), ta sử dụng giả thiết quy nạp, tức là dùng (a)Dấu mũi tên (3), ta thường phải biến đổi, ước lượng. - VT = 1, VP =1 VËy VT = VP. HS suy nghĩ và trả lời lần lượt các câu hỏi - Ghi nhËn kiÕn thøc II. VÝ dô ¸p dông VD1 : Chøng minh r»ng víi th× 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 (1) B1: Khi n = 1, VT = VP =1. VËy (1) ®óng. B2: - Đặt Sn = 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) Gi¶ sö ®¼ng thøc ®óng víi n = k, nghÜa lµ Sk =1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2 Ta ph¶i chøng minh (1) còng ®óng víi n = k + 1 tøc lµ: Sk+1 =1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1)+[2(k+1)-1] = (k+1)2 ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1)+[2(k+1)-1] = k2 +[2(k+1)-1] = k2 + 2k +1 =(k+1)2 Vậy (1) đúng với mọi Ho¹t ®éng 4: Thực hiện HĐ 2 : Chứng minh với mọi thì Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS Ghi b¶ng - Yêu cầu hs làm theo nhóm - GV quan sát và giúp đỡ khi cần thiết - Gọi 1 hs trình bày để kiểm tra và sữa chữa * GV lưu ý cho hs TH: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên thì ta thực hiện ntn ? - Làm việc theo nhóm - HS trình bày bài giải * Chú ý: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên thì: - B1 ta phải kiểm tra MĐ đúng với n = p. - B2 ta giả thiết MĐ đúng với số tự nhiên bất kì và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 Ho¹t ®éng 5 :Cho hai sè vµ 8n víi a) So s¸nh víi 8n khi n = 1,2,3,4,5. b) Dù ®o¸n kÕt qu¶ tæng qu¸t vµ chøng minh b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p. Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS Ghi b¶ng - Chia líp thµnh hai nhãm (mçi nhãm tÝnh mét tr­êng hîp) - Yªu cÇu c¸c nhãm tr×nh bµy kÕt qu¶. - Cho c¸c nhãm NX. - Yªu cÇu HS dùa ®o¸n kÕt qu¶ tæng qu¸t. - Cho HS chøng minh kÕt qu¶ ®ã. - TiÕn hµnh tÝnh. - Tr×nh bµy kÕt qu¶. - NhËn xÐt. - Tr¶ lêi ( > 8n víi n 3) - TiÕn hµnh chøng minh * > 8n, (2) Víi n = 3 ta cã VT = 27, VP = 24.VËy (2) ®óng Gi¶ sö (2) ®óng víi n = k , nghÜa lµ > 8k (*). Ta ph¶i chøng minh (2) cóng ®óng víi n = k +1, tøc lµ > 8(k+1). ThËt vËy, nh©n hai vÕ cña (*) víi 3 ta cã >24k >8k + 8 +16k - 8 V× 16k – 8 > 0 nªn >8k + 8 hay > 8(k + 1) VËy hÖ thøc ®óng víi mäi 4. Củng cố và hướng dẫn học tập : - Nêu các bước của phương pháp chứng minh qui nạpvà chỉ rõ thực chất của bước 2 là gì ? - Xem lại các bài đã giải và ví dụ 2 trang 81 - Làm các bài tập 1 – 5 sgk. * Rút kinh nghiệm: