Khóa luận Phương pháp dạy học các bài toán tìm GTLN- GTNN, theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT

MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Tư duy sáng tạo là loại hình tư duy có tầm quan trọng đặc biệt đối với mọi người, nhất là những người học tập, nghiên cứu khoa học. Môn toán là môn khoa học công cụ của mọi môn khoa học, được coi là “nữ hoàng của khoa học”, là môn “thể thao trí tuệ”, có tác dụng cơ bản trong việc rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo. Tuy nhiên hiện nay, việc thực hiện nhiệm vụ phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh chưa được chú trọng rèn luyện một cách đúng mức. Phương pháp dạy học cũ nhìn chung chưa chú ý đến nhiệm vụ này. Phương pháp thuyết trình áp đặt trong dạy học vẫn còn khá phổ biến đã kìm hãm sự phát triển của tư duy sáng tạo ở học sinh, dẫn tới thực trạng học sinh phổ thông thường thụ động trong học tập. Trong chương trình toán học, cực trị nói chung và bài toán tìm GTLN- GTNN nói riêng là những nội dung cơ bản của hàm số. Đồng thời nó cũng là một vấn đề toán học quan trọng trong chương trình toán ở trường phổ thông. Thông qua các bài tập tìm GTLN- GTNN người học toán hiểu kĩ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình, chứng minh bất đẳng thức. Hơn nữa trong quá trình giải bài tập, năng lực tư duy sáng tạo của học sinh được phát triển đa dạng và mạnh mẽ. Xuất phát từ những lí do trên, khoá luận lấy tên: “Phương pháp dạy học các bài toán tìm GTLN- GTNN, theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT”. Mục đích nghiên cứu Nếu tiến hành dạy giải bài toán tìm GTLN- GTNN vào học tập bộ môn và thực tiễn trên cơ sở khoa học góp phần phát triển tư duy sáng tạo, luyện tập cho học sinh kĩ năng vận dụng và khả năng sáng tạo. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu làm sáng tỏ một số cơ sở lí luận về TDST. Nghiên cứu một số phương pháp tìm GTLN- GTNN nhằm góp phần rèn luyện một số yếu tố cụ thể của TDST. Bước đầu kiểm nghiệm hiệu quả của phương pháp dạy học chú ý bồi dưỡng các yếu tố của TDST trên cơ sở thực nghiệm sư phạm. Phương pháp nghiên cứu. Kết hợp nghiên cứu lí luận, quan sát và thử nghiệm sư phạm. Đóng góp của khoá luận. Khoá luận góp phần vào xây dựng một cách có hệ thống về các phương pháp tìm GTLN- GTNN. Đồng thời đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, sinh viên ngành sư phạm toán để nâng cao chất lượng giảng dạy. Khoá luận cũng là tài liệu hữu ích cho học sinh THPT để phát triển năng lực TDST thông qua giải các bài toán tính GTLN- GTNN. Cấu trúc của khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục các tài liệu tham khảo, khoá luận gồm có 3 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2: Phương pháp dạy học bài toán tìm GTLN- GTNN theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Cơ sở lí luận Khái niệm tư duy sáng tạo Theo từ điển, sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất và tinh thần; hoặc sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Ví dụ: Tìm GTNN- GTLN của hàm số Lời giải: Trước tiên ta phải đi tìm điều kiện tồn tại của hàm số đã cho: Hầu hết học sinh thường đi tìm GTLN- GTNN của hàm số trên bằng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, việc sử dụng bất đẳng thức sẽ đơn giản hơn rất nhiều. (vì với) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (vì ) Khi đó ta có: Vậy: Theo Đề các sự sáng tạo, đó là sự khôn ngoan- khôn ngoan khi vận dụng những đối tượng đa dạng và nó bị thay đổi vì sự đa dạng ấy. Sự sáng tạo là hoạt động đặc trưng bởi tính không lặp lại, tính độc đáo và tính duy nhất. Như vậy sáng tạo được nghiên cứu trên nhiều bình diện, như một quá trình phát sinh ra cái mới, như một kiểu tư duy, như một năng lực của con người và nó cần thiết trên mọi lĩnh vực của xã hội loài người. Theo G.Polya: “có thể gọi tư duy có hiệu quả nếu dẫn đến lời giải toán cụ thể nào đó. Có thể coi là tư duy sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện để giải toán. Các bài toán vận dụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng càng muôn màu muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao”. Tôn Thân cũng nhấn mạnh: “tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”. Các đặc trưng của tư duy sáng tạo Lecne đã chỉ ra các đặc trưng của tư duy sáng tạo: Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống mới. Nhìn thấy những vấn đề mới trong các điều kiện đối tượng quen biết “đúng quy cách”. Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Nhìn thấy đối tượng đang nghiên cứu. Kĩ năng nhìn thấy lời giải nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếm lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau, đôi khi mâu thuẫn nhau). Kĩ năng kết hợp những kiến thức giải đã biết thành một phương thức mới. Kĩ năng sáng tạo là một phương thức giải tuy đã biết phương thức khác. Các giai đoạn của quá trình sáng tạo Quá trình sáng tạo bao gồm 4 giai đoạn kế tiếp nhau như sau: Giai đoạn chuẩn bị: là giai đoạn mà con người đang tìm kiếm cách giải quyết đối với một vấn đề cần giải quyết. Giai đoạn ấp ủ: những cách giải quyết sáng tạo thường nảy sinh sau một thời gian ấp ủ, đó là khoảng thời gian mà trong đó con người ngừng suy nghĩ tích cực về vấn đề cần giải quyết và có thể chuyển sang những việc khác. Trong giai đoạn ấp ủ, hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm có thể diễn ra thậm chí trong trạng thái vô thức. Giai đoạn bừng sáng: là giai đoạn tại thời điểm đó con người đột nhiên nhìn thấy sự le lói ban đầu của giải pháp mà họ đã tìm kiếm rất lâu. Sáng tạo thường xuyên xuất hiện trong sự bừng sáng bất ngờ như vậy. Giai đoạn xác minh: giai đoạn bừng sáng chưa phải là giai đoạn kết thúc quá trình sáng tạo. Thường phải có sự sàng lọc và thử nghiệm cẩn thận để có đủ chứng cứ chỉ ra rằng giải pháp đó là đúng thực sự thì sự sáng tạo mới được khẳng định. Ví dụ: Tìm GTLN- GTNN của hàm số: Giai đoạn chuẩn bị: là giai đoạn mà học sinh đang tìm kiếm lời giải. Họ có thể tìm GTLN- GTNN của hàm số trên bằng công cụ đạo hàm. Họ tínhvà xét dấutrên tập xác định của hàm số. Cũng có thể biến đổi về dạng một biểu thức trừ hoặc cộng với một hạng tử tự do nào đó. Nếu theo hướng hai thì quá trình biến đổi nhiều khi rất lâu, cũng có khi lâm vào bế tắc. Giai đoạn ấp ủ: Quá trình trăn trở suy nghĩ để thêm bớt một số hạng tử trên tử số về dạng bình phương của một biểu thức. Giai đoạn bừng sáng: Nhận thấycó thể biểu diễn: Khi đó ta có thể biến đổi Cách biến đổi trên mới tìm được GTNN. Vậy GTLN được tìm bằng cách nào? Vậy vấn đề đã được giải quyết. Giai đoạn xác minh: Thực hiện những vấn đề đã suy nghĩ nảy sinh ở trên. Một số đặc tính của tư duy sáng tạo Theo nghiên cứu của các nhà tâm lí học, giáo dục học, của các nhà khoa học giáo dụcvề cấu trúc của TDST ta có thể thấy 5 đặc tính cơ bản sau: Tính mềm dẻo Tính nhuần nhuyễn Tính độc đáo Tính hoàn thiện Tính nhạy cảm vấn đề Tính mềm dẻo Tính mềm dẻo là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác; định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới trong những quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy là sự chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hoá, cụ thể hóa và phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kĩ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Ví dụ: Cho x, y là 2 số dương thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức Thoạt đầu khi mới đọc yêu cầu bài toán có người sẽ làm theo “thói quen” như sau: Từ . Ta có Do vậy Dấu “=” xảy ra Vậy Nhưng thì . Sai lầm của lời giải ở đâu? Phân tích sai lầm: Nếu phụ thuộc vào cách giải đã có, thực hiện một cách máy móc thì giải bài toán trên khá dài dòng, nhiều khi vấp phải sai lầm. Ta đều thấy ngay: Với và đẳng thức xảy ra . Nhưng lại trở thành đẳng thức khi. Vậy không thể có đẳng thức. Khithì giả thiếttrở thành (vô lý), nghĩa là với giả thiết đã cho không thể có khả năng Lời giải đúng: Từ giả thiết ta có: Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Do đó Dấu “=” xảy ra Vậy Tính nhuần nhuyễn Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra lấy đó làm tiêu chuẩn để đánh giá sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau: một là tính đa dạng của cách xử lý giải bài toán; khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ của các tình huống khác nhau. Hai là xem xét đối tương dưới những khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật hiện tượng chứ không phải là cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. Ví dụ: Tìm GTLN- GTNN của hàm số: Bằng cách nhìn bài toán dưới nhiều phương diện trên cơ sở hàm số mũ ta có các lời giải khác nhau. Nếu nhìn bài toán dưới phương diện sử dụng bất đẳng thức cổ điển ta có ngay lời giải 1: Ta thấy Áp dụng bất đẳng thức Causchy ta có Dấu “=” xảy ra Vậy đạt được khi Cũng từ phương diện sử dụng bất đẳng thức cổ điển nhưng thông qua một số phép biến đổi khác ta có lời giải 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy đạt được khi . Nếu nhìn bài toán dưới dạng một phương trình siêu việt. Tìm điều kiện có nghiệm phương trình này ta có lời giải 3: Xét phương trình siêu việt Đặt . Phương trình (1) trở thành .Phương trình (1) có nghiệm Vì nên Dấu “=” xảy ra Vậy đạt được khi Từ hàm số đã cho ta đưa hàm số đó về một hàm số mới mà dễ dàng suy ra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số này. Từ đây ta có lời giải 4: Xét hàm . Ta có là hàm chẵn. Do đó chỉ cần xét với . Đặt Khi đó ta có: với hàm số g(t) đồng biến khi . đồng biến khi Vậy đạt được khi . Nhận xét: Qua 4 lời giải của bài toán trên, ta nhận thấy lời giải 1 và lời giải 2 có cách trình bày đơn giản, dễ hiểu so với lời giải 3 và 4. Tuy nhiên với cách nhìn bài toán ở góc độ rộng ta dùng phép biến đổi bằng cách đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng quen thuộc trong lời giải 3 và 4. Đây cũng chính là sự linh hoạt sáng tạo trong nhìn nhận, phân tích bài toán và thể hiện được một phần tính nhuần nhuyễn của TDST. Tính độc đáo Tính độc đáo của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi các khả năng sau: Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới. Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau. Khả năng tìm ra những giải pháp hay, lạ tuy đã biết giải pháp khác. Ví dụ: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức: Phân tích tìm tòi cách giải: xét thấy biểu thức đã cho có tính đối xứng, do đó: Chắc chắn dấu “=” xảy ra khi Nhận xét rằng có liên hệ gì với Chúng ta đã có bất đẳng thức quen thuộc Mấu chốt của cách giải trên là tìm ra mối liên hệ giữa giả thiết của bài toán với bất đẳng thức (*) mà tưởng như chúng không hề có mối liên hệ với nhau. Hướng giải trên cũng thể hiện một phần tính độc đáo của TDST. Trình bày lời giải Trước tiên ta đi chứng minh Thật vậy (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra Từ đó Dấu “=” xảy ra Vậy Kết luận: Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và các tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn), nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau và trong đó có thể tìm được phương án tối ưu (tính độc lập). Các yếu tố cơ bản này lại có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đềtất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên TDST, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người. Cơ sở thực tiễn Tìm hiểu việc dạy bài toán tính GTLN- GTNN ở một số trường THPT để thấy được thực trạng dạy và học nội dung GTLN-GTNN của một biểu thức, một hàm số trong các trường THPT ở Sơn La. Tôi điều tra mẫu trên những trường: THPT Mai Sơn (Mai Sơn – Sơn La), THPT Mường La ( Mường La Sơn La). Để tìm hiểu thực trạng dạy và học tôi tiến hành điều tra hai đối tượng: giáo viên và học sinh. Quá trình điều tra thu được kết quả như sau: Điều tra giáo viên Bảng 1: Đội ngũ giáo viên toán của trường THPT tỉnh Sơn La STT Trường THPT Số lượng giáo viên Tuổi nghề Hệ đào tạo Chất lượng giảng dạy 1-10 10-20 Trên 20 Trên Đại học Đại học Cao đẳng Giỏi Khá TB 1 Mai Sơn 10 4 4 2 2 8 0 4 6 0 2 Mường La 12 6 4 2 1 11 0 3 8 1 Nhận xét: Qua điều tra trên cho ta thấy một số giáo viên có thâm niên công tác lâu năm nên có những kinh nghiệm nhất định trong công tác giảng dạy. Do đó trình độ các bước lên lớp và phương pháp dạy bộ môn đều nắm vững. Tuy nhiên cũng có một số giáo viên trẻ mới bước vào nghề nên chưa có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. Về trình độ: Đa số các giáo viên được đào tạo trình độ đại học chính quy; về chất lượng giảng dạy, đa số đều đạt loại khá, giỏi. Trong mỗi trường đều có những giáo viên đạt chất lượng loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp. Tuy số lượng chưa nhiều nhưng cũng có vai trò tích cực trong cổ vũ và động viên các nhà giáo phấn đấu nâng cao tay nghề và chất lượng giảng dạy Bảng 2 STT Nội dung THPT Mường La THPT Mai Sơn 1 Thực trạng dạy bài tập toán ở trường THPT Thầy giảng trò chép Đưa ra hướng giải để học sinh giải Học sinh tự giải Phương pháp khác 2 Chức năng của giáo viên khi dạy học bài tập toán Giải bài tập cho học sinh Hướng dẫn để học sinh làm bài tập Tạo câu hỏi kích thích tư duy cho học sinh Phương pháp khác 3 Bản chất phương pháp dạy học giải bài tập toán Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những câu khác nhau của quá trình học tập. Phát triển năng lực, trí tuệ, rèn luyện hoạt động TDST, phát triển khả năng suy đoán. Tăng cường thực hành tri thức, chú trọng khả năng tự học. Cả ba ý kiến trên. Nhận xét: Hầu hết các giáo viên đã quan tâm đến việc vận dụng phương pháp giải bài tập