Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”

PHẦN THỨ NHẤT : NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI 1. TÊN ĐỀ TÀI Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS 2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2.1 Lí do về mặt lí luận: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ưng Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ ra: Mục tiêu GD – ĐT phải hướng vào đào tạo những con người lao động, tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đĩ mà gĩp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội cơng bằng văn minh. Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khĩa VII, 1997) khẳng định rõ hơn. Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thơng . . . Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Điều 24 Luật giáo dục (1998) viết: Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, mơn học. RajaRoy singh trong cuốn “Nếu giáo dục cho thế kỷ XXI. Những trển vọng của Châu Á – Thái Bình Dương” đã khảng định . Để đáp ứng được những địi hỏi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo . . . Các năng lực này cĩ thể quy gọn về năng lực giải quyết vấn đề. Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ. Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận,… Ơû bậc trung học cơ sở việc dạy dạng “toán chia hết” cho học sinh là rất cần thiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên. 2.2 Lí do về mặt thực tiễn: Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Tân Thanh – Lâm Hà có nhiều vấn đề phải quan tâm, giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán, của học sinh khối 6 còn yếu rất nhiều, theo cuộc điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tới hơn 50% học sinh đạt điểm dưới trung bình. Còn các lớp trên cũng được liệt kê rất nhiều học sinh yếu toán. Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạo học sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán thật là một thiệt thòi lớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song song với nhau. Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,… Một trong dạng toán đó là “Dạng toán chia hết”. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Hướng dẫn giải dạng toán “chia hết” cho học sinh khá, giỏi trong chương trình toán bậc trung học cơ sở. 4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Thời gian nghiên cứu từ 10 tháng 9 năm 2005 đến 25 tháng 11 năm 2006. Địa điểm tại trường THCS Tân Thanh gồm các khối lớp 6 đến lớp 9. 5. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán. PHẦN THỨ II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Phương pháp giải toán: Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất định và vận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán. Thủ thuật : Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết một khâu hay cả bài toán. Giải bài toán: Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán. Muốn tìm ra ấn số phải là một quá trình suy luận. Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quá trình hoạt động trí tuệ của học sinh. Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên cũng phải truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chất thuật toán. Đặc biết khi hướng dẫn giải toán giải toán cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm tìm đoán, và ngầm thể hiện cho học các bước giải toán của “Polya”. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Trong chương trình toán (THCS), có rất nhiều dạng toán thể hiện mục tiêu trên, một trong số đó có dạng “Toán chia hết” là một trong số các dạng toán quan trọng trong chương trình toán THCS. Nó có mặt nhiều trong các lần kiểm tra định kỳ, thi học kỳ, thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chất lượng cao, và một số đề thi cấp Huyện, Tỉnh ,… Điều này còn được thể hiện ở chỗ lượng bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập khá nhiều và rất phong phú. Dạng toán chia hết được đề cập ngay từ học kỳ I của lớp 6 và nó trải xuyên suốt cả chương trình toán THCS và ở mỗi khối học, yêu cầu về mặt kiến thức cũng khác nhau, mức độ yêu cầu cũng khác nhau. Nhưng kiến thức đòi hỏi có sự kế thừa, cái này là cơ sở của cái kia, chúng bổ trợ cho nhau. Chính điều này yêu cầu người học phải nắm chắc được kiến thức cơ bản, được cụ thể hoá trong từng bài và tóm tắt trong từng chương của sách giáo khoa từng khối lớp, biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để giải quyết tốt được bài tập dạng này. Có thể nói rằng dạng “toán chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này. Là một giáo viên dạy toán tôi muốn các em chinh phục được nó, và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp cho các em phát triển tư duy suy luận, óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. HƯ thèng c¸c bµi tËp t«i ®­a ra ®Ịu tõ dƠ ®Õn khã, bªn c¹nh ®ã cßn cã c¸c bµi tËp n©ng cao cho häc sinh giái. L­ỵng bµi tËp ¸p dơng t­¬ng tù cịng t­¬ng ®èi nhiỊu, nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này ®iỊu ®ã giĩp c¸c em høng thĩ häc tËp h¬n rÊt nhiỊu. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Dạng toán “Chia hết” được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9, và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy rất vất vả nhất là các em học sinh khối 8 và khối 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời gian cho tiết dạy. Kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi chứng minh rất dài dòng và phức tạp, thực chất nếu các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì chứng minh rất đơn giản. Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên không hay để ý tới dạng toán này, vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong sách giáo khoa nên không nghĩ đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hay ra ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như không có trong thư viện nhà trường, các chủ đề tự chọn cũng chưa được giáo viên nào đề cập tới mà yêu cầu về bồi dưỡng học sinh giỏi lại có dạng toán “ Chia hết” trong chương trình. Từ những suy nghĩ đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này. III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. Cơ sở lý thuyết §Ĩ häc sinh häc tèt, lµm tèt ®­ỵc d¹ng “To¸n chia hÕt ” nµy t«i trang bÞ cho c¸c em néi dung kiÕn thøc sau, ®ã lµ nỊn t¶ng, lµ c¬ së ®Ĩ ¸p dơng gi¶i c¸c bµi tËp d¹ng nµy. 1.TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch. - NÕu - NÕu - NÕu .b - NÕu am (n lµ sè tù nhiªn). 2.DÊu hiƯu chia hÕt cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8. * DÊu hiƯu chia hÕt cho 2 lµ: Mét sè chia hÕt cho 2 khi vµ chØ chi sè Êy cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè ch½n (0, 2, 4, 6, 8) *DÊu hiƯu chia hÕt cho 5 lµ:Mét sè chia hÕt cho 5 khi vµ chØ khi sè Êy cã ch÷ ch÷ sè tËn cïng lµ 0 hoỈc 5. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 3: Mét sè chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi tỉng c¸c ch÷ sè ®ã chia hÕt cho 3. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 9: Mét sè chia hÕt cho 9 khi vµ chØ khi tỉng c¸c ch÷ sè ®ã chia hÕt cho 9. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 6: Mét sè chia hÕt cho 6 khi vµ chØ khi nã ®ång thêi chia hÕt cho 2 vµ cho 3. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 4: Mét sè chia hÕt cho 4 khi vµ chØ khi hai ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh mét sè chia hÕt cho 4. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 8: Mét sè chia hÕt cho 8 khi vµ chØ khi sè ®ã cã ba ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh mét sè (cã 3 ch÷ sè) chia hÕt cho 8. *DÊu hiƯu chia hÕt cho 10: Mét sè chia hÕt cho10 th× cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0 vµ ®¶o l¹i. * DÊu hiƯu chia hÕt cho 11: Mét sè chia hÕt cho 11 khi vµ chØ khi hiƯu gi÷a tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã “®øng ë vÞ trÝ lỴ ” vµ tỉng c¸c ch÷ sè “®øng ë vÞ trÝ ch½n ” (kĨ tõ tr¸i sang ph¶i) chia hÕt cho 11. 3. §ång d­: *Hai sè a vµ b ®ång d­ víi nhau theo m« ®un m khi vµ chØ khi a – b chia hÕt cho m. *Cã thĨ “céng ” c¸c ®ång d­ thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a b (mod m), c d ( mod m ) th× a c b d (mod m) *Cã thĨ nh©n tõng vÕ c¸c ®ång d­ thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a b (mod m) , c d ( mod m) th× ac bd (mod m) 4. Nguyªn t¾c ®irichlª: Néi dung nguyªn t¾c nµy ®­ỵc ph¸t biĨu d­íi d¹ng bµi to¸n sau: NÕu nhèt n thá vµo m lång (víi n > m) nghÜa lµ sè thá nhiỊu h¬n sè lång th× Ýt nhÊt cịng cã mét lång nhèt kh«ng Ýt h¬n 2 con thá. 5.Ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p: Muốn chứng minh một khẳng định An đúng với mọi n = 1,2,3,… ta chứng minh như sau: Khẳng định A1 đúng. Giả sử khẳng định Ak đúng với mọi k 1, ta cũng suy ra khảng định Ak + 1 đúng. Kết luận : Khẳng định An đúng với mọi n = 1,2,3 … 6. Chøng minh b»ng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng Muốn chứng minh khẳng định P đúng bằng phương pháp phản chứng, ta làm như sau: Bước 1: Giả sử ngược lại P sai. Bước 2: Từ giả sử P sai, chúng ta suy ra điều vô lý. Bước 3: điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng. B. Các dạng toán Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người học tham khảo, lựa chọn một số bài để cho học sinh làm từ dễ đến khó. Một bài có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho học sinh tính linh hoạt trong quá trình giải toán. 1. D¹ng1: T×m c¸c ch÷ sè ch­a biÕt cđa mét sè Bµi to¸n 1: T×m c¸c ch÷ sè a vµ b sao cho chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 8. §Ĩ t×m ®­ỵc a vµ b häc ph¶i thÊy ®­ỵc 2 dÊu hiƯu c¬ b¶n ®ã lµ sè ®ã chia hÕt cho 5 vµ cho 8. V× chia hÕt cho 5 nªn ch÷ sè tËn cïng b = 0 hoỈc b = 5. V× chia hÕt cho 8 nªn suy ra b = 0. MỈt kh¸c chia hÕt cho 8 suy ra chia hÕt cho 4. chia hÕt cho 4 chia hÕt cho 4 suy ra a Ỵ{ 0, 2, 4, 6, 8}. Ta cã chia hÕt cho 8 chia hÕt cho 8 nªn a = 2 hoỈc a = 6. NÕu a = 2 th× b = 0 NÕu a = 6 th× b = 0 KL: VËy sè ph¶i lµ 1920, 1960. Bµi to¸n 2: Ch÷ sè a lµ bao nhiªu ®Ĩ võa chia hÕt cho 3 võa chia hÕt cho 8. V× 8 8 100a + 96 8 suy ra 100a8 vËy a lµ sè ch½na Ỵ{ 2, 4, 6, 8} (1). V× 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 5a + 15 3 Mµ 153 5a3 Mµ (5, 3) = 1 Suy ra a 3 vËy a Ỵ{ 3, 6 ,9} (2). Tõ (1) vµ (2 ) suy ra a = 6 KL: VËy sè ph¶i t×m lµ 6666696. Bµi to¸n 3 : T×m ch÷ sè a ®Ĩ 11. HD: Tỉng c¸c ch÷ sè hµng lỴ lµ 2 + a . Tỉng c¸c ch÷ sè hµng ch½n lµ 2a. *NÕu 2a ³ a + 2 a ³ 2 th× 2a – (a + 2) = a -2 £ 9 – 2 = 7 Mµ (a - 2) 11 nªn a - 2 = 0 a = 2 *NÕu 2a £ a + 2 a <2 th× (a + 