Giáo trình Phương trình mũ lôgarit

Bài 5 Bất ph−ơng trình mũ và logarit 1. Bất ph−ơng trình mũ Đó là bất ph−ơng trình có dạng f(x) g(x)a a> (hoặc a ). (1) f(x) g(x)a≥ Để giải (1), ng−ời ta th−ờng dựa vào các phép biến đổi t−ơng đ−ơng sau f(x) g(x)a a a 1  > > ⇔ f(x) g(x) a 1 > > f(x) g(x)a a 0 a 1  > < < ⇔ f(x) g(x) 0 a 1. < < < Ví dụ 1. Giải các bất ph−ơng trình sau a) ; b) 2x x 62 1− − > 24x 15x 13 3x 41 4 4 − + −  <   . (1) Giải. a) Bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với x2 − x − 6 > 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞). b) (1) ⇔ 4x2 − 15x + 13 < 4 − 3x (vì 43x−4 = 4 x 1 ) 4 −    . ⇔ 4x2 − 12x + 9 < 0 ⇔ (2x − 3)2 < 0 ⇔ x ∈ ∅. (vô nghiệm) Ví dụ 2. Giải bất ph−ơng trình x25x − 5x+2 ≤ 0. (2) Giải. (2) ⇔ 5x.(x2 − 52) ≤ 0 ⇔ x2 − 52 ≤ 0 (vì 5x > 0) ⇔ −5 ≤ x ≤ 5. Ví dụ 3. Giải bất ph−ơng trình a) 2x x 2 8 1 x x87 7 ( 7) − −< + 6, (3) b) 2x 7,2x 3,96 x(5 25 5) 0− +− − .≥ (4) a) (3) ⇔ ( )22 x xx x 887 7.7 −− −< + 6 . (5) Đặt 2x x 8 − =7 . Từ (5) ta có y 7 y 6 y y 0   ⇔ (y 7)(y 1) 0 y y 0 − +  ⇔ 0 < y < 7. Trở lại biến cũ, ta có 1 (5) ⇔ 2x x 1 8 − < ⇔ (x 4 2 2)(x 4 2 2) 0− + − − < ⇔ x ∈ (−∞, 4 − ( ,4 2 2) (4 2 2, )−∞ − ∪ + +∞ . b) (4) ⇔ 2x 7,2x 3,9 6 x 0 5 25 x 6 − +  − = 5 0− ≥ < ⇔ 2 x 6 x 7,2x 1,4 x 6. = 0− + ≥ < ⇔ x 6 1 x (x 7) 5 x 6 =  − − ≥    < 0 ⇔ x ∈ 1, 5  −∞  ∪ {6}. Chú ý. Để đơn giản trong quá trình giải, ta có thể dùng ẩn phụ. Chẳng hạn đối với bất ph−ơng trình f(ax) ≥ 0, 0 < a ≠ 1, ta đặt t = ax để đi đến hệ f(t) 0 t 0. ≥ > Ví dụ 4. Giải các bất ph−ơng trình sau a) x x 72 1 1 3 3     >      3 1 (6) , b) x x 1 1 . 3 1 1 2 − >− − 1 (7) Giải. a) (6) ⇔ 72 x x3 1− − > ⇔ 72 − x − x > 0 ⇒ 2t t 72 t x 0  0+ − < = ≥ ⇔ 0 t 8 t x ≤ < = ⇔ 0 ≤ x < 64. b) (7) ⇔ x 1 x x x 1 1 3 3 1 0. (3 1)(1 3 ) − − − − + >− − (8) Đặt t= 3x, (8) có dạng 2 t 0 t 2 t 3 0 t (t 1) 1 3 > − − >  − −    ⇔ t 0 4 2 t 3 0 t (t 1) 1 3 >   −     >   − −   ⇔ 3 t 2 0 (t 1)(4 t) t 0  − > − − > ⇔ 3 1 t 2 t 4   Từ đó (8) ⇔ x x 3 1 3 2 4 3  < < < ⇔ 3 3 3 0 x log 2 log 4 x.   < <     < Ví dụ 5. Giải bất ph−ơng trình 3x x x( 2) (4 2) 2.8 .+ ≥ (9) (9) ⇔ 3x x 2 2 2 2 2    + ≥       ⇔ 3 x t t 2 0 2 t 0 2  + − ≥   = >    ⇔ 2 x (t 1)(t t 2) 0 2 t 0 2  − + + ≥   = >    ⇔ x 2 1 2   ≥   (vì t2 + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0]. Chú ý : Khi giải bất ph−ơng trình mũ ta có thể logarit hóa hai vế. Ví dụ 6. Giải các bất ph−ơng trình a) , (10) 2x 1 3 x5 7− < − b) x 1 (3/ 4)x 14 4 5 5 5 5 − −  >   (11) Giải. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log57)(3 − x) (vì hai vế d−ơng) ⇔ (2 + log57)x < 3log57 + 1. ⇔ x < 5 5 1 3log 7 . 2 log 7 + + b) (11) ⇔ 5 54 1 4 3 3(x 1) log log x 15 2 5 4 2  − + > −   − ⇔ 5 54 3 1 4 5x log log5 4 2 5 2  − > −   3 ⇔ x < 5 5 4 log 5 5 . 4 3 2 log 5 4   −      −     Ví dụ 7. Tìm a để bất ph−ơng trình sau nghiệm đúng với mọi x, x x 29 2(2a 1)3 4a 3 0+ + + − > . (12) Đặt t = 3x, (12) có dạng f(t) := t2 + 2(2a + 1)t + 4a2 − 3 > 0. (13) Bài toán trở thành : tìm a để (13) đúng với mọi t > 0. Ta có f(t) = (t + 2a + 1)2 − 4(a + 1) a) a + 1 < 0 (⇔ a < −1), (13) đúng với mọi t. b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 − 2 a 1+ )(t + 2a + 1 + 2 a ) > 0 1+ ⇔ t 2a 1 2 a t 2a 1 2 a  − − + + 1 1 Để (13) đúng với mọi t > 0, cần và đủ là −2a − 1 + 2 a 1 0+ ≤ ⇔ 2 a 1 2a 1+ ≤ + (14) ⇔ ⇔ 24(a 1) 4a 4a 1 2a 1 0  + ≤ + + + ≥ 2 1 a 2 4a 3 0  ≥ − − ≥ ⇔ a ≥ 3 . 2 Đáp số a ∈ (−∞, −1) ∪ 3 , ) 2  .+∞ Ví dụ 8. Giải và biện luận a) a2 − 9x+1 − 8a.3x > 0, (15) b) a2 − 2.4x+1 − a.2x+1 > 0. (16) a) (15) ⇔ a2 − 8a.3x − 9x+1 > 0 ⇔ x 2 x(a 4.3 ) 25.9 0− − > ⇔ ⇔ x 2 x(4.3 a) (5.3 )− > 2 . x x x x 4.3 a 5.3 (17) 4.3 a 5.3 . (18)  − > − < − ⇔ (19) x x 2 3 a 3 a+  < − < + Với a = 0, (19) vô nghiệm + Với a < 0 (19) ⇔ 3x < −a ⇔ x < log3(−a) 4 + Với a > 0 (19) ⇔ 3x+2 < a ⇔ x < log3a − 2. b) Đặt t = 2x, (16) có dạng 2 28t 2at a 0 t 0  + −  ⇔ ⇔ 2 2(a t) 9t 0 t 0  − − > > (a 4t)(a 2t) 0 t 0 − + > > ⇔ + Với a = 0, hệ vô nghiệm + Với a < 0, hệ t−ơng đ−ơng với t < − a 2 nghĩa là (16) nghiệm đúng với mọi x ∈ 2 a, log 2   −∞ −     + Với a > 0, hệ t−ơng đ−ơng với 0 < t < a 4 hay x ∈ (−∞, log2a − 2). Ví dụ 9. Với mỗi a (a > 0, a ≠ 1), giải 2x x 2a a 1+ 1.+ − ≥ (20) Đặt t = a > 0. Lúc đó (20) có dạng x 2 2t a t 1+ − ≥1 ⇔ (21 ⇔ 2 4 2 4a a 4 a a 4 t t 2 2  − − + − + + − −   1.  ≥ ⇔ 2 4 2 2 2 4 o 2 4 2 4 1 2 2 2 4 2 a a 4 0 t (vô nghiệm)2 t a t 1 1 a a 4 t t 2 a a 4 t a a 82 t t 2 t a t 1 1 a a 8 t t 2  − + + < < + − ≤ −  − + + ≥ =  − + +  ≥  − − +⇔   ≤ =  + − ≥   − + +  ≥ =   Vì t2 > to > 0 và t1 < 0 nên (21) ⇔ t ≥ t2. Từ đó a) Nếu 0 < a < 1 thì (20) ⇔ x ≤ logat2. 