Khai thác và mở rộng môn Toán

i-đặt vấn đề: 1-ỡ trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Để rèn luyện kỷ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác,mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong chương trình để các em có suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán. 2-Nhưng tiếc rằng trong các nhà trường hiện nay phần lớn các giáo viên chưa có thói quen khai thác một bài toán thành chuỗi các bài toánliên quan cho học sinh. Việc chỉ dừng lại ở các bài tập đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho nên khi gặp một bài toán mới các em không biết xuất phát từ đâu? những kiến thức cần sử dụng là gì? nó liên quan như thế nào với các bài toán trứơc đó? 3-Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi chúng tôi thấy việc tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc là phương pháp học khoa học , có hiệu quả.Từ dễ đến khó là con đường phù hợp cho học sinh khi rèn luyện kỹ năng giải toán. Việc tìm tòi,mở rộng các bài toán làm tăng thêm hứng thú học tập, óc sáng tạo của học sinh. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích , phán đoán tìm lời giải cho các bài toán khác và ngày càng tự tin hơn vào khả năng giải toán của mình. 4-Bài viết này tôi xin đưa ra một số ví dụ về cách khai thác một số bài toán trong chương trình toán 8, xin được trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp. -Để bài viết không quá dài nên một số lời giải chúng tôi không trình bày chi tiết. II-Nội Dung: Ví dụ1(SGK-T8.Tr25) Chứng minh rằng: nn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Giải: Ta có nn =n.(n-1).(n+1). Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 luôn cómột số chia hết cho 2 , một số chia hết cho 3 và (2,3)=1 .Do đó nn . Qua bài toán trên ta thấy nvà n đồng dư khi chia cho các số 2,3 và6 từ đó ta đề xuất một số bài toán tương tự như sau. Bài1: Chứng minh rằng : . Giải: Tacó Từ đó suy ra điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta được bài toán sau. Bài2: Chứng minh rằng: Bài3: Cho A= Hỏi A có chia hết cho 6 không? Hướng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+............+98+99. Theo bài 2 ta có A-S chia hết cho 6,trong đó S=. Do đó A. Bài4:(Thi học sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004). Chứng minh rằng: với mọi số nguyên x,y,z. Giải: . Theo VD1 ta thấy các hạng tử của VP đều chia hết cho 6, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài5: Viết số thành tổng của k số tự nhiên tuỳ ý .Tìm số dư của phép chia cho3. Giải: Đặt N= và . Ta có N- ,(VD) Mặt khác chia cho 3 dư 1, do đó N chia cho 3 dư 1. Kết hợp với hằng đẳng thức đã học được phát triển thành các bài toán thú vị sau. Bài 6: Cho . Chứng minh rằng P chia hết cho 6 với mọi số nguyên a,b. Giải: Đặt. Khi đó ta có P=. Bài7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y thì: . Gợi ý: Đặt Ta có (vì 3 là số nguyên tố). Bài8: Cho các số nguyên x, y , z thoả mãn : x+y+z= Chứng minh rằng: M= chia hết cho 6. Giải: Đặt Ta có: . Do đó M(theo-BT ) Kết hợp ví dụ 1 với bài toán tìm nghiệm nguyên ta có một số bài toán sau. Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau: a) (1) b) (2) Giải: a) (3) Dễ thấy VT của (3) chia hết cho 6 (theo-VD1).Nhưng không chia hết cho 6,do đó phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) Đặt . Khi đó phương trình (2) trở thành : . Vì 189 nên .Từ đó suy ra p+q là số chính phương chia hết cho 3. Mặt khác .Do đó p+q chỉ có thể bằng 9, từ đó suy ra phương trình có hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc (2,1). Thử lại thấy thoã mãn.