toán vào dạy học giải bài tập toán ở trường THPT. Họ đã nắm được bản chất của phương pháp dạy học giải bài tập toán; tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập đồng thời tạo ra câu hỏi kích thích học sinh tư duy. Bảng 3 TT Rèn luyện đặc tính cơ bản của TDST THPT Mường La THPT Mai Sơn Thường xuyên Đôi khi Không bao giờ Thường xuyên Đôi khi Không bao giờ 1 Tính mềm dẻo 30% 65% 5% 35% 60% 5% 2 Tính nhuần nhuyễn 25% 68% 7% 33% 59% 8% 3 Tính độc đáo 20% 60% 20% 25% 60% 15% Nhận xét: Việc rèn luyện TDST trong quá trình giảng dạy của giáo viên còn thấp. Chỉ diễn ra trong một số chuyên đề hay giờ bài tập. Kết luận: Qua điều tra tôi rút ra một số kết luận chung nhất về thực trạng giảng dạy nội dung “tìm GTLN- GTNN ”ở 2 trường THPT của Sơn La như sau: Sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học truyền thống và phương pháp mới vào bài giảng, chú ý tới thao tác thực hành nhưng chưa thực sự sâu sắc, chưa chú ý tới cơ sở xuất phát. Do đó gây hạn chế cho việc học sinh phát triển khả năng nhìn nhận, đánh giá có căn cứ, phát triển khả năng TDST, phần lớn còn lúng túng khi giảng “bài toán tìm GTLN-GTNN” có các dạng phức tạp. Một số giáo viên đã thực hiện đổi mới theo sự hiểu biết của mình dựa trên những cơ sở phương pháp truyền thống, nhưng hiệu quả chưa cao. Điều tra học sinh Khó khăn lớn nhất của học sinh THPT nói chung và học sinh THPT miền núi nói riêng là chưa linh hoạt trong việc giải bài toán tìm GTLN-GTNN. Dễ chán nản, ngại làm khi gặp những bài toán đó ở dạng khó. Bên cạnh đó đa số các em là con em của các đồng bào dân tộc nên không có điều kiện để học tập, tài liệu tham khảo còn ít. Do đó kết quả học tập chưa cao. Bảng điều tra đối với học sinh: Bảng 4 STT Tên trường THPT Lớp Sĩ số Dân tộc thiểu số Kết quả học tập Khá-Giỏi TB Yếu- kém 1 Mai Sơn 12A2 45 9 28 11 6 2 Mường La 12B1 40 8 24 14 2 Nhận xét: Số lượng học sinh dân tộc là bộ phân nhỏ. Đây là một trong số lớp chọn của trường có tỉ lệ học sinh khá khá cao. Qua dự giờ môn toán, kiểm tra viết, trực tiếp chấm bài, kiểm tra vở và trao đổi trực tiếp với giáo viên tôi thu được kết quả sau: Bảng 5: Thống kê một số kỹ năng khi giải bài toán tìm GTLN- GTNN. TT Kỹ năng cơ bản THPT Mai Sơn THPT Mường La Thành thạo (%) Chưa thành thạo (%) Chưa biết (%) Thành thạo (%) Chưa thành thạo (%) Chưa biết (%) 1 Nhận dạng bài toán tính GTLN- GTNN 80 20 0 78 20 2 2 Sử dụng định nghĩa 77 15 8 75 20 5 3 Sử dụng công cụ đạo hàm 65 20 15 50 40 10 4 Sử dụng bất đẳng thức 15 50 35 20 40 40 5 Tìm miền giá trị 32 43 25 35 45 20 6 Các phương pháp khác 22 28 50 15 40 45 Nhận xét: Qua bảng điều tra tôi thấy học sinh hầu hết nắm được phương pháp tìm GTLN- GTNN của hàm số: là phương pháp định nghĩa và phương pháp dùng công cụ đạo hàm còn các phương pháp khác các em chưa thành thạo hoặc chưa biết. Hầu hết các kĩ năng tư duy cao trong mỗi lớp chỉ có vài học sinh thực hiện được. Do vậy khả năng sáng tạo của học sinh còn chậm. Đề xuất nâng cao chất lượng dạy của giáo viên, chất lượng học của học sinh Giáo viên cần giới thiệu nhiều phương pháp cho học sinh khi giải bài tập. Trong mỗi giờ luyện tập giáo viên cần củng cố hệ thống kiến thức cũ mà các em đã học, nhằm khơi dậy, tái tạo kiến thức cũ giúp các em vận dụng giải quyết các bài tập một cách nhanh chóng. Cần hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống bài tập từ những bài tập đã có