5 b) Nếu a > 1 thì (20) ⇒ x ≥ logat2. Ví dụ 10. Giải bất ph−ơng trình x x x a 1 a a 1 1 2a − − +>− − x với a > 0, a ≠ 1. (22) (22) ⇔ x x x x a 1 a 0 a 1 1 2a − − +− >− − ⇔ x x x x x a 2 a 1 1 a 0 (a 1)(1 2a ) − − − − − + + >− − ⇔ x x x x (a 2)a 0 (a 1)(a 2) − − >− − ⇔ x x x 1 2a 0 (a 1)(a 2) − >− − . (23) Đặt t = ax > 0, (23) cho ta 1 t 2 0 (t 1)(t 2) − <− − ⇔ 1 0 t 2 1 t 2  < < < < (24) a) Với 0 < a < 1, (24) cho ta x x 1 0 a 2 1 a 2  < < < < ⇔ a a x log 2 0 x log 2. > − > > b) Với a > 1 (24) ⇔ a a x log 2 0 x log 2 < − < < 2. Bất ph−ơng trình logarit Các tính chất sau đây của logarit hay đ−ợc sử dụng a) ⇔ a alog f(x) log g(x) a 1 > > g(x) 0 f(x) g(x) a 1, > > > b)  ⇔ a alog f(x) log g(x) 0 a 1 > < < f(x) 0 g(x) f(x) 0 a 1, > > < < c) ⇔ f(x)log g(x) 0> 0 f(x) 1 0 g(x) 1 f(x) 1 g(x) 1,   > 6 d) lo ⇔ f(x)g g(x) 0< 0 f(x) 1 g(x) 1 f(x) 1 0 g(x) 1  ,  > < < Ví dụ 1. Giải bất ph−ơng trình a) log5(x 2 − x) < 0 (1) b) 3 x 1 g 0, x 2 − >−lo (2) Giải. a) (1) ⇔ 0 < x2 − x < 1 ⇔ 2 x(x 1) 0 x x 1 − > 0− − < ⇔ x 0 x 1 1 5 1 x 2 2   − + < < 5 ⇔ x ∈ 1 5 1 5,0 1, 2 2   − +∪      b) (2) ⇔ x 1 1 x 2 − >− ⇔ 1 x 2− > 0 ⇔ x > 2. Ví dụ 2. Giải 2 1 5 x log (x x 1) 0.+ + > (3) (3) ⇔ ⇔ 25x log (x x 1) 0+ + < ⇔ ⇔ 2 2 x 0 x x 1 x 0 x x 1  > + +  1 1 02x x x 0  + > < ⇔ x < −1. Ví dụ 3. Giải bất ph−ơng trình a) 1 3 x x 2 3log (3 1). log (3 9) 3 +− − > − (4) b) 2 42 27 log x log x 4.− + > 0 (5) Giải. a) Đặt t = log3(3 x − 1). Khi đó (4) có dạng t( 2 t) 3− − > − ⇔ 2t 2t 3+ − < ⇔ −3 < t < 1. Do đó (4) ⇔ ⇔ 3 x3 3 1− < − < 3 x28 3 4 27 < < 7 ⇔ 3 328log x log 427   < <   b) Đặt t = ta nhận đ−ợc bất ph−ơng trình 22log x 7 t 2t 4− + > ⇔ 7 t 4 2t− > − ⇔ ⇔ 2 7 t 0 4 2t 0 4 2t 0 7 t 4t 16t 16  − ≥ − < − ≥ − ≥ − + 2 t 7 3 t 2. 4 < ≤ < ≤ Chú ý. Trong khi giải bất ph−ơng trình logarit, đôi khi ng−ời ta dùng công thức ag(x)log f(x)g(x)f(x) a .= Ví dụ 4. Giải bất ph−ơng trình 2 lg(x 1) lgx2.x 1 (x 1)− ≥ + − . (6) (6) ⇔ 2 lg(x 1)lgx lg(x 1)lgx2.10 1 10− −≥ + Đặt t = 10 , ta có lg(x 1)lgx− 22t t 1 0 t 0  − − ≥ > ⇔ (2t 1)(t 1) 0 t 0 + − ≤ > ⇔ t ≥ 1. Từ đó, (6) ⇔ ⇔ lg(x − 1)lgx ≥ 0 lg(x 1)lgx10 1− ≥ ⇔ ⇔ lg(x 1) 0 lgx 0 lg(x 1) 0 lgx 0  − ≥ ≥ − ≤ ≤ x 2 hay x [2, + ). (vì hệ sau vô nghiệm) ≥ ∈ ∞ Ví dụ 5. Giải các bất ph−ơng trình sau a) 2x 4x 5 1 log | x 2 | 2 −  ≥ −  (7) b) 3x xg 2x log (2x ).≤lo (8) Giải. a) Điều kiện có nghĩa là 2 2x 0, x 4x 5 0 | x 2 |  > ≠ − > − 1 ⇔ x > 5 4 , x ≠ 2. (7) ⇔ 5 x ,x 4 4x 5 x | x 2 |  > ≠ − ≥ − 2 ⇔ 5 x , x 2 4 4x 5 x | x 2 |  > ≠ − ≥ − (9) 8 (9) ⇔ x 2 4x 5 x(x 2) 5 x 2 4 4x 5 x(x 2)  > − ≥ − < < − ≥ − − ⇔ 2 2 x 2 x 6x 5 5 x 2 4 x 2x 5  > 0 0 − + ≤ < < + − ≥ ⇔ 2 x 5 6 1 x 2. < ≤ − ≤ < ⇔ x ∈ (2, 5] [ 6 1, 2).∪ − b) Điều kiện x ≠ 1, x > 0. Đặt t = logx2, (8) có dạng t + 1 ≤ t 3+ ⇔ ⇔ 2 t 1 0 t 3 0 t 1 0 (t 1) t 3  + < + ≥ + ≥ + ≤ + 3 t 1 1 t 1 − ≤ < −− ≤ ≤ Từ đó (8) ⇔ −3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔ x x x 1 3 log 2 1 0 x 1 3 log 2 1  > − ≤ ≤ < <− ≤ ≤ ⇔ 3 x 2 1 0 x 2 ≥ < ≤ ⇔ x ∈ 3 10, [2, ). 2   ∪ +∞   Ví dụ 6. Giải bất ph−ơng trình 2 2 2 3 5 11 2 log (x 4x 11) log (x 4x 11) 0. 2 5x 3x − − − − − ≥− − (10) Điều kiện ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 2 2 x 4x 11 2 5x 3x 0  − − > − − ≠ 0 15 ) ∪ (2 + 15 , +∞) = D Với x ∈ D, 2 2 5 11 5 3log (x 4x 11) log (x 4x 11) . log 11 − −− − = Do đó, trên D (10) ⇒ 2 5 2 5 log (x 4x 11)3 2 log 11 2 5x 3x − − −  − −  (11) ⇔ 2 5 2 log (x 4x 11) 0 2 5x 3x − − ≤− − (vì 2 − 5 3 0 log 11 < ) 9 ⇔ ⇔ 2 5 2 2 5 2 log (x 4x 11) 0 2 5x 3x 0 log (x 4x 11) 0 2 5x 3x 0  − − ≥ − −  2 2 2 2 x 4x 11 1 3x 5x 2 0 x 4x 11 1 3x 5x 2 0  − − ≥ + − > − − ≤ + − < ⇔ x ( , 2) [6, ) 1 x 2, 3 ∈ −∞ − ∪ +∞   ∈ −    ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ [6, +∞). Ví dụ 7. Giải các bất ph−ơng trình a) (12) x 1 x 1log (x 1) log xx (x 1)+ +− + − ≤ 2. Giải : Điều kiện x 0 x 1 0 x 1 0 x 1 1 > − > + > + ≠ ⇔ x > 1. Đặt x t . Khi đó x 1log (x 1)+ − = t > 0, x = 1 log (x 1)x 1 x 1 x 1 x 1 1 t , log x log t log (x 1) −+ + ++ = − hay ⇔ t = x 1 x 1log x log t+ = − x 1log x(x 1) +− . Từ đó (12) có dạng 2t ≤ 2 ⇔ t ≤ 1 hay x 1log (x 1)x 1+ − ≤ ⇔ x 1log (x 1) 0+ − ≤ (vì x > 1) ⇔ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2. Kết luận 1 < x ≤ 2. Ví dụ 8. Giải loga(x − a) > 1 a log (x 1),+ (13) ở đây 0 < a ≠ 1. Giải. Điều kiện x > a. Khi đó (13) ⇔ ⇔ a alog (x a) log (x a)− > − + 2 2alog (x a ) 0− > . (14) a) a > 1, khi đó (14) ⇔ 2 2x a x a  1− > > ⇔ x > 21 a+ b) 0 < a < 1, lúc đó (14) ⇔ 2 2x a x a  1−  ⇔ a < x < 21 a+ . 10 Đáp số : x ∈ 2( 1 a , )+ +∞ với a > 1 x ∈ 2(a, 1 a )+ với 0 < a < 1. Ví dụ 9. Giải bất ph−ơng trình 2 a a a log x log x 2 1 log x 2 + + >− ; 0 < a ≠ 1. (15) Điều kiện x > 0, logax − 2 ≠ 0 hay 0 < x ≠ a2. Đặt t = . Khi đó (15) có dạng alog x 2t t 2 1 t 2 + + >− ⇔ 2t 4 0 t 2 + >− ⇔ t > 2 Trở lại biến cũ t > 2 ⇔ ⇔ alog x 2> 2 2 x a a 1 0 x a 0 a 1.  > > < < < < Kết luận 2 2 x (a , ) khi a 1 x (0, a ) khi 0 a 1  ∈ +∞ > ∈ < .< 11