Khai thác tính ưu việt trong việc vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo góc

Phần I đặt vấn đề I. Lý do và mục đích chọn đề tài : 1/ Lý do : Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mớí, giáo dục phải luôn đi trước một bước, vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi thầy cô giáo nói riêng phải gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới và đề ra những định hướng kịp thời. Trong quá trình giáo dục thì việc luôn phấn đấu, tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu suất giờ lên lớp. Có làm được như vậy mới nâng cao được chất lượng đào tạo, gây uy tín với học sinh , củng cố niềm tin đối với phụ huynh học sinh và toàn xã hội. Là một giáo viên Toán, tôi thấy Hình học 7 là bộ môn kế tiếp của Hình học 6, nó là cơ sở lý luận cho các em học hình học ở các lớp sau. Do đó việc dạy hình học ở lớp 7 có một vị trí đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy Toán ở trường phổ thông. Trong những năm qua tôi đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu, nghiên cứu rút ra phương pháp giảng dạy thích hợp. Trong chương trình Hình học 7, tuy là môn học vẫn còn mới mẻ đối với học sinh , nhưng vẫn có những bài tập khó mà các em còn lúng túng khi tìm hướng giải. Qua nhiều năm giảng dạy và nhất là công tác bồi dưỡng học sinh khá giỏi tôi đã hệ thống được ba loại bài tập khó đối với học sinh như sau : 1 – Loại bài tập có thể “nhìn thấy” được kết quả hoặc hướng chứng minh nhưng rất khó trình bày để đi đến kết quả đó. 2 - Loại bài tập có đầu bài rất rích rắc, phức tạp, khó hiểu. 3 - Loại bài tập có đầu bài rất tường minh, ngắn gọn nhưng khó giải vì có quá ít dữ kiện. Đối với mỗi loại bài tập nói trên, người dạy phải định ra cho học sinh hướng giải quyết như thế nào cho phù hợp. ở đây tôi chỉ xin đề cập đến một phần của cách giải quyết loại bài tập thứ 3 : Loại bài tập có đầu bài rất tường minh, ngắn gọn nhưng khó giải vì có quá ít dữ kiện. Loại bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết tạo ra các dữ kiện mới bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ. Nhưng thực tế, việc định hướng để xác định xem phải vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn mà đây là một vấn đề mà giáo viên phải hình thành cho học sinh ngay từ lớp 7 để các em phát triển được tư duy hình học của mình. Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi và bồi dưỡng học sinh khá giỏi tôi đã rút ra được một chút ít kinh nghiệm về việc hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ cụ thể là vẽ thêm tam giác đều để giải một số bài toán về tính độ lớn của góc. Đó chính là lý do mà tôi chọn chuyên đề : Khai thác tính ưu việt trong việc vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo góc. 2/ mục đích : Tôi nghiên cứu, viết chuyên đề này hy vọng giúp các em học sinh lớp 7 (đặc biệt là HS khá giỏi) có phương pháp và hướng để giải các bài toán hình học. Đồng thời qua chuyên đề này các em được hình thành, rèn luyện, củng cố kiến thức kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày một bài tập hình học. Giúp học sinh mở mang tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức và rèn phong cách làm việc của người lao động mới: Có kế hoạch, có định hướng hợp lý trước khi làm bất kỳ công việc nào đó. II. Phạm vi áp dụng : Chuyên đề này cho các thầy cô đang dạy ở trường THCS ; Cho các em học sinh lớp 7, đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi ; Các bậc phụ huynh cũng có thể sử dụng để là tài liệu tham khảo. Nhằm giúp hướng dẫn học sinh vẽ những yếu tố phụ – tam giác đều - để giải một số bài toán về tính số đo góc trong hình học 7. III. phương pháp nghiên cứu : - Nghiên cứu lý thuyết. - Phân tích tổng hợp. - Thực nghiệm. Phần II giải quyết vấn đề I. Cơ sở lý luận : 1) Vai trò của việc hướng dẫn HS giải bài tập hình học : Hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học là phương tiện rất hiệu lực để thực hiện mục đích việc dạy học toán ở trường phổ thông. Củng cố, ôn tập , khắc sâu, hệ thống hoá kiến thức và mở rộng các kiến thức, rèn kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày, kỹ năng tính toán, vận dụng các kiến thức vào thực tế và các môn học khác, rèn tính tích cực học tập của học sinh. Vì vậy đứng về phương diện điều khiển hoạt động của học sinh , bài tập hình học là phương tiện kiểm tra kiến thức và kỹ năng của học sinh . 2) Phương pháp hướng dẫn học sinh vẽ yếu tố phụ- tam giác đều- để giải các bài toán về tính số đo góc : Đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như : - Tam giác cân có một góc xác định. - Tam giác đều. - Tam giác vuông cân. - Tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền... Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tình số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau). 800 A C B D II. Nội dung : 1- Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đáy bằng 800. Trên AB lấy D sao cho AD = BC. Tính số đo góc ACD . * Hướng giải quyết: Giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm mối liên hệ giữa các góc của tam giác ABC. Có thể các em sẽ phát hiện thấy (hoặc giáo viên chỉ ra): tam giác cân ABC đã cho có góc 800, 800, 200. Mà 800 – 200 = 600 chính là các góc của tam giác đều. Từ đó hướng dẫn học sinh thử đi vẽ thêm một tam giác đều nào đó, xem có nhận thấy điều gì không? 800 A C B D E Từ sự gợi ý trên, đa số học sinh đều làm theo cách sau: - Cách 1: Vẽ tam giác đều BEC nằm trong tam giác ABC để tạo ra Khi đó ∆ ECA = ∆ DAC (c.g.c) vì: EC = DA AC chung ⇒ (1) Mà ∆ ABE = ∆ ACE (c.c.c) vì: AB = AC EB = BC AE chung ⇒ (2) Từ (1) và (2) ⇒ Cũng có một số em làm theo cách: 800 A C B D E 1 2 ? - Cách 2: Vẽ tam giác đều EAD nằm ngoài tam giác ABC, tạo ra Khi đó ∆ EAC = ∆ CBA (c.g.c) vì: EA = BC AC = AB ⇒ CE = CA Và Do đó ∆ CDA = ∆ CDE (c.c.c) vì: DA = DE CD chung CA = CE ⇒ Sau khi phân tích, hướng dẫn học sinh làm hai cách trên, có thể hướng dẫn học sinh làm thêm theo cách sau: - Cách 3 : Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài tam giác ABC, tạo Khi đó ∆ DAE = ∆ CBA (c.g.c) vì : 800 A C B D E 2 1 1 ? AE = BA AD = BC Vậy ∆ DEC cân tại đỉnh E, có góc ở đỉnh ⇒ Góc đáy ECD = (1800 – 400) : 2 = 700 Do đó = 100 - Cách 4 : Vẽ ∆ đều ABE (E,C nằm cùng phía đối với AB) 800 A C B D 1 1 ? 800 A B D E tạo ra Khi đó ∆ CBE = ∆ DAC (c.c.c) vì : AB = AD BE = AC Vậy để tìm ta chỉ cần tính Dễ thấy ∆ AEC cân tại A vì có góc ở đỉnh A bằng 600 – 200 = 40 ⇒ Góc ở đáy = (1800 – 400) : 2 = 700 Mà góc E2 = 600 (góc trong tam giác đều) ⇒ Góc E1 = 700 – 600 = 100 Vậy = 100 ở ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB = AC ; AD = BC. Như vậy có thể giải bằng 4 cách : Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC ; vẽ tam giác đều có một cạnh là AB ; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC ; rồi AD. Qua ví dụ bước đầu các em đã định hình được phương pháp vẽ tam giác đều và các cách triển khai theo phương pháp đó. 2) Ví dụ 2 : Cho ∆ ABC vuông, cân tại A, điểm E nằm trong tam giác sao cho = 150 . Tính * Hướng dẫn : Cũng như ở ví dụ 1. ở ví dụ này các em sẽ sớm phát A B C E ? hiện thấy = 750, = 150 mà 750 – 150 = 600 là góc của tam giác đều ( Cũng có em nhận xét: = 450, = 150 và 450 + 150 = 600). Còn đối với những em chưa xác định được điều gì ta cũng gợi ý, hướng dẫn các em tính số đo các góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó. Từ đó có thể hướng dẫn các em các cách vẽ thêm tam giác đều như sau : - Cách 1 : Vẽ tam giác đều AKE nằm trong tam giác ABE tạo ra A B C E ? 