vào chương trình như một chuyên đề. Chương 2: Phương pháp dạy học bài toán tìm GTLN- GTNN theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT Định nghĩa GTLN- GTNN của một hàm số được định nghĩa như sau: cho hàm số f(x) xét trên miền D (f có thể là hàm một biến, hai biến hay tổng quát là n biến). Ta nói rằng: Số M là GTLN của f(x) trên D nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: và tồn tại sao cho Kí hiệu: Số m là GTNN của f(x) trên D nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện : và tồn tại sao cho Kí hiệu: Chú ý: GTLN- GTNN của một biểu thức đại số cũng được định nghĩa một cách tương tự. Một số phương pháp giải bài toán tìm GTLN- GTNN Phương pháp dùng định nghĩa Nội dung của phương pháp này là sử dụng trực tiếp biểu thức của định nghĩa GTLN- GTNN. Tuy nhiên quá trình giải bài toán theo phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước: Chứng minh một bất đẳng thức (hoặc ) với Chỉ ra được sao cho (hoặc ) Ví dụ: Tìm GTNN của hàm số: với Phân tích tìm tòi cách giải Nhận thấy thông qua một số phép biến đổi ta có thể đánh giá được hàm số đã cho một cách dễ dàng: Lời giải . Đặt Bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số Vậy . Tức là Phương pháp đưa về dạng bình phương Nội dung của phương pháp là sử dụng kiến thức . Dấu “=” xảy ra . Ngoài ra còn sử dụng một số tính chất của lũy thừa bậc chẵn: Nếutrong đó;A, B là biểu thức của biến;. Dolà C có nghiệm. Nếuthìlàcó nghiệm Ví dụ: Tìm GTNN-GTLN của biểu thức biết rằng x, y là nghiệm của phương trình (*) Phân tích tìm tòi cách giải: Nhận thấy ta có thể đưa phương trình (*) về một biểu thức có chứa một hạng tử là biểu thức T, hạng tử còn lại có thể biểu diễn dưới dạng bình phương. Có thể dễ dàng đánh giá T: . Từ đó ta suy ra GTNN- GTLN của T. Trình bày lời giải: Dấu “=” xảy ra hoặc Vậy đạt được khi hoặc Mặt khác ta lại có: Dấu “=” xảy ra hoặc Vậyđạt được khihoặc Nhận xét: Với phương pháp này giáo viên cần tạo cho học sinh tự giác, tích cực tham gia các hoạt động trí tuệ phổ biến như phân tích, tổng hợp để từ đó khái quát hóa lên các loại bài toán tương tự. Đồng thời giúp họ nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau để từ đó tìm ra được cách giải phù hợp với từng bài toán cụ thể. Phương pháp miền giá trị hàm số Xét bài toán tìm GTNN-GTLN của hàm số trên miền D cho trước.là một giá trị tùy ý của hàm sốtrên miền D đã cho. Điều đó có nghĩa là hệ phương trình sau đây (ẩn x):có nghiệm (I) Tùy dạng của hệ (I) mà ta có các điều kiện có nghiệm tương ứng. Trong nhiều trường hợp điều kiện ấy (sau các phép biến đổi và rút gọn) đưa được về dạng: (3), với là những hằng số (dấu “=” xảy ra được). Vì là giá trị bất kì của nên từ (3) ta có . Như vậy khi sử dụng phương pháp này để sử dụng GTNN- GTLN của một hàm số, thực chất ta đã quy về việc tìm điều kiện để một phương trình (thường là có thêm điều kiện phụ) có nghiệm. Ví dụ: Cho x là số thực dương thay đổi. Tìm GTNN của hàm số: Phân tích tìm tòi lời giải: Nếu coi (1) là phương trình ẩn x (có điều kiện tồn tại của phương trình), coi y là tham số. Việc đi tìm điều kiện có nghiệm của phương trình đó cũng chính là việc đi tìm GTNN của hàm số đã cho. Trình bày lời giải: Để tìm tập giá trị của (1) ta tìm tất cả giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) có nghiệm x thỏa mãn Đặt . Do Vậy tập giá trị của y là Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển. Phương