Khám phá Maple 11 - Chương 1: Đại số

Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 1 ĐẠI SỐ I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH. Cú pháp: > solve(equ, var); Trong đó: - equ : là phương trình hoặc bất phương trình - var: là biến số (ẩn số). Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2 3 2 0x x- - = . Ta nhập vào Maple như sau: > solve(x^2-3*x-2=0,x); , + 3 2 17 2 - 3 2 17 2 Cụ thể hơn, nếu ta khai báo {x}_dùng cặp ngoặc { } ở biến, thì kết quả sẻ như sau: > solve(x^2-3*x-2=0,{x}); ,{ } = x + 3 2 17 2 { } = x - 3 2 17 2 Chú ý nếu phương trình có dạng f(x) = 0, thì ta có thể dùng cú pháp: > solve(f(x), x); hoặc > solve(f(x),{x}); Chẳng hạn với phương trình ở trên ta có thể nhập như sau: > solve(x^2-3*x-2,{x}); ,{ } = x + 3 2 17 2 { } = x - 3 2 17 2 Ví dụ 2: Giải phương trình 3 3 2 1x x x- + = - . > eq:=x^3-3*x+2=x-1; := eq = - + x3 3 x 2 - x 1 > solve(eq,{x}); , ,{ } = x 1 { } = x - + 1 2 13 2 { } = x - - 1 2 13 2 Ví dụ 3: Giải phương trình 3 24 4 3 0x x x- + - = . > f:=x^3-4*x^2+4*x-3; {# Khai báo phương trình } := f - + - x3 4 x2 4 x 3 > solve(f,{x}); {# Giải phương trình } , ,{ } = x 3 { } = x + 1 2 1 2 I 3 { } = x - 1 2 1 2 I 3 Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 2 Ta nhận thấy, trường hợp phương trình có nghiệp phức, Maple sẽ cho kết quả rất cụ thể. Ví dụ 4: Giải phương trình sau theo ẩn số x: ( )23 1 2x y- + = > restart; eq:=3*x-(y+1)^2=2; := eq = - 3 x ( ) + y 1 2 2 > solve(eq, {x}); { } = x + + 1 3 y2 2 3 y 1 Ví dụ 5: Giải phương trình 4 1 0x x- + = > f:=x^4-2*x^3+2; solve(f, {x}); := f - + x4 2 x3 2 { } = x ( )RootOf , - + _Z4 2 _Z3 2 = index 1 { } = x ( )RootOf , - + _Z4 2 _Z3 2 = index 2, , { } = x ( )RootOf , - + _Z4 2 _Z3 2 = index 3 , { } = x ( )RootOf , - + _Z4 2 _Z3 2 = index 4 Trường hợp này, Maple dùng RootOf(expression, index = i) để thông báo kết quả. Để thấy các nghiệm cụ thể ta có thể làm theo một trong các cách sau: Cách 1: > evalf(%); { } = x + 1.529085514 0.2570658641 I { } = x + -0.5290855136 0.7429341359 I, , { } = x - -0.5290855136 0.7429341359 I { } = x - 1.529085514 0.2570658641 I, Theo cách này, thu được các nghiệm cụ thể ở dạng thập phân. Cách 2: > restart;f:=x^4-2*x^3+2; solve(f, {x}): allvalues({%}); := f - + x4 2 x3 2 { } = x - + 1 2 1 2 I - 4 2 I 2 { } = x + + 1 2 1 2 I - 4 2 I 2 { } = x + - 1 2 1 2 I + 4 2 I 2 , , ,{ { } = x - - 1 2 1 2 I + 4 2 I 2 } Theo cách này, ta đã sử dụng lệnh >allvalues({%}); để lấy các nghiệm tường minh và chính xác hơn. ©©© Một cách khác để tìm tập nghiệm của phương trình : Giả sử ta cần giải phương trình có dạng exp = 0. Cặp lệnh: > eq: = RootOf(exp, var); allvalues(eq); Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 3 Ví dụ 6: Giải phương trình 3 2 1 0x x- + = . > eq1:=RootOf(x^3-2*x+1,x); := eq1 ( )RootOf - + _Z3 2 _Z 1 > allvalues({eq1}); , ,{ }1 { }- + 1 2 5 2 { }- - 1 2 5 2 * Nếu muốn tìm nghiệm thứ i (là số nguyên) của phương trình exp = 0 _(phương trình