Giáo án Tự chọn môn Toán học 11 - Chủ đề 4: Giới hạn

Tiết 17-21 Ngày soạn :………………….. Chủ đề 4 : GIỚI HẠN I - Mục Tiêu : - Ôn lại kiến thức của lý thuyết giới hạn. - Vận dụng lý thuyết làm được các bài tập cơ bản và nâng cao. II - Tiến trình bài học : 1. Bài mới : Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. Giới hạn của dãy số : Định nghĩa: Dãy số (un) có giới hạn là a nếu"e>0 (nhỏ tuỳ ý) tồn tại N Î N* sao cho "n >N thì |un - a| < e. Kí hiệu: hay hay 2. Một số định lý về giới hạn của dãy số: Định lý 1: (điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Dãy số (un) có giới hạn thì bị chặn. Định lý 2: (tính duy nhất của giới hạn) Nếu dãy số (un) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. Định lý 3: (điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) Nếu (un) là dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì dãy số (un) có giới hạn. Định lý 4: (nguyên lý giới hạn kẹp) Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn) thoả mãn: un £ vn £ wn , "n Î N* và limun = limwn = a thì limvn = a. Định lý 5: (Các phép toán về giới hạn) Nếu hai dãy số (un) và (vn) có giới hạn thì: Định lý 6. Nếu thì limqn = 0. + Định lý 3 còn gọi là ĐLVaiơstrat HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. 3. Tổng của một cấp số nhân vô hạn có công bội q với . GV nêu định lý. Định lý: Cho cấp số nhân vô hạn có công bội q với . Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: HS theo dõi và ghi chép. 4. Dãy số dần tới vô cực: Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực nếu " M > 0 (lớn tuỳ ý), $n0 Î N* sao cho : " n > n0 thì > M. Kí hiệu: limun = ¥ hoặc un ® ¥. Định lý: * Nếu limun = ¥ thì = 0. * Nếu limun = 0 thì = ¥. * Nếu limun = ¥, limvn = a ¹ 0 thì . * Nếu limun = 0, limvn = a ¹ 0 thì . GV nêu và hướng dẫn HS giải ví dụ 2. 5. Bài tập về giới hạn của dãy số : * Bài 1 : Tìm các giới hạn sau: * Bài 2 : Chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi là có giới hạn. * Bài 3 : Tìm các giới hạn * Bài 4 : Tìm các giới hạn sau: * Bài 5 : Tính tổng * Bài 6 : Tìm các giới hạn sau: HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời: khi đó dãy (un) là không có giới hạn vì nó không bị chặn. HS theo dõi và ghi chép. ĐS: a) b) c) d) * chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên (un < 4, "n) bằng phương pháp quy nạp. ĐS: HS suy nghĩ và giải HS suy nghĩ và giải ĐS: HS suy nghĩ và giải ĐS: 6. Định nghĩa về gới hạn của hàm số : Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (có thể trừ tại điểm a Î K). Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn) thoả mãn : thì limf(xn) = L. Ta viết GV yêu cầu HS từ định nghĩa trên hãy viết lại giới hạn cho hai hàm số trong ví dụ đã nêu. 7. Một số định lý về giới hạn của hàm số: GV nêu định lý 1. Định lý 1. (tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất. GV nêu định lý 2. Định lý 2. (các phép toán trên giới hạn) Nếu các hàm số f(x), g(x) đều có giới hạn khi x dần tới a thì: Định lý 3. (nguyên lý giới hạn kẹp) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên K và a Î K (có thể trừ điểm a). Nếu g(x) £ f(x) £ h(x), "x Î K và thì . HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ cách chứng minh. HS theo dõi và ghi chép. Định lý 4. Nếu và với mọi x đủ gần a mà f(x)> 0 (hoặc f(x)< 0) thì L³ 0 (hoặc L£ 0). GV lấy ví dụ minh hoạ để giải thích định lý 4. GV nêu ví dụ áp dụng các định lý đã nêu trên và hướng dẫn HS cách giải. 8. Bài tập về gới hạn của hàm số : * Tìm các giới hạn sau: HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và tính các giới hạn đã cho. Đáp số: 9. Hàm số liên tục tại một điểm: Định nghĩa 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 Î (a; b) nếu . Nếu f(x) không liên tục tại x0 thì ta nói f(x) gián đoạn tại x0 và điểm x0 gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Định nghĩa 2: Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) là liên tục tại điểm x0 Î (a; b) nếu tồn tại và và==f(x0). HS theo dõi và ghi chép. Định nghĩa 3 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng K. Giả sử x, x0 Î K (x ¹ x0). Đặt Dx = x - x0 và được gọi là số gia của đối số tại điểm x0 Þ x = x0 + Dx. Đặt Dy = y - y0 = f(x) - f(x0) = f(x0 + Dx) - f(x0) và gọi là số gia của hàm số tại điểm x0. GV đặt các câu hỏi: · Khi x ® x0 thì Dx ® ? · Khi đó hãy tìm . GV chính xác hoá thành định lý. Định lý: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K, là liên tục tại điểm x0 Î K . 10. Hàm số liên tục trên một khoảng: GV nêu định nghĩa và chú ý. a. Định nghĩa: * Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy. * Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và f(x) = f(a), f(x) = f(b). * Chú ý: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. · Dx ® 0. · HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. b. Một số định lý về hàm số liên tục: GV nêu định lý 1 và định lý 2. Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu số khác 0) của những hàm số liên tục tại điểm x0 là liên tục tại điểm đó. Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng. Định lý 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thì nó đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Tức là: * $x1Î [a;b]: f(x1)= m≤ f(x), "x Î [a; b]. * $x2 Î [a;b]: f(x2)= M ≥f(x), "x Î [a; b]. * "L Î [m; M], $ c Î [a; b]: f(c) = L. HS thừa nhận các định lý. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi, ghi chép và thừa nhận định lý 3. Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c Î (a;b) sao cho f(c) = 0 (hay phương trình f(c) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a;b)). 11. Bài tập về hàm số liên tục : * Bài 1 : Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 2, biết rằng a = const. * Bài 2 : Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 0. GV gọi HS khác nhận xét bài giải của bạn và chính xác hoá. * Bài 3 : Xét tính liên tục của hàm số: * Bài 4 : Xét tính liên tục của hàm số: . · Xét tính liên tục của hàm số khi x 1. · Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1 (có biện luận theo a). * Bài 5 : Chứng minh rằng phương trình f(x) = x4 -5x2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0; 1). HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trình bày cách giải HS suy nghĩ và trình bày cách giải ĐS: Vậy hàm số đã cho không liên tục tại điểm x0 = 0. HS suy nghĩ và trình bày lời giải. ĐS: hàm số liên tục trên tập xác định . HS suy nghĩ và giải theo sự hướng dẫn của GV. + Khi x < 1 thì f(x) = ax + 2 là hàm số liên tục. + Khi x > 1 thì f(x) = x2- x +1 là hàm số liên tục. + Tại x = 1 ta có f(1) = a + 2. - Nếu a = -1 thì hàm số liên tục tại x = 1. - Nếu a ¹ -1 thì hàm số gián đoạn tại x = 1. Kết luận: ... HS áp dụng hệ quả để giải 2. Dặn dò: Làm và nghiên cứu thêm các bài tập trong các sách tham khảo.