pháp bất đẳng thức được xem là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm GTLN- GTNN của hàm số. Phương pháp này như tên gọi của nó dựa trực tiếp vào GTLN- GTNN của một hàm số. Vì thế lược đồ chung của phương pháp này có thể tiến hành theo các bước sau: Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng: với bài toán tìm GTNN, hoặc với bài toán tìm GTLN. Sau đó chỉ ra một phần tửsao cho ta có đẳng thức. Cần lưu ý rằng trong hai bước nói trên không được xem nhẹ bước nào. Tùy dạng của bài toán cụ thể mà ta sẽ lựa chọn một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thích hợp, cũng như cách chỉ ra phần tử ở bước 2 của thuật toán. Ví dụ: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn. Tìm GTNN của biểu thức: Phân tích tìm tòi lời giải: Ta nhận thấy biểu thức được cho dưới dạng đối xứng, do đó để khử được x, y, z dựa trên điều kiện . Ta chỉ cần áp dụng hai lần bất đẳng thức Cauchy là xong. Trình bày lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dươngta có Tương tự ta có: ; Mặt khác (vì ) (4) Kết hợp (1), (2), (3), (4) ta có Dấu “=” xảy ra khi Vậy Phương pháp dùng đạo hàm khảo sát hàm số Việc tìm GTLN- GTNN của hàm số trên miền D được tiến hành theo các bước sau: Tính đạo hàm bậc nhất của Tìm nghiệm của phương trình Xét dấu Tính lập bảng biến thiên của trên miền D Từ đó suy ra GTLN- GTNN của trên miền D Ví dụ: Cho Tìm GTNN của biểu thức: Phân tích tìm tòi lời giải: Từ điều kiện bài toán , ta biến đổi: Khi đó ta đi tìm GTLN của trên . Từ đó ta sẽ tìm được GTNN của biểu thức cần tìm. Trình bày lời giải Theo giả thiết do đó ; ; Xét hàm số: vì x 0 0 0 0 0 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có . Khi đó ta có: Vậy Phương pháp sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai Để tìm GTLN- GTNN của hàm sốcó dạng:, hoặc một biểu thức mà có thể đưa về dạng trên. Ta có thể khai thác tính chất và đồ thị của tam thức bậc hai trênnhư sau: Giả sử đồ thị của hàm số là (P) có hoành độ đỉnh TH1: Nếu thì Nếu thì TH2: Nếu thì Nếu thì ; Ví dụ: Tìm GTLN- GTNN của hàm số Phân tích tìm tòi cách giải: Bằng một số phép biến đổi ta sẽ chuyển hàm số ban đầu về hàm số bậc hai với phép đặtthì ta có hàm số đã cho trở thành; việc tìm GTLN- GTNN của hàm sốtrênquy về việc tìm GTLN- GTNN của hàm sốtrên Trình bày lời giải: Đặt (*) trở thành x 0 - + 0 0 Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có Vậy: Phương pháp chọn phần tử lớn nhất Đối với một số bài toán về các số có vai trò bình đẳng, ngang nhau hoặc gần bình đẳng và các bài toán về hàm số trên một đoạn mà nó có GTLN thì việc chọn phần tử lớn nhất hiểu là số lớn nhất trong các số đó hoặc GTLN của hàm số, có thể làm cho giả thiết của bài toán được sáng tỏ thêm hay như được cho thêm giả thiết. Ví dụ: Cho ba số a, b, c thỏa mãn và Tìm GTLN của biểu thức Phân tích tìm tòi lời giải: Nếu xử lí bài toán trên bằng bất đẳng thức cổ điển thì việc làm này tương đối khó khăn. Ta nhận thấy vai trò của có mặt trong bài toán trên là như nhau. Không làm mất tính tổng quát giả sử ,. Từ nhận xét này ta sẽ đánh giá được chính xác a nằm trong đoạn nào. Trình bày lời giải: Vai trò của a, b, c là như nhau trong bài toán nên giả sử Khi đó Dấu “=” xảy ra Vậy Phương pháp đồ thị và hình học Để giải bài toán cực trị bằng phương pháp đồ thị và hình học, người ta thường sử dụng các tính chất sau: T