2) - 2a = 2 - a lµ 2 hoỈc 1 kh«ng chia hÕt cho11. Kết luận : VËy a = 2 Bµi to¸n 4 T×m c¸c ch÷ sè a, b ®Ĩ sè chia hÕt cho 8 vµ cho 9. *C¸ch 1: NÕu chia hÕt cho 8 th× dÊu hiƯu chia hÕt cho 8 ta cã 8 hay = 400 + 10a + b = 8p (p Ỵ Z) (*) MỈt kh¸c nÕu 9 th× (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9 Hay (1 + a + b) 9 1 + a + b = 9q (qỴ Z) ( **) V× a vµ b lµ c¸c ch÷ sè nªn a + b £ 18 Tõ (**) suy ra 9q £ 28 (q>1) VËy q = 2 hoỈc q = 3 Trõ (*) víi (**) ta cã 390 + 9a = 8p – 9q , hay p = 49 + a + q + V× p nguyªn nªn nguyªn hay a + q – 2 8 +NÕu q = 2 th× a = 0 hoỈc a = 8 Tõ (**) ta cã b = 9q – a – 10 do ®ã b = 8 hoỈc b = 0 + NÕu q = 3 th× a = 7 suy ra b = 10 ( v« lÝ v× b £ 9) KL: VËy cã sè tho¶ m·n ®Ị bµi lµ: 123480, 123408. *C¸ch 2 = 123400 + = 72.1713 + 64 + V× chia hÕt cho 8 vµ cho 9 nªn chia hÕt cho 72 VËy 64 + chia hÕt cho 72 . V× 64 < 64 + £ 163 nªn 64 + b»ng 72 hoỈc 144. + NÕu 64 + = 72 th× = 08 + NÕu 64 + = 144 th× = 80 KL: VËy c¸c sè tho¶ m·n ®Ị bµi lµ: 123480, 123408. Bµi to¸n 5: T×m c¸c sè a,b sao cho: 1) a – b = 4 vµ chia hÕt cho 3 2) a – b = 6 vµ + chia hÕt cho 9 Giải: 1) a – b = 4 vµ chia hÕt cho 3 Ta cã: chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi ( 7 + a + 5 + b + 1) chia hÕt cho 3 hay ( a +b + 13) chia hÕt cho 3 suy ra ( a +b ) chia 3 d­ 2 (1) Ta cã a – b = 4 nªn 4 £ a £ 9 ; 0 £ b £ 5 Suy ra 4£ a+b £ 14 (2) MỈt kh¸c a – b lµ sè ch½n nªn a + b lµ sè ch½n (3) Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra a + b Ỵ {8;14} Víi a + b = 8; a – b = 4 ta ®­ỵc a = 6; b = 2. Víi a + b = 14; a - b = 4 ta ®­ỵc a = 9; b = 5. KL: VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ a = 6; b = 2 vµ a = 9; b = 5 2) + chia hÕt cho 9 khi vµ chØ khi ( 4 + a + 7 + 1 + b + 5 ) chia hÕt cho 9 hay ( a + b + 8 ) chia hÕt cho 9 (a + b) chia cho 9 d­ 1 Do a + b ³ a – b = 6 nªn a + b = 10 tõ ®ã t×m ®­ỵc a = 8; b = 2. Bµi tËp t­¬ng tù : Bµi 1: T×m c¸c sè x, y sao cho 72 HD: 72 = 72. 2769 + 32 + 72 « 32 + 72 V× 32 £ 32 + £ 32 + 99 = 131 nªn 32 + = 72 « = 40 VËy x = 4 , y = 0. Bµi 2: T×m ch÷ sè x ®Ĩ chia hÕt cho 3 nh­ng kh«ng chia hÕt cho 9. HD: V× chia hÕt cho 3 « (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hÕt cho 3 Hay (x + 25) chia hÕt cho 3 V× 1£ x £ 9 nªn 24 £ 23 + x £ 32 Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 23 ®Õn 32 cã 24, 30, chia hÕt cho 3mµ kh«ng chia hÕt cho 9. Bµi 3 : Ph¶i viÕt Ýt nhÊt mÊy sè 1994 liªn tiÕp nhau ®Ĩ ®­ỵc mét sè chia hÕt cho 3. HD: Tỉng c¸c ch÷ sè cđa 1994 lµ 23 khi chia cho 3 th× d­ 2 NÕu viÕt k lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau th× tỉng c¸c ch÷ sè cđa sè nhËn ®­ỵc cã cïng sè d­ víi 2k khi chia cho3.§Ĩ sè nhËn ®­ỵc chia hÕt cho 3 th× 2k ph¶i chia hÕt cho 3, nªn sè nhá nhÊt lµ 3, tøc lµ Ýt nhÊt ph¶i viÕt 3 lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau. Bµi 4 : T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cđa tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh¸c kh«ng, bÕt r»ng tÝch nµy chia hÕt cho 125. TÝch nµy nhá nhÊt b»ng bao nhiªu? HD: TÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8 th× tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp cịng chia hÕt cho 125 nªn 3 ch÷ sè tËn cïng lµ 000. Trong tÝch cđa 4 sè tù nhiªn tiÕp kh«ng thĨ cã 2 sè chia hÕt cho 5 nªn ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 125 TÝch nhá nhÊt lµ: 125.126.127.128 D¹ng 2: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biĨu thøc sè. Bµi to¸n 1:Chøng minh r»ng: 2139 + 3921 chia hÕt cho 45. *C¸ch 1: Ta cã 2139 + 3921 = (2139- 1 ) + (3921 + 1) V× 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ …+ 1) chia hÕt cho 5 Vµ 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ …+1) chia hÕt cho 5 Suy ra: (2139- 1 ) + (3921 + 1) chia hÕt cho 5 MỈt kh¸c 2139- 3921 = (2139- 339) + (3921 - 321) + (339 + 321) Mµ 2139- 339= 18 (2138+ …+338) chia hÕt cho 9 2139- 339 = 36 (3920+…+320) chia hÕt cho 9 Vµ 339+ 321= 321 (318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hÕt cho 9 Mµ ( 5,9) = 1 nªn 2139 + 3921 45 *C¸ch 2: v× 45 = 5.32 nªn ®Ĩ chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 45 th× ta chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 5.32 Ta cã: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39. 2038 + …+ 39.20 + 1= 10M + 1.3921 = (30 + 9)21 = 3021+ 21.3020.9 + 9 +…+ + 21.30.920+ 921 = 10N + 9 Nh­ vËy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hÕt cho 5 MỈt kh¸c 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321 = 321. 739. 318+ 1321. 321 = 321 (739. 318+ 1321) = (33)7 (739. 318+ 1321) chia hÕt cho 9 *C¸ch 3 Ta cã: 21 1 (mod 20) 39 -1 (mod 20) VËy 2139 + 3921 139+ (-1)21 0 (mod 20) Nh­ vËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 20; do ®ã 2139 + 3921 chia hÕt cho 5 (*) T­¬ng tù ta chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 9 KL: VËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 45 Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng: 4343 - 1717 chia hÕt cho 5 +Ta cã: 4343= 4340. 433= (434)10.4343 V× 433 cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1 (34 cã tËn cïng bëi 1) nªn (434) cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1 hay 4340 cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1. 4343cã tËn cïng bëi ch÷ sè 7. VËy 4340. 433 cã tËn cïng lµ ch÷ sè 7. Hay 433 cã tËn cïng lµ ch÷ sè 7 Ta cã 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17 V× 174 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 nªn (174)4 cịng cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè 1 hay 1716 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 Suy ra: 1716.17 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7 Hai sè 4343 vµ 1717cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau nªn 4343 - 1717 cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè 0 KL: VËy 4343 - 1717 chia hÕt cho 5. Bµi to¸n 3: Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260 Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 3,7 vµ 15. Ta cã: A =2 + 22 + 23+…+ 260 A = 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) A = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) chia hÕt cho 3 Ta cã A = 2 + 22 + 23+…+ 260 A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 + 22) A = 2 . 7 + 24.7 + … + 258.7 A = 7 (2 + 24 + …+ 258) chia hÕt cho 7 Ta cã A = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … +257(1 + 2 + 22 + 23) A = 2. 15 + 25.15 + …+ 257.15 A = 15( 2 + 25 + … + 257) chia hÕt cho 15 KL: VËy A chia hÕt cho 3,7 vµ 15. Bµi tËp t­¬ng tù: Bµi1 Cho B = 3 + 33 + 35 + …+ 31991 Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 13 vµ 41. Bµi 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + …+ 11 + 1 Chøng minh r»ng C chia hÕt cho 5. Bµi 3 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003 B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100 D¹ng 3: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biĨu thøc chøa ch÷ Bµi to¸n 1 Chøng minh r»ng: n3 – n chia hÕt cho 6 víi n nguyªn. *C¸ch 1: V× (2,3) = 1 nªn chØ cÇn chøng minh n3 – n chia hÕt cho 2 vµ chia hÕt cho 3. Ta cã n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1) Mµ n, n + 1, n – 1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn n(n + 1)(n - 1)2. MỈt kh¸c: n cã thĨ biĨu diƠn thµnh mét trong c¸c d¹ng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k Ỵ Z) + NÕu n = 3k th× n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) 3 + NÕu n = 3k + 1 th× n3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3. + NÕu n = 3k + 2 th× n3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3) = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2) 3. KL: VËy n3 – n 6 víi n nguyªn. *C¸ch 2: NÕu n lµ sè nguyªn th× chØ cã thĨ biĨu diƠn thµnh mét trong c¸c d¹ng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phÐp chia mét sè cho 6) + NÕu n = 6p th× n3 – n = 6p (6p + 1)(6p - 1) 6 +NÕu n = 6p + 1 th× n3 – n = 6p(6p + 1)(6p + 2) 6. + NÕu n = 6p + 2 th× n3 – n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1) 6. + NÕu n = 6p + 3 th× n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. + NÕu n = 6p + 4 th× n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. + nÕu n = 6p + 5 th× n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. C¸ch 3: Ta chøng minh n3 – n chia hÕt cho 2 vµ chia hÕt cho 3 NÕu n 0 (mod 2) th× n3 – n 03 – 0 0 (mod 2) NÕu n 1 (mod 2) th× n3 – n 13 – 1 0 (mod 2) Nh­ vËy víi n nguyªn, n3 – n 0 (mod 2) nghÜa lµ n3 – n chia hÕt cho 2 MỈt kh¸c: + NÕu n 0 (mod 3) th× n3 – n 03 – 0 0 (mod 3) + NÕu n 1 (mod 3) th× n3 – n 13 – 1 0 (mod 3) + NÕu n 2 (mod 3) th× n3 – n 23 – 2 0 (mod 3) Víi n nguyªn n3 – n 0 (mod 3) nghÜa lµ n3 – n chia hÕt cho 3. KL: VËy n3 – n chia hÕt cho 6 víi n nguyªn. Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng 2n + chia hÕt cho 3. *chĩ ý: Sè n vµ sè cã tỉng c¸c ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d­ trong phÐp chia cho 9, do ®ã - n chia hÕt cho 9. Ta cã: 2n + = 3n + ( - n) chia hÕt cho 3. Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng A = 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27. *C¸ch 1: A = 10n + 18n – 1 = 10n - 9n + 27n – 1 = - 9n + 27n = 9( - n) + 27n Mµ 27n chia hÕt cho 27 nªn ( - n) chia hÕt cho 9 suy ra 9( - n) VËy 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27. C¸ch 2: (Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc) + NÕu n = 1 th× A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hÕt cho 27. VËy mƯnh ®Ị ®ĩng víi n = 1. + gi¶ sư mƯnh ®Ị ®ĩng víi n = k tøc lµ Ak = 10k + 18k -1 chia hÕt cho 27 Ta cÇn chøng minh mƯnh ®Ị ®ĩng víi n = k + 1. ThËt vËy Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) – 1 = 10k.10 + 18k + 18 – 1 Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) – 9.18k +27 Ak+1 = 10 (10k +18k-1) – 27.6k + 27 Mµ 10 ( 10k + 18k-1) 27 => Ak+1 27 27 . 6k 27 ; 27 27 VËy 10n + 18 n-1 chia hÕt cho 27 Bµi to¸n 4: Víi mäi n nguyªn d­¬ng chøng minh: B = 7n +3n -1chia hÕt cho 9. C¸ch 1: (Dïng ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p) +NÕu n = 1 th× B = 7 + 3 - 1 = 9 9. Gi¶ sư mƯnh ®Ị ®ĩng víi n = k tøc lµ Bk = 7k +3k -1 chia hÕt cho 9. Ta cÇn chøng minh mƯnh ®Ị ®ĩng víi n = k +1. ThËt vËy: Bk+1 = 7k+1 = 3 ( k+1) -1. Bk+1 = 7. 7k + 3k + 3 -1 Bk+1 = 7 ( 7k + 3k -1) – 6. 3k – 9 Bk+1 = 7( 7k + 3k -1) – 9.2k -9 Bk+1 9 VËy 7n + 3n -1 9 mäi n nguyªn d­¬ng. C¸ch 2: Ta cã : 7n + 3n -1 = (6 + 1) n + 3n -1 = 6n + c1n 6n-1 + c2n . 6n-2 + …. + cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1 =(6n+ cn1.6n-1 + cn2 . 6n-2 +…..+ cnn-2. 