Hàm hợp và hàm ngược

Hàm hợp Cho các hàm số: trong đó X, Y, Z là các tập hợp số nói chung. Hàm hợp của f1 và f2 là hàm số: được định nghĩa bởi: Có thể ký hiệu hàm hợp là: Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x2+1) là hàm số hợp f2(f1(x)), trong đó f2(y) = sin(y), f1(x) = (x2 +1). Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn. Hàm ngược Cho hàm số song ánh: trong đó X, Y là tập hợp số nói chung. Khi đó mỗi phần tử y = f(x) với y nằm trong Y đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong X. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X. Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được kí hiệu là: Nếu f-1(x) tồn tại ta nói hàm số f(x) là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược f-1(x) và ngược lại. Đồ thị: Thông thường thì hàm số được xác định bằng một biểu thức tổng quát y = f(x) nào đó, ví dụ như y = x2 - 5. Tuy nhiên cũng có những hàm đặc biệt mà qui tắc cho tương ứng x với y của nó không theo bất kỳ một qui luật nào để có thể diễn đạt bằng một biểu thức toán học. Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các giá trị đối số x và các giá trị hàm số y tương ứng với chúng. Ngoài ra hàm số còn có thể được xác định một cách triệt để bằng đồ thị của nó. Đối với hàm số một biến số thực (có miền xác định thực), đồ thị hàm số được định nghĩa như sau: Đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng R2 có tọa độ [x, f(x)]. Ký hiệu đồ thị hàm số, theo định nghĩa trên, là: