Giáo án Tự chọn toán 8 Chủ đề 2 đường thẳng – tam giác

Chủ đề 2: ĐƯỜNG THẲNG – TAM GIÁC ! I-ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC – ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. 1-Hai gúc đối đỉnh: là hai gúc mà mỗi cạnh của gúc này là tia đối của một cạnh của gúc kia. Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành hai cặp góc đối đỉnh. Hình 1 **Tớnh chất: 2 gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau. 2-Hai đường thẳng vuụng gúc: Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc. Kí hiệu: xx’^yy’. *Tính chất: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua O và vuông góc với đường thẳng a cho trước. 3-Đường trung trực của đoạn thẳng: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. 4-Cỏc gúc tạo bởi một đường thẳng cắt 2 đường thẳng. Gúc so le trong –gúc đồng vị - 1 và 3; 4 và 2 được gọi là hai góc so le trong. - 1 và 1; 2 và 2; 3 và 3; 4 và 4 được gọi là hai góc đồng vị. ***Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì: a) Hai góc so le trong còn lại bằng nhau. b) Hai góc đồng vị bằng nhau. 5-Hai đường thẳng song song: -Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. -Nếu hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. *** Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song : Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a và b song song với nhau. Ký hiệu : a // b. Tiên đề Ơ-Clit : Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó ***Tính chất của hai đường thẳng song song: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: a) Hai góc sole trong bằng nhau. b) Hai góc đồng vị bằng nhau. c) Hai góc trong cùng phía bù nhau. GT a//b, c cắt a tại A, cắt b tại B. KL 4 = 2; 3 = 1;4 = 4; 3 = 3;2 = 2; 1 = 1; 4 + 1 = 1800; 3 + 2 = 1800 6- Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song : GT a^c KL a) nếu b^c => a//b b) nếu a//b => b^c **Tớnh chất: -Hai đường thẳng phõn biệt cựng vuụng gúc với một đường thẳng thứ 3 thỡ chỳng song song với nhau. -Một đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song thỡ nú cũng vuụng gúc với đường thẳng kia. 7. Ba đường thẳng song song. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau 8. Định lí: là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng. **Chứng minh định lí: là dựng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận VD: Chứng minh định lý: Gúc tạo bởi hai tia phõn giỏc của hai gúc kề bự là một gúc vuụng. Giải: x O y m z n GT kề bự Om : tia phõn giỏc của On : tia phõn giỏc của KL Chứng minh: Ta cú: (1) (Vỡ Om là tia phõn giỏc của ) (2) (Vỡ On là tia phõn giỏc của ). Do đú, từ (1) và (2), ta cú (3) Vỡ tia Oz nằm giữa hai tia Om, On và vỡ và kề bự (theo giả thiết), nờn từ (3) ta cú : II-TAM GIÁC 1-Tổng ba góc của một tam giác: Định lý:Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°. a)Tam giác vuông: là tam giác có một góc vuông. Định lí: Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau. b)Góc ngoài của tam giác: Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy . Mụ̃i góc ngoài của tam giác bằng tụ̉ng hai góc trong khụng kờ̀ với nó. VD: Tính x, y trên hình vẽ có có: 2) Ta có là góc ngoài của nên * có 2-Hai tam giác bằng nhau: là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. ABC = A’B’C’ -Hai tam giỏc ABC và A’B’C’ như trờn được gọi là hai tam giỏc bằng nhau. -Hai đỉnh A và A’, B và B’, C và C’ gọi là hai đỉnh tương ứng. Hai gúc A và A’, B và B’, C và C’ gọi là hai gúc tương ứng. Hai cạnh AB và A’B’, AC và A’C’, BC và B’C’ gọi là hai cạnh tương ứng. a)Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c): nếu ba cạnh của tam giỏc này bằng ba cạnh của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. VD: Hình 68: Xét ACB và ADB có: AC = AD (c) BC = BD (c) AB: cạnh chung (c) => ACB = ADB (c.c.c) Hình 69: Xét MNQ và PQM có: MN = QP (c) NQ = PM (c) MQ: cạnh chung (c) => MNQ = QPM (c.c.c) b) Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc này bằng hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. Nếu DABC và DA’B’C’ có Hệ quả: (Hệ quả cũng là một định lý, nú được suy ra trực tiếp từ một định lý hoặc một tớnh chất được thừa nhận). -Nếu hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này lần lượt bằng hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau. c) Trường