Hướng dẫn học sinh chứng minh đẳng thức tích trong Hình Học

Hướng dẫn học sinh chứng minh đẳng thức tích trong hình học. Trong chương trình Toán THCS có nhiều dạng toán, nhưng một dạng toán mà khó và thường gặp trong giải toán là chứng minh đẳng thức. Việc chứng minh một đẳng thức A = B hay đẳng thức a.d = b.c trong số học không khó và có thể áp dụng một số phương pháp như sau: + Chứng minh VT - VP = 0 + Biến đổi VT về kết quả bằng VP hoặc ngược lại. + Biến đổi đồng thời VT, VP về có cùng một kết quả chung. Nói chung việc chứng minh một đẳng thức số thì không khó đối với học sinh, nhưng việc chứng minh một đẳng thức tích trong hình học THCS thì vẫn còn là một câu hỏi. Liệu có thể sử dụng các phương pháp chứng minh đẳng thức trong số học vào để chứng minh một đẳng thức tích trong hình học hay không , nếu được thì cần áp dụng như thế nào? Qua thời gian giảng dạy toán THCS và kiến thức vốn có bản thân, học hỏi kinh nghiệm của những người thầy đi trước tôi rút ra một kinh nghiệm để giải các bài toán dạng chứng minh đẳng thức tích trong hình học. Như ta đã biết đẳng thức a.d = c.b có thể viết dưới dạng các tỉ lệ thức như sau mà trong hình học thì khi nói đến các tỉ lệ thức thì ta liên tưởng đến ngay các kiến thức: Đoạn thẳng tỉ lệ; Tam giác đồng dạng; Định lý đường phân giác trong tam giác; Định lý Talét. Vậy để làm được các bài toán như trên đã đặt ra thì giáo viên phải nắm các kiến thức trên một cách chắc chắn, và phải truyền đạt cho học sinh hiểu một cách tường minh các kiến thức: Đoạn thẳng tỉ lệ; Tam giác đồng dạng; Định lý đường phân giác trong tam giác; Định lý Talét. Sau đây tôi xin minh hoạ bằng cách hướng dẫn học sinh giải một số bài toán dạng trên trong chương trình Toán Hình học 8, 9. Ví dụ 1: (Bài 39 SGK T8_2 tr 79). Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh OA.OD = OB.OC HĐ GV HĐ HS - Yêu cầu học sinh vẽ hình - GV vẽ hình bảng ! Để chứng minh đẳng thức tích ta sử dụng các khái niệm: đoạn thẳng tỉ lệ, định lý ta lét, tam giác đồng dạng ! Để chứng minh ta cần chứng minh gì? ! Để có tỉ lệ thức thì ta cần có hai tam giác đồng dạng ! GV hướng dẫn cách lấy hai tam giác đồng dạng từ tỉ lệ thức như sau: - Nếu lấy trên tử ta phải có - Nếu lấy trong một tỉ số ta phải có ! Cho HS phát hiện các yếu tố đã bằng nhau của hai tam giác và yêu cầu học sinh chọn một trong hai cặp tam giác trên. ! GV yêu cầu học sinh chứng minh hai tam giác đồng dạng ! Từ đó yêu cầu học sinh rút ra tỉ lệ thức và suy ra điều cần chứng minh. - HS vẽ hình - HS nêu được chứng minh - HS phát hiện các yếu tố bằng nhau và chọn một trong hai cặp. - HS chỉ chọn được - HS chứng minh éAOB = éCOD(đối đỉnh) éABO = éCDO(so le trong) Ví dụ 2. (Bài 48 SBT T8_2 tr 75). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh AH2 = BH.CH HĐ GV HĐHS - Yêu cầu học sinh vẽ hình - GV vẽ hình bảng ! Hướng dẫn học sinh phân tích chứng minh ! GV hướng dẫn học sinh cách lấy hai tam giác đồng dạng từ tỉ lệ thức như sau: - Nếu lấy trên tử ta phải có - Nếu lấy trong một tỉ số ta phải có ! Yêu cầu học sinh chứng minh - Học sinh rút ra tỉ số - Học sinh chứng minh Ví dụ 3. Tam giác ABC, phân giác AD. Qua B kẻ tia Bx sao cho . Tia Bx cắt tia AD ở E. Chứng minh BE2 = DE.AE HĐ GV HĐHS ! Hãy chứng minh + BE.BE = AE.DE + + Xét có (gt) chung Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, phân giác AD. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của B và C lên AD Chứng minh AE.DF = AF.DE HĐ GV HĐHS ! Viết đẳng thức AE.DF = AF.DE dưới dạng tỉ lệ thức ? Muốn có tỉ lệ thức thì phải có hai tam giác nào đồng dạng ? Em có nhận xét như thế nào về hai cặp tam giác trên ! Vậy không thể chứng minh được tỉ lệ thức trên dựa vào hai cặp tam giác trên . ! Hướng dẫn học sinh chứng minh. + AD phân giác cho ta tỉ số nào? + Để chứng minh được ta cần chứng minh và ! Yêu cầu học sinh chứng minh hai tỉ lệ thức trên. + + Hoặc + Không tạo thành tam giác (Ba điểm thẳng hàng) - Học sinh trả lời: - Học sinh chứng minh hai tỉ lệ thức trên. * Qua các ví dụ trên ta có thể rút ra nhận xét cho học sinh như sau: - Để chứng minh đẳng thức a.b = c.d hoặc a2 = bc ta áp dụng khái niệm hai tam giác đồng dạng, đường phân giác trong tam giác. - Nếu đẳng thức dạng a.b = c.d thì ta có thể lập được 2 cặp tam giác đồng dạng; đẳng thức a2 = b.c thì chỉ có một cặp tam giác đồng dạng. *áp dụng phương pháp trên ta có thể chứng minh tương tự các bài sau. (Các bạn tự giải để tìm ra được phương pháp hay hơn và trao đổi lẫn nhau trong quá trình giảng dạy.) Ví dụ 5. (Bài 54 SBT T8_2 tr 76). Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh EA.ED = EB.EC Ví dụ 6 (Bài 55 SBT T8_2 tr 77). Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh AH.DH = BH.EH = CH.FH Ví dụ 7. Cho hình bình hành ABCD, F trên cạnh BC. Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E và G. Chứng minh AE2 = EF.EG Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác BD. Gọi I giao điểm của AH, BD. Chứng minh AB.BI = BD.HB Ví dụ 9. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Gọi M,N lần lượt hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh AM.AB = AN.AC Ví dụ 10. Cho hình chữ nhật ABCD, E trung điểm AB . tia DE cắt AC tại F cắt CB tại G. Chứng minh FD2 = FE.FG Ví dụ 11. Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc A = 600 . Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của tia BA, DA tương ứng ở M,N. Chứng minh BM.DN = a2. * Các bài toán dạng này cũng có trong chương trình Hình học 9. Ví dụ 12.. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD . Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác của góc BAC, dây này cắt CD tại E. Chứng minh MD2 = ME.MB Ví dụ 13. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Trên đường thẳng AB lấy một điểm M (M không thuộc đoạn AB) Vẽ tiếp tuyến MT của đường tròn (O) cà cát tuyến MCD của đường tròn (O’). Chứng minh MT2 = MC.MD ví dụ 14. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Vẽ dây cung BC của đường tròn (O) tiếp xúc với (O’). Vẽ dây cung BD của đường tròn (O’) tiếp xúc với (O). Chứng minh AB2 = AC.AD Ví dụ 15. (Bài 41 SGK Toán 9 _ 1 tr 128 c). Cho đường tròn (O) có đường kính BC , dây cung AD vuông góc với BC tại H. Gọi E,F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC Ví dụ 16 (Bài 43 SGK Toán 9 _ 1 tr 128 b. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ẻ (O), C ẻ (O’) . Tiếp tuyến trong tại A cắt BC tại M. Gọi E giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh đẳng thức ME.MO = MF.MO’.