một ẩn), ta dùng cặp lệnh sau: > eq: = RootOf(exp, index = i); allvalues(eq); Ví dụ 7: Tìm nghiệm thứ 2 của phương trình 3 6 4 0x x- + = > eq2:=RootOf(x^3-6*x+4, index = 2); := eq2 ( )RootOf , - + _Z3 6 _Z 4 = index 2 > allvalues({eq2}); { }2 Ví dụ 8: Giải phương trình lượng giác 3 sin cos 1x x- = . > eq1:=sqrt(3)*sin(x)-cos(x)=1; := eq1 = - 3 ( )sin x ( )cos x 1 > solve(eq1,{x}); ,{ } = x p { } = x p 3 Để tìm tập nghiệm đầy đủ của phương trình trên ta thực hiện đoạn lệnh sau: > _EnvAllSolutions := true: > solve(eq1,{x}); ,{ } = x + p 2 p _Z1~ { } = x + 1 3 p 2 p _Z2~ Ở đây, Z1~, Z2~ là các số nguyên. Ví dụ 9: Giải phương trình lượng giác cos 0x = . > _EnvAllSolutions := true: solve(cos(x)=0,x); + 1 2 p p _Z5~ Bây giờ ta có thể thay giá trị của Z5~ _giá trị nguyên để tìm nghiệm cụ thể của phương trình trên bằng cách dùng các lệnh sau: {Để tính giá trị của Z5~ ta dùng lệnh: > op(indets(solve(cos(x)=0,x)); } Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 4 > _EnvAllSolutions := true: r:=solve(cos(x)=0,x); := r + 1 2 p p _Z5~ > subs(op(indets(r))=n,r); + 1 2 p p n Ở trên ta đã thay Z5~ bởi n. Bây giờ thay Z5~ = 7, ta được nghiệm là: > _EnvAllSolutions := true: r:=solve(cos(x)=0,x); := r + 1 2 p p _Z5~ > subs(op(indets(r))=7,r); 15 p 2 § Tìm nghiệm theo tham số đối với phương trình có hơn một ẩn số. Ví dụ 10: Giải phương trình hai ẩn 2 2 4x y+ = . > restart; eq:=x^2 + y^2 = 9; solve(eq , {x(t), y(t)} ); := eq = + x2 y2 9 ,{ }, = x 3 + 1 t2 = y 3 t + 1 t2 { }, = x - 3 + 1 t2 = y - 3 t + 1 t2 Ví dụ 11: Giải phương trình hai ẩn 2 2 1 9 4 x y + = > eq2:=x^2/9+y^2/4=1; solve(eq2, {x(u), y(u)}); := eq2 = + x2 9 y2 4 1 ,{ }, = y 6 u + 4 9 u2 = x 6 + 4 9 u2 { }, = x - 6 + 4 9 u2 = y - 6 u + 4 9 u2 § Giải bất phương trình . Ví dụ 12: Giải bất phương trình 2 3 1x x- > . > solve(x^2-3*x>1, {x}); ,{ } < x - 3 2 13 2 { } < + 3 2 13 2 x Hoặc: > restart;solve(x^2-3*x>1, x); Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 5 ,æ è çç ö ø ÷÷RealRange ,-¥ æ è çç ö ø ÷÷Open - 3 2 13 2 æ è çç ö ø ÷÷RealRange , æ è çç ö ø ÷÷Open + 3 2 13 2 ¥ Nhận xét: nếu ta khai báo {x} trong câu lệnh thì kết quả rỏ ràng hơn. Ví dụ 13: Giải bất phương trình 3 2 3 2 0x x x+ - - < . > solve(x^3+x^2-3*x-2<0, {x}); ,{ } < x -2 { }, < - 1 2 5 2 x < x + 1 2 5 2 § Giải hệ (bất) phương trình . Cú pháp: > solve({sys_equ}, var); Trong đó: - sys_equ: là các phương trình của hệ, được đặt trong cặp ngoặc { } và cách nhau bởi dấu phẩy “ , ” . - var: là các biến của hệ_nên đặt trong cặp ngoặc { }. Ví dụ 14: Giải hệ phương trình 2 3 1 1 x y y x + =ì ï í + =ïî . > sys:={x+2*y=3, y+1/x=1};solve(sys, {x,y}); := sys { }, = + x 2 y 3 = + y 1 x 1 ,{ }, = y 2 = x -1 { }, = y 1 2 = x 2 Ví dụ 15: Giải hệ phương trình 2 2 2 0 0 0 x y y x y x ì - - = ïï + =í ï ¹ïî . > sys2:={x^2-y^2-y, x+y^2, x0}; solu:=solve(sys2): := sys2 { }, , - - x2 y2 y ¹ x 0 + x y2 > `Nghiem thuc cua he`;evalf(solu); Nghiem thuc cua he { }, = y 1.324717957 = x -1.754877666 