hợp bằng nhau góc-cạnh-góc (g.c.g): Nếu một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc này bằng một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. VD: ABC và A’B’C’ cú: Thì ABC =A’B’C’ (g.c.g) A C D F B E Hệ quả: 1-Nếu một cạnh gúc vuụng và một gúc nhọn kề cạnh ấy của tam giỏc vuụng này bằng một cạnh gúc vuụng và một gúc nhọn kề cạnh ấy của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau. 2-Nếu cạnh huyền và một gúc nhọn của tam giỏc vuụng này bằng cạnh huyền và một gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau. VD: Cho có Tia phân giác cắt AC ở D, tia phân giác cắt AB ở E So sánh: BD và CE Giải: GT , , phân giác BD và CE, KL So sánh: BD và CE Chứng minh: Xét và có: BC chung 3- Tam giác cân: là tam giác có hai cạnh bằng nhau. ABC cân tại A (AB=AC) A C B Ta gọi: AB và AC là cỏc cạnh bờn, BC là cạnh đỏy, gúc B và C là cỏc gúc ở đỏy, gúc A là gúc ở đỉnh. **Tớnh chất: -Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau. -Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tan giỏc cõn 4-Tam giỏc vuụng cõn: là tam giỏc vuụng cú hai cạnh gúc vuụng bằng nhau. 5-Tam giỏc đều: là tam giỏc cú 3 cạnh bằng nhau. **Tớnh chất: -Trong một tam giỏc đều, mỗi gúc bằng 60o. -Nếu một tam giỏc cú 3 gúc bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc đều. -Nếu một tam giỏc cõn cú một gúc bằng 60o thỡ tam giỏc đú là tam giỏc đều. VD: KOM cân tại M vì MO=MK ONP cân tại N vì ON=NP ONM là tam giỏc đều, vỡ OM = ON = MN 6- Định lí Py-ta-go: Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương của cạnh huyền bằng tổng cỏc bỡnh phương của hai cạnh gúc vuụng. **Định lí Py-ta-go đảo:Nếu một tam giỏc cú bỡnh phương của một cạnh bằng tổng cỏc bỡnh phương của hai cạnh kia thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng. Định lí Py-ta-go: GT ABC vuông tại A KL BC2=AB2+AC2 Định lí Py-ta-go đảo: GT ABC có BC2=AC2+AB2 KL ABC vuông tại A VD: GT ABC, AH BC, AC = 20 cm AH = 12 cm, BH = 5 cm KL Chu vi ABC (AB+BC+AC) Chứng minh: * Xét AHB, theo định lý Py-ta-go ta có: * Xét AHC theo định lý Py-ta-go ta có: Chu vi của ABC là: 7- Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: Nếu hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này lần lượt bằng hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau (theo trường hợp: cạnh –gúc – cạnh) Nếu một cạnh gúc vuụng và một gúc nhọn kề cạnh ấy của tam giỏc vuụng này bằng một cạnh gúc vuụng và một gúc nhọn kề cạnh ấy của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau (theo trường hợp: gúc –cạnh –gúc). Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và gúc nhọn: Nếu cạnh huyền và một gúc nhọn của tam giỏc vuụng này bằng cạnh huyền và một gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh gúc vuụng: Nếu cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này bằng cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau.VD: GT D ABC (=900), DDEF ( = 900) BC = EF ; AC = DF KL D ABC = D DEF Chứng minh: Ta có: D ABC ( = 900) ị BC2 = AB2 + AC2 ị AB2 = BC2 - AC2 D DEF ( = 900) ị ED2 = EF2 - DF2 Mà BC = EF (giả thiết); AC = DF (giả thiết) Vậy AB = ED ị D ABC = D DEF (c-c-c) GT A a:AB = AC( B,C a ) DB = DC ( D a ) KL AD a Chứng minh: Xột ABD và ACD cú : AB = AC ( giả thiết ) ; BD = CD ( giả thiết) AD cạnh chung ABD và ACD ( c.c.c ) DÂB =DÂC ( 2 gúc tương ứng ) Xột AHB và AHC cú : AB = AC ( giả thiết) DÂB =DÂC ( chứng minh trờn ) AH chung AHB = AHC ( c.g.c ) Mà = 1800 ( 2 gúc kề bự ) = 900 AD a VUI TOÁN HỌC ! PHÂN SỐ AI CẬP LÀ Gè? Cỏch đõy khoảng 4000 năm, người Ai Cập đó hiểu được phõn số và biết cỏc phộp tớnh về phõn số. Tuy nhiờn, người cổ Ai Cập chỉ thừa nhận cỏc phõn số cú tử bằng 1. Do đú, mọi phõn số cú tử lớn hơn 1 đều được viết dưới dạng tổng cỏc phõn số cú tử bằng 1 và mẫu khỏc nhau. Chẳng hạn: Sau này, người ta thường gọi cỏc phõn số dạng là phõn số Ai Cập. Trong cỏc tài liệu cổ ở Ba-bi-lon, người ta thấy cỏc phõn số cú mẫu là lũy thừa của 60. Cú lẽ Ấn Độ là nơi đầu tiờn xuất hiện cỏch viết phõn số như ngày nay. Danh từ “ phõn số” được đưa vào chõu Âu từ Ả - rập qua tỏc phẩm của nhà bỏc học í Lờ – ụ – nỏc – đụ Pi-xa- nụ (1202). Cỏch gọi “tử số” và “mẫu số” là của nhà bỏc học Mỏc –xim Pla- nỳt (cuối thế kỷ XIII), người xứ Bi- dăng – xơ (thuộc Hy Lạp).