62) + cnn-1 . 6+ cnn+3n-1 =(3.2)n +cn1. . (2.3)n-1 + cn2 .(3.2)n-2+….+cnn-2+(3.2) n+2+d cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1 =2n . 3n + cn1 .2n-1.3n-1+….+ cnn-2.3n-2.2n-2 + 6n + 1 + 3n -1 =32 (2n . 3n-2+ cn1.2n-1.3n-2 + …. +cnn-2 .22 )+9n. =9(2n . 3n-2 + cn1 . 2n-1. 3n-2+…+ cnn-2 .22) + 9n 9 VËy 7n + 3n-1 9 mäi n nguyªn d­¬ng. Bµi tËp t­¬ng tù: Bµi 1: Chøng minh rằng : a)-10n + 72n -1 chia hÕt cho 91. b)- 22n +15n-1 chia hÕt cho 9 víi mäi n nguyªn d­¬ng. Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi n tù nhiªn th×: (n+ 19931994 ) (n+ 19941993 ) chia hÕt cho 2. Bµi 4: Chøng mØnh»ng víi mäi sè tù nhiªn n th× 122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133. + §©ylµ d¹ng to¸n chia hÕt mµ sè mị chøa ch÷ nªn khi lµm cÇn ®Þnh h­íng cho häc sinh c¸ch lµm sau: C¸ch 1: V× n ë nªn ta cã thĨ ph©n tÝch vµ ®­a vỊ d¹ng béi cđa 133. Ta cã: 122n+1+11n+2 = (122)n .12 + 11n . 112. =144n .12 + 11n . 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121. nn = 12 . 133 . M + 133 . 11n. Mçi sè h¹ng ®Ịu chia hÕt cho 133 nªn. 122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133. C¸ch 2: (Dïng ph­¬ng ph¸p quy n¹p). Víi n =1 th× tỉng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 .11 + 112) =22.133 chia hÕt cho 133. VËy mƯnh ®Ị ®ĩng víi n=1. Gi¶ sư mƯnh ®Ị ®ĩng víi n=k Tøc lµ 122k+1+11k+2 chia hÕt 133. Ta cÇn chøng minh mƯnh ®Ị ®ĩng víi n=k+1. ThËt vËy: 122k+3 +11k+3=144 .122k+1+11k+3. = 133. 122k+1 +11. 122k+1 + 11k+3. =133. 122k+1 +11 (122k+1 + 11k+2 ). V× 133 . 122k+1 133; 11(122k+1 +11k+2) 133 133. 122k+1+11(132k+1 +11k+2) chia hÕt cho 133 C¸ch 3: Ta cã : 122n+1+11n+2 =122n+1 +11n+2+112(2n+1) -112(2n+1) =(122n+1+112(2n+1)) - (112(2n+1) -11n+2) =122n+4 +(112)2n+1 –(114n+2 -11n+2). =(122n+1 +(112)2n+1) -11n+2 (113n-1) V× 122n+1 + (112)2n+1 = (12 +112) . P 133. Vµ 113n -1 = (113 -1) . Q =(n-1) (n2 +11 +1) .Q = 10 . 133 . Q 133 VËy 122n+1 +11n+2 chia hÕt cho 133 C¸ch 4: Ta cã 122n+1 + 12 + 122n + 12 .144n V× 144 = 11 (mod 133) nªn 144n 11n(mod 133) 12. 1442n 12. 11n(mod 133). Hay 122n+1 = 12 .11n (mod 133) MỈt kh¸c : 121 =-12 (mod 133) nªn 121 .11n = -12.11n (mod 133). Tõ ®¼ng thøc: 122n+1 =12 .11n (mod 133) 11n+2 = -12. 11n (mod 133) 122n+1 + 11n+2 0 (mod 133) Tøc lµ : 122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133 C¸ch 5 : Víi n =1 th× mƯnh ®Ị ®ĩng. Gi¶ sư mƯnh ®Ị ®ĩng víi n =k tøc 122n+1 + 11n+2 =133m (m Ỵ N) Ta cÇn chøng minh mƯnh ®Ị ®ĩng víi n = k+1 tøc lµ: 122k+1) +1 + 11k +1+2 =133p ( p ỴN). (**) ThËt vËy : Tõ (*) suy ra : 122k+1 =133m – 11k+2 Ta cã 122k+3 – 11k+3 =144 . 122k+1 + 11 . 11k+2 =144 (133 m – 11k+2) + 11. 11k+2 =122 .133m + 11k+2 (11 -144) =133 (144m – 11k+2) Nh­ vËy 122k+3 + 11k+3 =133p víi p=144m- 11k+2 Bµi to¸n ®­ỵc chøng minh. Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th×. 4 . 32n+2 + 32n – 36 64 C¸ch 1: V× 4. 32n+2 +32n -36 = 4 (32n+2 -8n -9) nªn bµi to¸n ®­a vỊ viƯc chøng minh : 32n+2 + 8n – 9 16 +NÕu n ch½n, ta ®Ỉt n = 2k (k ỴZ) khi ®ã. 32n+2 + 8n – 9 = 34k+2 +16k -9 = 34k . 32 – 9 + 16k = 9(34k-1) +16k = 9 (81k -1) +16k ; V× hiƯu (81k-1) 80 nªn (81k-1) 16 VËy khi n ch½n th× 4 . 32n+2 +32n -36 64 +NÕu n lỴ , ta ®Ỉt n =2k+1 (k ỴZ). Khi ®ã 32n+2 +8n -9 = 34k+4 +16k -8 -9 = (34)k+1 -1+ 16k = 81k+1 -1 +16k V× hiƯu (81k+1 -1) 80 nªn (81k+1 -1) 16 VËy víi n lỴ th× 4. 32n+2 + 32b – 36 64 KÕt luËn: VËy víi mäi sè tù nhiªn n; 4(32n+2+8n -9) 64 C¸ch 2: +Víi n =0 th× tỉng 32 . 4 + 6 -36 =0 64 VËy mƯnh ®Ị ®ĩng víi n =0 +Gi¶ sư mƯnh ®Ị ®ĩng víi n=k tøc lµ 32k+2 .