Hai quy tắc đếm cơ bản

Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 1 - HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Bài 1: Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi: a) Có mấy cách đi xe buýt từ A đến C, qua B? b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B? c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần.? Đáp số: a) 12 b) 144 c) 72 Bài 2: Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc? Đáp số: 4096 Bài 3: Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu: a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần? b) Không thăm 1 bạn quá 1 lần? Đáp số: a) 35831808 b) 3991680 Bài 4: Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở 1 nhà ga và kết thúc ở 1 nhà ga khác, biết rằng từ nhà ga nào cũng có thể đi tới bất kì nhà ga khác? Đáp số: 90 Bài 5: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho: a) Nam, nữ ngồi xen kẽ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau? Đáp số: a) 72 b) 40 c) 32 Bài 6: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau: a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau? b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau? Đại học Quốc gia TP.HCM 1999 Đáp số: a) 1036800 b) 33177600 Bài 7: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác nhau và: a) Gồm 3 chữ số? b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400? c) Gồm 3 chữ số và là số chẵn? d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5? Đáp số: a) 120 b) 400 c) 40 d) 20 Bài 8: Có 10000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau? Đại học Quốc gia Hà Nội 1997 Đáp số: 30240 Bài 9: Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, …, 8, 9) thỏa chữ số bị trí thứ 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Đại học Quốc gia TP.HCM 1997 Đáp số: 2880000 Bài 10: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên. Đại học Y Hà Nội 1997 Đáp số: 36960 Bài 11: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Đáp số: 5880 Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 2 - Bài 12: Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng. a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành. b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành. Đại học Huế 1999 Đáp số: a) 288 b) 312 Bài 13: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0, 2, 3, 6, 9. Đại học Y Hà Nội 1999 Đáp số: 60 Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. Đáp số: 45.105 Bài 15: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Đáp số: 114240 Bài 16: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một. b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5. c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9. Đáp số: a) 156 b) 36 c) 16 Bài 17: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3. Đại học Lâm Nghiệp 1999 Đáp số: 60 HOÁN VỊ Bài 1: Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau? Đáp số: 6 Bài 2: Trong một lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò yêu cầu học sinh ghi thứ tự 3 môn Toán, Lý, Hóa đang học theo mức độ yêu thích giảm dần. Hỏi có bao nhiêu cách ghi khác nhau? Đáp số: 6 Bài 3: Có 2 sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau và 4 sách hóa khác nhau. Cần sắp xếp các sách thành một hàng sao cho các sách cùng môn đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp? Đáp số: 1728 Bài 4: Giải phương trình: ! ( 1)! 1 ( 1)! 6 x x x     với *.x
Đáp số: 2 3x x   Bài 5: Giải bất phương trình: 4 2 1 15 . . n n n n P P P P     Đáp số: {3; 4; 5}n Bài 6: Gọi nP là số các hoán vị của n phần tử. Chứng minh: a) 1 1( 1)n n nP P n P    b) 1 2 3 11 2 3 ... ( 1) n nP P P n P P       Bài 7: Chứng minh rằng với mọi 1: ! . 2 n n n n      
Bài 8: Một tạp chí thể thao định cho ra 22 kì báo chuyên đề về 22 đội bóng, mỗi kì một đội. Hỏi có bao nhiêu cách sao cho: a) Kì báo đầu tiên nói về đội bóng A? b) Hai kì báo liên tiếp nói về hai đội bóng A và B? Đáp số: a) 21! b) 2.21! Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 3 - Bài 9: Tên 12 tháng trong năm được liệt kê theo thứ tự tùy ý sao cho tháng 5 và tháng 6 không đứng kề nhau. Hỏi có mấy cách? Đáp số: 10.11! Bài 10: Người ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đề, mỗi chủ đề gồm 10 câu. Cần sắp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chủ đề 2, 3 không đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp? Đáp số: 60.10! Bài 11: Một công ty cần thực hiện một cuộc điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng về sản phẩm của mình. Công ty đưa ra 10 tính chất của sản phầm và yêu cầu khách hàng sắp thứ tự theo mực độ quan trọng giảm dần. Giả sử tính chất 1 và tính chất 10 đã được xếp hạng. Hỏi có mấy cách xếp? Đáp số: 40320 Bài 12: Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kích thước khác nhau đôi một. Có bao nhiêu cách sắp các bi này thành 1 hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau. Đáp số: 28800 Bài 13: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào 1 ghế dài sao cho: a) C ngồi chính giữa b) A, E ngồi hai đầu ghế Đại học Hàng hải 1999 Đáp số: a) 24 b) 12 Bài 14: Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tùy ý. b) Các học sinh nam ngồi 1 bàn, học sinh nữ ngồi 1 bàn. Đại học Cần Thơ 1999 Đáp số: a) 10! b) 28800 Bài 15: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên 1 kệ dài nếu các cuốn cùng môn sắp kề nhau. Đại học Quốc gia TP.HCM khối D 1999 Đáp số: 207360 Bài 16: Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. Đại học Ngoại thương khối A 2001 Đáp số: 480 Bài 17: Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số mà: a) Năm chữ số 1 sắp kề nhau. b) Các chữ số được sắp tùy ý. Học viện Ngân hàng khối D 1999 Đáp số: a) 120 b) 3024 Bài 18: Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ số chẵn không nằm liền nhau. Cao đẳng Kinh tế Đối ngoại 2000 Đáp số: 3600 Bài 19: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Tính tổng các số trên. Đại học Huế khối D 1997 Đáp số: 120 S = 9333240 Bài 20: Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số mà trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Đại học An ninh khối D 2001 Đáp số: 720 Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 4 - CHỈNH HỢP Bài 1: Một nhà hàng có 5 món ăn chủ lực, cần chọn 2 món ăn chủ lực khác nhau cho mỗi ngày, một món buổi trưa và một món buổi chiều. Hỏi có mấy cách chọn? Đáp số: 20 Bài 2: Trong một trường đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh viên phải chọn ra 2 trong 3 môn đó, 1 môn chính và 1 môn phụ. Hỏi có mấy cách chọn? Đáp số: 6 Bài 3: Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác nhau? Đáp số: 20 Bài 4: Chứng minh với ,n k 
và 2 :k n  a) 11 1 k k k n n nA A kA     b) 2 1 2n n nn k n k n kA A k A     Bài 5: Giải phương trình: 2 2. 72 6( 2 )x x x xP A A P   Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 2001 Đáp số: 3 4x x   Bài 6: Giải bất phương trình: 3 25 21 .x xA A x  Đại học Quốc gia Hà Nội khối B 1998 Đáp số: 3, 4x x  Bài 7: Tìm các số âm trong dãy số 1 2, , ..., nx x x với 4 4 2 143 4 n n n n A x P P     với nP là số hoán vị của n phần tử. Đại học An ninh 2001 Đáp số: 1 2 63 23 , 4 8 x x    Bài 8: Chứng minh với n
và 2n  thì 2 2 2 2 3 1 1 1 1 ... n n A A A n     Đại học An ninh khối A 2001 Bài 9: Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ cái khác nhau lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z và tiếp theo là 5 chữ số khác nhau không có số 0. Đáp số: 9828000 Bài 10: Một đội bóng đá có 18 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí trên sân để thi đấu chính thức. Hỏi có mấy cách chọn nếu: a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vị trí nào? b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được? c) Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được? Đáp số: a) 1118A b) 1017A c) 10153.A Bài 11: Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3 cây bút máy để tặng cho 3 học sinh, mỗi em một cuốn sách và 1 cây bút máy. Hỏi có mấy cách? Đáp số: 151200 Bài 12: Trong một chương trình văn nghệ, cần chọn ra 7 bài hát trong 10 bài hát và 3 tiết mục múa trong 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau nếu cấc bài hát được xếp kế nhau và các tiết mục múa được xếp kế nhau? Đáp số: 7 310 52. .A A Bài 13: Trong một cuộc đua ngựa gồm 10 con. Hỏi có mấy cách để 10 con ngựa này về đích nhất, nhì, ba? Đáp số: 720 Bài 14: Xét các bảng số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, …, Z. Các chữ số được lấy từ 0, 1, …, 9. a) Có mấy biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một khác nhau. Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 5 - b) Có mấy biển số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ, và 2 chữ số lẻ đó giống nhau. Học viện Ngân hàng TP.HCM 2000 Đáp số: a) 3420000 b) 487500 Bài 15: Có 30 học sinh dự thi học sinh giỏi toán toàn quốc. Có 6 giải thưởng xếp hạng từ 1 đến 6 và không ai được nhiều hơn 1 giải. Hỏi: a) Có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có? b) Nếu đã biết học sinh A chắc chắn đoạt giải, thì có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có? Đáp số: a) 630A b) 6 630 29A A Bài 16: Một lớp học có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập và 1 lớp phó lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Đáp số: 59280 Bài 17: Có 6 người đi vào 1 thang máy của chung cư có 10 tầng. Hỏi có bao nhiêu cách để: a) Mỗi người đi vào 1 tầng khác nhau. b) 6 người này, mỗi người đi vào 1 tầng bất kì nào đó. Đáp số: a) 151200 b) 610 Bài 18: Có 10000 chiếc vé số được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số các vé gồm 5 chữ số khác nhau là bao nhiêu. Đại học Quốc gia Hà Nội 1997 Đáp số: 30240 Bài 19: Với 10 chữ số 0, 1, …, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau. Đại học Cảnh sát 1999 Đáp số: 27216 Bài 20: Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một khác nhau. Đáp số: 738 Bài 21: Từ 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Đại học Quốc gia Hà Nội Đáp số: 54 Bài 22: Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Đại học Kinh tế Quốc dân 2001 Đáp số: 1560 Bài 23: Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau. Đại học An ninh 1997 – Y Dược TP.HCM 1997 Đáp số: 1260 Bài 24: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X mà: a) n chẵn. b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1. Đại học Quốc gia TP.HCM khối D 1999 Đáp số: a) 3000 b) 2280 Bài 25: Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có 2 chữ số 1, 2. Đại học Dân lập Thăng Long 1998 Đáp số: 240 Bài 26: Từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số đó đều phải có mặt 0 và 1. Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông 1999 Đáp số: 42000 Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 6 - Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên khác 0) trong đó có một chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1. Đại học Quốc gia TP.HCM 2001 Đáp số: 33600 Bài 28: Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ 1, 3, 4, 5, 7, 8. Đại học Sư phạm Hà Nội 2 – 2001 Đáp số: 3360 x 11111 = 37332960 TỔ HỢP Bài 1: Có 5 học sinh, cần chọn ra 2 học sinh để đi trực lớp. Hỏi có mấy cách chọn? Đáp số: 10 Bài 2: Một nông dân có 6 con bò, 4 con heo. Một nông dân khác đến hỏi mua 4 con bò và 2 con heo. Hỏi có mấy cách chọn mua? Đáp số: 90 Bài 3: Trong một kì thi, mỗi sinh viên phải trả lời 3 trong 5 câu hỏi. a) Có mấy cách chọn. b) Có mấy cách chọn nếu trong 5 câu hỏi có 1 câu hỏi bắt buộc. Đáp số: a) 10 b) 6 Chú ý: - Có thể xem một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử của tập n phần tử đã cho. - Cần phân biệt trong mỗi bài toán chọn k vật từ n vật, có hay không hàm ý thứ tự. Nếu có thứ tự, đó là chỉnh hợp; nếu không có thứ tự, đó là tổ hợp. Bài 4: Giải phương trình: 4 5 6 1 1 1 x x xC C C   Đáp số: 2x  Bài 5: Tìm n sao cho: 3 1 4 1 3 1 14 n n n C A P     Đại học Hàng hải 1999 Đáp số: {3, 4, 5}n Bài 6: Tìm x thỏa: 2 2 32 1 6 10 2 x x x A A C x    Đại học Bách khoa Hà Nội 2000 Đáp số: 3 4x x   Bài 7: Tìm ,x y thỏa: 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C      Đại học Bách khoa Hà Nội 2001 Đáp số: 5 2x y   Bài 8: Cho ,k n
thỏa 2.n k  Chứng minh: 22( 1) ( 1)k kn nk k C n n C    Đại học Quốc gia Hà Nội 1999 Bài 9: Cho 4 .k n  Chứng minh: 1 2 3 4 44 6 4k k k k k kn n n n n nC C C C C C         Đại học Quốc gia TP.HCM 1997 Bài 10: Tìm k 
sao cho: 2 114 14 142k k kC C C   Cao đẳng Sư phạm TP.HCM 1998 Đáp số: 4 8k k   Bài 11: Cho ,m n