150 150 2 1 K Khi đó ∆ BAK = ∆CAE (c.g.c) vì : AB = AC AK = AE ⇒ ∆ ABK cân tại K và có góc ở đáy bằng 150 Mà = 600 ⇒ ∆ AKB = ∆ EKB (c.g.c) vì : AK = EK BK chung ⇒ A B C E ? K 1 2 Vậy - Cách 2: Vẽ tam giác đều KCE nằm phía ngoài ∆ AEC, tạo ra Khi đó ∆ KCA = ∆ AEB (c.g.c) vì : KC = AE AC = AB. ⇒ ⇒ = 3600 – (1500 + 600) = 1500 ⇒ ∆ AEC = ∆AEK (c.g.c) vì : EC = EK AE chung ⇒ = 150 . Vậy = 150 +600 = 750 ⇒ = 750 - Cách 3: Vẽ tam giác đều AKB (K, C nằm cùng phía đối với AB) A B C E ? K tạo ra Khi đó : ∆ EAC = ∆ EAK (c.g.c) vì : AC = AK EA chung ⇒EK = EC Vậy ∆ ABE = ∆ KBE (c.c.c) vì : AB = KA AE = EK BE chung Như vậy ∆ BEA có = 300 ; = 750 A B C E ? K 1 2 A B C E ? K 1 2 150 150 300 300 M Hoặc ∆ AKC cân tại A có góc ở đỉnh bằng 300 ⇒ = (1800 – 300) : 2 = 750 mà = 150 ⇒ = 600 Vậy ∆ ACK đều ⇒ KC = EC = AE ⇒ ∆ ABE = ∆ CAK (c.g.c) vì : AB = AC AE = KC ⇒ - Cách 4 : Vẽ tam giác đều ACK ra phía ngoài ∆ ABC tạo ra Khi đó ∆ BAE = ∆ KAE (c.g.c) vì : AB = AK AE chung ⇒ - Cách 5: A B C E ? M K Vẽ tam giác đều AKC “trùm” lên ∆ EAC, tạo ra Từ K kẻ tia KM sao cho = 15o thì ∆ MKC = ∆ EAC (g.c.g) vì: KC = AC ⇒ KM = AE Mặt khác ∆ ABK cân tại A có góc tại đỉnh bằng 30o ⇒ góc ở đáy bằng 75o. Do đó . ⇒ ∆ KMB cân tại K ⇒ KB = KM = AE Vậy ∆ ABE = ∆ BAK (c.g.c) vì: AB chung AE = BK ⇒ . ở ví dụ này đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là: AB = AC; EA = EC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AC. Như vậy với sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân tích đầu bài, tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó định hướng được cách giải. Đó chính là thành công của người thày. Và điều quan trọng nữa là khi hướng dẫn học sinh triển khai một bài toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh óc quan sát nhạy bén, linh hoạt và cũng làm cho tư duy hình học của các em được phát triển hơn. 3 - Ví dụ 3: Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng 50o. Lấy điểm K trong tam giác, sao cho = 10o; = 30o. . A B C K ? 100 300 ? ? Tính số đo các góc của ∆ ABK. * Hướng giải quyết: ∆ ABK có: = 50o – 10o = 40o Vậy chỉ còn phải tính hai góc còn lại là: và . Xem xét đầu bài ta thấy ∆ ABC có các góc 50o, 50o, 80o = 10o, = 50o, mà 50o + 10o = 60o chính là góc của tam giác đều. Từ đó có thể giải bài toán trên theo cách sau (học sinh tìm ra hoặc giáo viên gợi ý): - Cách 1: Vẽ ∆ đều BCE “trùm” lên ∆ ABC, tạo ra Dễ thấy ∆ EAB = ∆ EAC (c.c.c) vì: A B C K ? 100 300 ? ? E 1 2 100 EB = EC AB = AC AE chung ⇒ Khi đó ∆ ABE = ∆ KBC (g.c.g) vì: BE = BC ⇒ AB = KB. Do đó ∆ ABK cân tại B có góc ở đỉnh = 40o ⇒ A B C K ? 100 300 ? ? E Vậy các góc của ∆ ABK là 40o; 70o; 70o. - Cách 2: Vẽ ∆ đều ABE (E, C nằm cùng phía đối với AB), tạo ra và tạo ra ∆ AEC cân ở A có góc ở đỉnh bằng 80o – 60o = 20o ⇒ Góc ở đáy = (180o – 20o) : 2 = 80o ⇒ = 80o – 50o = 30o Do vậy ∆ KBC = ∆ EBC (g.c.g) vì: BC chung ⇒ BK = BE ⇒ BK = BA Khi đó ∆ ABK cân tại B ⇒ Các góc là 40o; 70o; 70o. - Cách 3: A B C K ? 100 300 ? ? E Vẽ ∆ đều AEC (E, B nằm cùng phía đối với AC), tạo ra và tạo ra ∆ ABE cân tại A có góc ở đỉnh bằng 80o – 60o = 20o ⇒ góc ở đáy bằng 80o ⇒ = 80o – 50o = 30o Do đó ∆ KBC = ∆ ECB (g.c.g) vì: BC chung ⇒ AK = EC = AB ⇒ ∆ ABK cân tại B Vậy các góc cần tính là: 40o; 70o; 70o. ở ví dụ này có hai đoạn thẳng bằng nhau là AB = AC. Do đó khi vẽ thêm tam giác đều dựa trên lần lượt một trong hai cạnh đó, ta sẽ được hai cách: cách 2, cách 3. Ngoài ra nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó không bằng đoạn nào khác thì cũng có thể giải quyết được: cách 1, nhưng cũng có thể không, vì sẽ không đủ dữ kiện (ví dụ: vẽ tam giác đều có một cạnh là KC hoặc BK). Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách 2 và cách 3 là tương đương nhau: đều tạo ra tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên của tam giác cân đã cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào đó của tam giác đều vừa tạo ra để suy ra tam giác ABK cân. Còn nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra góc bằng hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng thì sẽ không giải quyết được bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện, và học sinh cũng cần phải thấy được điều này để có cách vẽ cho thích hợp. 4- Ví dụ 4: Tính số đo Phân tích: ∆ AHC vuông tại H có A B C H 750 ⇒ = 15o Mà 75o – 15o = 60o là góc của tam giác đều. Từ đó hướng dẫn HS vẽ thêm tam giác đều. Có các cách vẽ như sau: - Cách 1: Vẽ tam giác đều AEC nằm trong ∆ ABC, tạo ra: Kẻ EK ⊥ BC (có thể hướng dẫn và giải thích cho học sinh tại sao lại kẻ như vậy). Khi đó ∆ vuông EKC = ∆ vuông CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì: EC = AC A B C H 750 K E ⇒ KC = AH, mà Vậy K là trung điểm của BC, do đó tam giác EBC cân tại E. và . Mặt khác: = 180o – 2.15o = 150o = 360o – (60o + 150o) = 150o ⇒ ∆ BEC = ∆ BEA (c.g.c) vì: BE chung EC = EA Vậy = 30o (Hoặc từ ∆ BEC = ∆ BEA ⇒ AB = BC ( ∆ ABC cân tại B có góc ở đáy bằng 75o ) (gt) - Cách 2: Vẽ tam giác đều BEC (E, A nằm cùng phía đối với BC) tạo ra E ? A B C H 750 K 1 1 2 Từ A kẻ AK ⊥ EC thì ∆ vuông AKC = ∆ vuông CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì: AC chung Vậy K là trung điểm của EC. Vậy ∆ EAC cân tại A, do đó ∆ AEB = ∆ ACB (c.c.c) vì: BE = BC AB chung AE = AC ( Và suy ra K là giao điểm của AB và EC) ở ví dụ này bài cho không có cặp đoạn thẳng nào bằng nhau thì phải vẽ tam giác đều sao cho liên hệ được các dữ kiện của giả thiết. Như vậy qua các ví dụ trên, giáo viên đã hình thành cho học sinh phương pháp vẽ thêm tam giác đều từ việc liên hệ các dữ kiện của giả thiết. Và sau các ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng bài tập về tính số đo góc giải bằng phương pháp vẽ tam giác đều, sau đó có thể chốt lại cho các em là : Khi xét mối liên quan giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của tam giác đều nên nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác đều để tạo ra những góc bằng góc đã cho. Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo được các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc tạo được một đường có nhiều tính chất, từ đó dễ dàng phát hiện được những yếu tố bằng nhau, liên kết với nhau để tìm ra lời giải. Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm tam giác đều : Nếu vẽ thêm tam giác đều mà cạnh của nó có sự bằng nhau với các đoạn thẳng khác trong bài thì bao giờ cũng giải quyết được bài toán. Qua các ví dụ này học sinh cũng cần thấy rằng, có thể có nhiều cách để tạo ra tam giác đều, nhưng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh bài toán đơn giản hơn. iii. bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trong hình vuông sao cho = 15o. tính số đo các góc của tam giác MDC. Bài 2: Cho tam giác ABC có = 15o. Đường vuông góc với AB tại A cắt Bx ở I. Tính . Bài 3 : Trong ∆ cân ABC có = 100o. Kẻ tia Ax sao cho = 30o, tia phân giác của cắt tia Ax ở M. Tính . Iv. thực nghiệm – khảo sát Với các biện pháp nêu trên hầu hết học sinh đều biết cách giải một bài tập hình học; biết cách chứng minh hình. Đặc biệt đối với chuyên đề này, sau khi hướng dẫn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi khối 7 làm các ví dụ trên bằng phương pháp phân tích đi lên đối chứng với thời gian trước khi thực hiện chuyên đề tôi thu được kết quả như sau: Học sinh giỏi khối 7: 15 em Tìm ra hướng và giải hoàn chỉnh Không tìm ra hướng giải Khi chưa áp dụng KN 4 em: 26,6% 11 em: 73,4% Khi áp dụng KN 15 em: 100% 0 em: 0% Như vậy việc sử dụng tính ưu việt của việc sử dụng phương pháp vẽ tam giác đều trong giải bài toán tính số đo góc. Đạt được kết quả rất tốt Ngày 18 tháng 02 năm 2007