Giá trị chính xác của nghiệm này là: {Nghiệm này lấy được bằng cách dùng lệnh > allvalues(solu); và lấy nghiệm đầu tiên trong phần kết quả thu được }. = x - æ è çççç ö ø ÷÷÷÷ + ( ) + 108 12 69 ( )/1 3 6 2 ( ) + 108 12 69 ( )/1 3 2 , ì î ïïïïï í = y + ( ) + 108 12 69 ( )/1 3 6 2 ( ) + 108 12 69 ( )/1 3 ü þ ïïïïï ý Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 6 Nghiệm được viết lại như sau: 2 3 3 3 3 108 12 69 2 108 12 69 2 , 6 6108 12 69 108 12 69 x y ì üæ ö+ +ï ïç ÷= - + = +í ýç ÷+ +ï ïè øî þ FTa tìm tất cả các nghiệm (kể cả nghiệm phức) của hệ như sau: > sys2:={x^2-y^2-y, x+y^2, x0}; solu:=solve(sys2): := sys2 { }, , - - x2 y2 y ¹ x 0 + x y2 > `Nghiem day du cua he`;allvalues(solu):evalf(%); Nghiem day du cua he { }, = x -1.754877668 = y 1.324717958 , { }, = x + -0.1225611664 0.7448617672 I = y + -0.6623589786 0.5622795125 I , { }, = y - -0.6623589786 0.5622795125 I = x - -0.1225611664 0.7448617672 I ··· Đối với hệ phương trình ta có thể rút một biến nào đó theo các biến còn lại. Cú pháp: > eliminate (eqnset, varset) ; Trong đó: - eqnset là tập hợp các phương trình - varset là tập hợp các biến. Ví dụ: Xét hệ phương trình 2 2 3 4 5 2 3 7 x xy y xy ì - =ï í - =ïî . Ta có thể khử ẩn x của hệ trên như sau: > restart;s:={3*x-4*x*y^2=5,2*y^2-3*x*y=7}; := s { }, = - 3 x 4 x y2 5 = - 2 y2 3 x y 7 > kq:=eliminate(s,x); := kq é ë êê ù û úú,{ } = x - 5 - + 3 4 y2 { } - - - 34 y2 8 y4 15 y 21 ·· Một cách khác để tìm nghiệm của phương trình một ẩn số dạng ( ) 0f x = . Lệnh : dùng gói lệnh > with(Student[Calculus1]): và lệnh > Roots(f(x), x, opts) > Roots(f(x), x = a..b, opts) > Roots(f(x), a..b, opts) Trong đó: - a, b : là hai cận của khoảng . - f(x) là một biểu thức một ẩn. Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 7 - opts: khai báo numeric là true hoặc false. Nếu true thì kết quả cho dưới dạng thập phân, nếu là false thì kết quả cho dưới dạng đầy đủ_nguyên bản. Nếu ta không khai báo opts thì Maple sẻ tự mặc định khai báo là numeric= false. Ví dụ 16: Tìm tập nghiệm của phương trình 3 22 5 5 6 0x x x+ - - = > eq := 2*x^3+5*x^2-5*x-6; := eq + - - 2 x3 5 x2 5 x 6 > with(Student[Calculus1]): `Tap nghiem cua PT da cho:`; Roots(eq,x); Tap nghiem cua PT da cho: é ë êê ù û úú, ,-3 - 1 4 17 4 + 1 4 17 4 Nếu muốn kết quả hiển thị dưới dạng thập phân thì ta khai báo opts là numeric= true(Trong câu lệnh ta chỉ cần viết numeric thì Maple tự khai báo cho ta numeric = true). Ta được: > with(Student[Calculus1]): `Tap nghiem cua PT da cho:`; Roots(eq,numeric); Tap nghiem cua PT da cho: [ ], ,-3. -0.7807764064 1.280776406 Nếu muốn kết quả được làm tròn đến 5 chữ số ở hàng thập phân ta làm tiếp như sau: > evalf(%,5); [ ], ,-3. -0.78078 1.2808 Ví dụ 17: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 0x = trong khoảng [ ]10;15- . > restart; > with(Student[Calculus1]):eq1:=sin(x); `Tap nghiem cua PT sinx=0 tren doan [-10;15]:`; Roots(eq1,x=-10..15); := eq1 ( )sin x Tap nghiem cua PT sinx=0 tren doan [-10;15]: [ ], , , , , , ,-3 p -2 p -p 0 p 2 p 3 p 4 p Rỏ ràng phương trình này có vô số nghiệm trên tập xác định của nó, nếu ta không giới hạn khoảng nghiệm, Maple sẻ thông báo và chỉ đưa ra một số nghiệm minh họa. Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 8 > restart;with(Student[Calculus1]):eq1:=sin(x); `Tap nghiem cua PT sinx=0 : `;Roots(eq1); := eq1 ( )sin x Tap nghiem cua PT sinx=0 : Warning, the expression has an infinity of roots, some examples of which are given [ ], ,-p 0 p Maple đã thông báo, phương trình (ở trên là biểu thức_expression) có vô số nghiệm, và chỉ đưa ra một số nghiệm của phương trình .{Warning, the expression has an infinity of roots, some examples of which are given}. ·· Giải phương trình chứa căn thức. Ví dụ 18: Giải phương trình 3 3x x x+ + = > eq:=x+sqrt(x)+x^(1/3)=3 ;`Nghiem cua Pt:`;solve(eq,{x}); := eq = + + x x x ( )/1 3 3 Nghiem cua Pt: { } = x 1 Ví dụ 19: Giải phương trình 1 3x x+ + = . > eq1:=sqrt(x)+sqrt(x+1)=3; `Nghiem cua Pt:`; solve(eq1, {x}); := eq1 = + x + x 1 3 Nghiem cua Pt: { } = x 16 9 ·· Giải phương trình nghiệm nguyên. Cú pháp: > isolve(eqns, vars); Ví dụ : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2 3 5x y- = > restart;eq2:=isolve(2*x-3*y=5); := eq2 { }, = x + 4 3 _Z1 = y + 1 2 _Z1 Ví dụ : Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình : 3 2 3 2 0x x x- - + = > isolve(x^3-x^2-3*x+2); { } = x 2 Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 9 Ví dụ : Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 25x y+ = > isolve(x^2+y^2=25); { }, = x 3 = y -4 { }, = y 4 = x -3 { }, = y 4 = x 3 { }, = x -3 = y -4 { }, = y 0 = x 5, , , , , { }, = y 0 = x -5 { }, = x 0 = y 5 { }, = x 0 = y -5 { }, = y 3 = x 4 { }, = y -3 = x 4, , , , , { }, = y 3 = x -4 { }, = y -3 = x -4, Trường hợp phương trình không có nghiệm nguyên, thì Maple cho kết quả là Null (rỗng và không hiện trên màn hình). Ví dụ với phương trình 2 5x = . > isolve(x^2=5); ·· Tìm nghiệm thực của một phương trình , bất ( hệ) phương trình . Dùng lệnh solve trong gói lệnh > with(RealDomai);. Ví dụ: Tìm các nghiệm số thực của phương trình : 4 3 22 9 13 3 6 0x x x x- + - - = . + Nhập phương trình vào Maple: > f:=2*x^4-9*x^3+13*x^2-3*x-6=0: f; = - + - - 2 x4 9 x3 13 x2 3 x 6 0 + Tìm nghiệm số thực của phương trình: > with(RealDomain): > solve(f,{x}); ,{ } = x 2 { } = x -1 2 Chú ý : Nếu không dùng gói lệnh with(RealDomain) thì có thể dùng dòng lệnh sau để tìm nghiệm thực của phương trình : > use RealDomain in solve(f,{x}) end use; ,{ } = x 2 { } = x -1 2 Ví dụ: Giải phương trình 2 0x m- = . + Giải phương trình với lệnh solve bình thường: > solve(x-sqrt(m^2)=0,{x}); { } = x m2 + Giải phương trình trên với RealDomain: > use RealDomain in solve(x-sqrt(m^2)=0,{x}) end use; { } = x ( )csgn m m + Đơn giản kết quả trên với RealDomain : > use RealDomain in simplify(%) end use; Biên soạn: ĐỖ CAO LONG (Giáo viên Toán trường THPT Nam Đông) 10 { } = x m