Hướng dẫn chấm chọn học sinh giỏi môn Toán - Lớp 6

PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 6 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm S = 2. ..........................................................0,25đ S = 2.. ..........................................0,25đ S = 2. = ................................0,25đ Vì 30 < 32 nên S < 1 ..................................0,25đ b) 1,5 điểm Có = 1 - và = 1 + .................................................................0,5đ * Nếu a > 0 và b > 0 thì > 0 và > 0 ..................................................0,25đ Þ 1 - < 1 + hay < ..........................................................0,25đ * Nếu a < 0 và b < 0 thì < 0 và < 0 .................................................0,25đ Þ 1 - > 1 + hay > ..........................................................0,25đ Bài 2 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm Theo bài ta có x = - 99 + ( - 98 ) + ....+ ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + ...+ 98 + 99 ................. 0,25đ x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + ... + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .............0,25đ x = 0 Þ x2006 = 0 và y = - 1 Þ y2007 = ( - 1 )2007 = - 1 ............................................................................................0,25đ Do đó ta có A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007 = 0 - 2008.( -1 ) = 2008 .............................................0,25đ b) 1,5 điểm Ta có Þ ..........................................................................0,25đ Þ ......................................................................0,25đ Þ ....................................................0,25đ Þ Þ .....................................................0,5đ Þ -11.x = 22 Þ x = - 2 .................................................................0,25đ Bài 3 ( 2,0 điểm ) Gọi phân số tối giản lúc đầu là . Nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số ; phân số này nhỏ hơn phân số 2 lần .............................................................0,5đ Để gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a + b phải bằng 4 lần a ..............................0,5đ Þ Mẫu số b phải gấp 3 lần tử số a .....................................................................0,5đ Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là .........................................................0,5đ Bài 4 ( 3,0 điểm ) m t’ 2,0 điểm . Xét đủ hai trường hợp : n * Khi tia On nằm giữa hai tia Ox và Om t + Vì tia On nằm giữa hai tia Om và Ox Þ xOn = a0 - b0 ......................0,25đ x y O + Vì Ot là phân giác của xOn nên nOt = xOn = ................0,25đ + Số đo của mOt là : mOt = mOn + nOt = = ............0,5đ * khi tia Om nằm giữa hai tia Ox và On m n t’ + Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và On t Þ xOn = xOm + mOn = a0 + b0 ............. 0,25đ + Vì Ot là phân giác của xOn nên xOt = xOn = ......................0,25đ x O y + Số đo của mOt là : mOt = xOm - xOt = = ...................0,5đ 1,0 điểm Trong cả hai trường hợp trên, ta đều có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 900 ....................0,5đ Mà tOn = xOt ( do Ot là phân giác của xOn ) ..................................................0,25đ Þ nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác của nOy ....................................................0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 6 ) đúng vẫn cho điểm tối đa ---------- Hết ---------- PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 7 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,5 điểm ) a) 1,25 điểm + Rút gọn vế phải có .........................................................0,25đ = = .....................................................................0,5đ + Vậy ta có = Þ = 1 ....................................................................................0,25đ + Tính được x = ± 1 ...........................................................................................................0,25đ b) 1,25 điểm + Viết tách xm + 3 = x3.xm và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng .............................0,25đ + Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 )m - xm = 0 ..........................................................0,25đ + Chuyển vế có ( 2x - 1 )m = xm và xét : * Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x Þ x = 1 ...............................................................0,25đ * Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x Þ x = 1 và x = ( loại ) ......0,25đ + Vậy x = 1 ............................................................................................................0,25đ Bài 2 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Đặt 32005 làm nhân tử chung đúng .............................................................0,25đ + Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 .......................................................0,25đ + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 cũng chia hết cho 11 ................0,5đ + Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 ....................................0,25đ b) 1,0 điểm + Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì = ...........0,5đ + Lập tích các tỉ số để có ......................................................0,5đ Bài 3 ( 2,0 điểm ) + Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1 £ x £ 9 ; 0 £ y £ 9 ; 0 £ z £ 9 ........................................0,25đ + Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 Þ ( x + y + z ) chia hết cho 9 (1) .............................0,25đ + Theo điều kiện trên thì 1 £ x + y + z £ 27 (2) .................................................................................0,25đ Từ (1) & (2) Þ x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) ....................................................................0,25đ Theo bài thì Î N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 ......................................0,25đ + Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 ..........................................................0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 ....................................................................0,25đ Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 ...........................................................................................0,25đ Bài 4 ( 3,5 điểm ) a) 1,5 điểm A N K I M B H C + Vì I Î đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1) + Vì K Î đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2) + Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của DIHK 1,0 điểm + Do AH ^ BC nên BC phải là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của DIHK (3) Từ (2) & (3) Þ IC là phân giác trong tại đỉnh I của DIHK, kết hợp với (1) Þ IC ^ AB + Có HM ^ AB & IC ^ AB nên CI // HM * Chứng minh tương tự, ta cũng có BK ^ AC & HN ^ AC nên BK // HN ........................0,5đ b) 2,0 điểm * Trong trường hợp A = 900, chứng minh như câu a ta có I và K trùng với A ....................1,0đ * Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta cũng có kết quả tương tự .............0,75đ Vậy trong trường hợp A ³ 900 ta vẫn có CI // HM và BK // HN ......................................0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 7 ) đúng vẫn cho điểm tối đa ---------- Hết ---------- PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG MÔN TOÁN - LỚP 8 Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Tập xác định x ¹ 1; x ¹ - 1 và x ¹ ± ......................................... 0,25đ + Rút gọn P = ...............................................................0,75đ b) 1,0 điểm + Viết P = x - ..............................................................................0,25đ + Để P có giá trị nguyên thì x là ước của 2 Û x = ± 1 ( loại ) ................0,25đ x = ± 2 ( nhận ) ...............0,25đ + Từ đó các giá trị nguyên của P là 1 và - 1 ............................................0,25đ Bài 2 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Viết M = ....................................................................0,25đ + Vì ( x + 1 )2 ³ 0 với mọi x Þ ( x + 1 )2 + 2 ³ 2 với mọi x .............0,25đ + Có M £ nên M có giá trị lớn nhất là M = 1 .....................0,25đ + Dấu “ = ” xảy ra khi x = -1 .........................................................0,25đ b) 1,5 điểm Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + 7 (m), điều kiện x > 0 .............................0,25đ Theo định lý Pi-ta-go thì x2 + ( x + 7 )2 = 132 ............................................0,25đ Û x2 + x2 + 14x + 49 = 169 Û 2x2 + 14x - 120 = 0 Û ( x + 12 )( 2x - 10 ) = 0 Vậy x = -12 ( loại ) hoặc x = 5 ( nhận ) ...............................0,5đ Tính được diện tích của hình chữ nhật S = 60m2 ...............................................................0,5đ Bài 3 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Chuyển vế và tách - = - ....................................0,25đ + Nhóm, quy đồng mẫu của từng nhóm và thực hiện đúng phép cộng .........0,25đ + Đặt nhân tử chung trên tử thức để có : ................0,25đ + Vì a ³ 1 và b ³ 1 nên phân thức trên ³ 0 ; từ đó suy ra điều cần c/m .........0,25đ b) 1,5 điểm + ĐKXĐ : x ¹ ± m .............................................................................................................0,25đ + Quy đồng và khử mẫu 2 vế, đưa về PT ( m - 1 ).x = ( m - 1 )( 2m - 3 ) ........................0,25đ + Với m ¹ 1 ta có x = 2m -3 ..............................................................................................0,25đ + Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - 3 ¹ m Û m ¹ 3 và 2m - 3 ¹ - m Û m ¹ 1 ................0,25đ Vậy khi m ¹ 1 và m ¹ 3 thì PT đã cho có 1 nghiệm x = 2m - 3 ....................................0,25đ + Với m = 1, PT có dạng 0.x = 0 Þ mọi số thực x ¹ ± 1 đều là nghiệm của PT ............0,25đ Bài 4 ( 3,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) B + Có BIC > A Þ Vẽ BIN = A ( N Î BC ) ............... 0,25đ Þ DABI ∽ DIBN ( g-g ) .............................................0,25đ Þ AB/ BI = BI/ BN Þ BI2 = AB.BN .......................... 0,25đ M + Có BN < BC nên BI2 < AB.BC ..............................0.25đ K b) 1,5 điểm + Tính được HCB = 400 Þ HCK = BCK = 200 .................0,25đ H N + Tam giác vuông AHC có ACH = 300 Þ AH = CH/2 ......0,25đ (1) + Vì CK là phân giác HCB nên kết hợp với (1) A I C Þ ......................................0,25đ (2) + Vẽ KM ^ BC tại M thì DBMK ∽ DBAC ( g-g ) Þ Û ....................0,25đ Kết hợp với (2) Þ (3) ; vì BI là phân giác ABC nên (4) .................0,25đ + Từ (3) & (4) Þ Þ HI // CK ......................................................................................0,25đ c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 200 ( 2 góc so le trong ) ............................................0,5đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán 8 ) đúng vẫn cho điểm tối đa ----------- Hết -----------