và 0 .m n  Chứng minh: a) 11 m m n nmC nC   b) 1 1 1 11 2 1... m m m m m n n n m mC C C C C            Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 7 - Trung tâm Bồi dưỡng Cán bộ Y tế TP.HCM 1998 Bài 12: Chứng minh: 0 2001 1 2000 2001 2001 0 20022002 2002 2002 2001 2002 2002 2002 1. . ... . ... . 1001.2k kkC C C C C C C C      Trung tâm Bồi dưỡng Cán bộ Y tế TP.HCM 2001 Bài 13: Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu. a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý? b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc? c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau? Đáp số: a) 45 b) 21 c) 25 Bài 14: Có 12 học sinh ưu tú. Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ưu tú toàn quốc. Có mấy cách chọn: a) Tùy ý? b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi? c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi? Đáp số: a) 495 b) 450 c) 255 Bài 15: Một phụ nữ có 11 người bạn thân trong đó có 6 nữ. Cô ta định mời ít nhất 3 trong 11 người đó đến dự tiệc. Hỏi: a) Có mấy cách mời? b) Có mấy cách mời để trong buổi tiệc gồm cô ta và các khách mời, số nam nữ bằng nhau? Đáp số: a) 1981 b) 325 Bài 16: Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn? Đáp số: 34650 Bài 17: Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học. Muốn chọn một đoàn đại biểu gồm 5 người (gồm một trưởng đoàn, một thư ký, và ba thành viên) đi dự trại quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Đại học Quốc gia TP.HCM 1997 Đáp số: 15840 Bài 18: Một đoàn tàu có 3 toa chở khách; toa I, II, III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu. Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên 3 toa. b) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tàu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị khách. Đại học Luật Hà Nội 1999 Đáp số: a) 81 b) 24 Bài 19: Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2. Khối B – 2004 Đáp số: 56875 Bài 20: Một chi đoàn có 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ. Muốn chọn 1 tổ công tác 5 người. Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần ít nhất 1 nữ. Đại học Y Hà Nội 1998 Đáp số: 15252 Bài 21: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập 1 tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư là tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Đại học Kiến trúc Hà Nội 1998 Đáp số: 2520 Bài 22: Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra 1 tốp ca gồm 5 em trong đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Cao đẳng Sư phạm Hà Nội 1999 Đáp số: 10800 Bài 23: Một đội cảnh sát gồm 9 người. Trong này cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ tại B, còn lại 4 người trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Học viện Kỹ thuật Quân sự 2000 Đáp số: 1260 Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 8 - Bài 24: Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Muốn lập 1 đoàn công tác có 3 người gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà Toán học lẫn Vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Đại học Y Hà Nội 2000 Đáp số: 90 Bài 25: Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ: a) Thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau. b) 5 người trong đó có không quá 1 nam. Học viện Chính trị 2001 Đáp số: a) 120 b) 66 Bài 26: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy. Tú tài 1999 Đáp số: 1200 Bài 27: Một bộ bài có 52 lá; có 4 loại: cơ, rô, chuồn, bích; mỗi loại có 13 lá. Muốn lấy ra 8 lá bài trong đó phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích. Hỏi có mấy cách? Đáp số: 39102206 Bài 28: Có 2 đường thẳng song song 1( )d và 2( )d . Trên 1( )d lấy 15 điểm phân biệt. Trên 2( )d lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy. Đáp số: 1485 Bài 29: Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự hội nghị của trường sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp. Đại học Giao thông Vận tải 2000 Đáp số: 324 Bài 30: Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người, đều có học sinh giỏi và có ít nhất 2 học sinh khá. Học viện Quân sự 2001 Đáp số: 3780 Bài 31: Một người có 12 cây giống trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn 6 cây giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho: a) Mỗi loại có đúng 2 cây. b) Mỗi loại có ít nhất 1 cây. Trường Hàng không 2000 Đáp số: a) 90 b) 686 Bài 32: Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập 1 tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau phải có ít nhất 2 nữ. Đại học Huế 2000 Đáp số: 5413695 Bài 33: Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rống chứa 1 số chẵn các phần tử. Đại học Nông nghiệp khối B 2000 Đáp số: 511 Bài 34: Một tổ sinh viên có 20 em. Trong đó chỉ có 8 em biết nói tiếng Anh, 7 em biết tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần chọn 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm. Đại học Sư phạm Vinh 1999 Đáp số: 1960 Bài 35: Trong 1 hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, cấc quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu. Đại học Nông lâm khối D 2001 Đáp số: 910 Bài 36: Một hộp chứa 6 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi có mấy cách lấy ra 4 bi: Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 9 - a) Màu tùy ý. b) Gồm 2 bi trắng và 2 bi đen. Đáp số: a) 330 b) 150 Bài 37: Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu. b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng số. c) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu và khác số. Đại học Dân lập Thăng Long 1999 Đáp số: a) 34 b) 4 c) 64 Bài 38: Có 9 viên bi xanh, 5 đỏ, 4 vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra: a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. Đại học Cần Thơ 2000 Đáp số: a) 7150 b) 3045 Bài 39: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó: a) Có đúng 1 bông hồng đỏ. b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ. Đại học Quốc gia TP.HCM khối D 2000 Đáp số: a) 112 b) 150 Bài 40: Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 1 hộc có 7 ô trống. a) Hỏi có mấy cách xếp khác nhau. b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi trắng xếp cạnh nhau. Học viện Quân Y 2000 Đáp số: a) 840 b) 48 Bài 41: Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn 4 bi từ hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu. Đại học Huế 1999 Đáp số: 645 Bài 42: a) Cho ,k n
và .k n Chứng minh: 1 11k k kn n nC C C   b) Một đa giác lồi n cạnh có mấy đường chéo. Đại học Quốc gia TP.HCM khối D 1998 Đáp số: b) ( 3) 2 n n  Bài 43*: Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H. a) Có bao nhiêu tam giác như vậy. b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H. c) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H. d) Có mấy tam giác không có cạnh nào là của H. Học viện Ngân hàng TP.HCM 2000 Đáp số: a) 1140 b) 20 c) 320 d) 800 Bài 44*: Trên mặt phẳng cho 1 thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là 3 cạnh của thập giác. Đại học Ngoại thương khối A 2001 Đáp số: 50 Trường THPT Nguyễn Trãi Gv: Lương Công Sự Đại Số Tổ Hợp - 10 - Bài 45*: Cho đa giác đều 1 2 2... nA A A ( n
và 2n  ) nội tiếp trong đường tròn ( ).O Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh 1 2 2, , ..., nA A A nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh 1 2 2, , ..., nA A A . Tìm .n Khối B – 2002 Đáp số: 8n  Bài 46: Trong 1 trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Đại học Sư phạm Hà Nội 1999 Đáp số: 19408 Bài 47: Lớp học có 4 nữ, 10 nam. Cần chia làm hai tổ, mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam. Hỏi có mấy cách chia? Đáp số: 1512 Bài 48: A, B, C đến nhà D mượn sách. D có 1 cuốn tiểu thuyết và 8 cuốn sách giáo khoa khác nhau. A mượn 2 cuốn trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết. B mượn 2 cuốn giáo khoa và C mượn 3 cuốn giáo khoa. Hỏi có mấy cách khác nhau để D cho mượn sách? Đáp số: 1680 Bài 49: Có 1 tờ bạc 5000đ, 1 tờ bạc 10000đ, 1 tờ bạc 20000đ và 1 tờ bạc 50000đ. Từ các tờ bạc này, có thể tạo ra bao nhiêu tổng số tiền khác nhau? Đáp số: 15 Bài 50: Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, trong đó có An và Bình. Người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ. b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ. Đại học Kinh tế TP.HCM 2001 Đáp số: a) 2974 b) 15048 Bài 51: Số 210 có bao nhiêu ước số. Đáp số: 16