Bài 1: ( 4 điểm )
Tìm tất cả giá trị của tham số a để ph-ơng trình :
32 x3x a0 - -=
có ba nghiệm phân biệt, trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 .
Bài 2: ( 6 điểm )
Trên mặt phẳng toạ độ cho các đ-ờng thẳng có ph-ơng trình :
xsin t ycost cost 2 0 +++= , trong đó t là tham số .
1, Chứng minh rằng khi t thay đổi , các đ-ờng thẳng này luôn tiếp xúc với
một đ-ờng tròn cố định .
10 trang |
Chia sẻ: quoctuanphan | Lượt xem: 1025 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2000 - 2001 Môn thi : toán, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2000 - 2001
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 4 điểm )
Tìm tất cả giá trị của tham số a để ph−ơng trình :
3 2x 3x a 0− − =
có ba nghiệm phân biệt , trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 .
Bài 2 : ( 6 điểm )
Trên mặt phẳng toạ độ cho các đ−ờng thẳng có ph−ơng trình :
x sin t ycos t cos t 2 0+ + + = , trong đó t là tham số .
1, Chứng minh rằng khi t thay đổi , các đ−ờng thẳng này luôn tiếp xúc với
một đ−ờng tròn cố định .
2, Gọi (x0 ; y0) là nghiệm của hệ ph−ơng trình :
2 2
x sin t ycos t cos t 2 0
x y 2y 3 0
+ + + =⎧⎨ + + − =⎩
Chứng minh rằng : 2 20 0x y+ ≤ 9
Bài 3 : ( 3 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
22cos x cos x 1
y
cos x 1
+ += +
Bài 4 : ( 4 điểm )
Trên mặt phẳng toạ độ cho hai đ−ờng thẳng d1 , d2 có ph−ơng trình :
(d1) : 4x +3y + 5 = 0
(d2) : 3x – 4y – 5 = 0
Hãy viết ph−ơng trình đ−ờng tròn tiếp xúc với hai đ−ờng thẳng trên và có tâm nằm
trên đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình : x – 6y – 8 = 0
Bài 5 : ( 3 điểm )
Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x > 0.
2
x xe 1 x
2
> + +
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2001 - 2002
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 6 điểm )
Cho hàm số:
22x (m 2)x my
2x m
− + + += −
1 ,Tìm các điểm cố định của đồ thị hàm số khi m thay đổi .
2 , Tìm các đ−ờng tiệm cận của đồ thị hàm số .
3 , Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại , cực tiểu
Bài 2 : ( 4 điểm )
1 , Tìm m để :
2 2 29x 20y 4z 12xy 6xz mzy 0+ + − + + ≥ với mọi số thực x , y , z.
2 , Chứng minh rằng nếu các số a , b , c khác 0 và m > 0 thoả mãn hệ thức :
a b c 0
m 2 m 1 m
+ + =+ +
thì ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1) 2ax bx c 0+ + =
Bài 3 : ( 4 điểm )
1, Với giá trị nào của a thì hàm số :
6 6y cos x sin x a sin x cos= + + x
xác định với mọi giá trị của x .
2, Tìm dạng của tam giác ABC thoả mãn :
cot gA cot gB A B
1000A 1001B 2
− = −⎧⎨ + = π⎩
Bài 4 : ( 4 điểm )
Cho tam giác ABC , gọi d1 , d2 , d3 là khoảng cách từ một điểm M nằm phía
trong tam giác đến các cạnh của tam giác .
1 , Chứng minh bất đẳng thức :
3
1 2 3
8Sd d , trong đó S là diện tích tam d
27abc
≤
giác ABC ; a , b , c là độ dài các cạnh tam giác .
2 , Lập bất đẳng thức t−ơng tự cho tứ diện trong không gian.
Bài 5 : ( 2 điểm )
Cho đ−ờng tròn tâm O , đ−ờng kính AB = 2R . Qua điểm M thuộc đ−ờng tròn
, kẻ đ−ờng thẳng MH vuông góc với AB ( H thuộc AB ) . Điểm I thuộc đ−ờng
thẳng MH thoả mãn : IM = 2IH . Tìm tập hợp các điểm I khi M di chuyển
trên đ−ờng tròn
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2002 - 2003
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 3 điểm )
Cho hàm số
x
2
e v i x
y
x x 1 v i x 0
⎧ ≥⎪= ⎨ + + <⎪⎩
ớ
ớ
0
Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 0
Bài 2 : ( 2 điểm )
Lập bảng biến thiên của hàm số sau :
ny x (2 x)= − 2 với n nguyên d−ơng .
Bài 3 : ( 2 điểm )
Tìm a để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có c−c đại :
4 3 2y x 4ax 3(a 1)x 1= + + + +
Bài 4 : ( 3 điểm )
Cho ph−ơng trình : 3 2x mx 1 0 (1+ − = )
1, Chứng minh rằng ph−ơng trình (1) luôn có một nghiệm d−ơng .
2, Xác định m để ph−ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất .
Bài 5 : ( 6 điểm )
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(a ; 0) , B(0 ; a) (với a > 0)và đ−ờng tròn
có ph−ơng trình : ( )ξ
2 2 2x y 2ax m 2y a+ − − + = 0 ( m là tham số )
1 , Chứng minh rằng đ−ờng tròn ( )ξ tiếp xúc với Ox tại A . Tìm giao điểm thứ
hai P của đ−ờng tròn ( và đ−ờng thẳng AB. )ξ
2 , Lập ph−ơng trình đ−ờng tròn ( )′ξ đi qua P và tiếp xúc Oy tại B.
3 , Hai đ−ờng tròn ( và ()ξ )′ξ cắt nhau tại P và Q . Chứng minh rằng khi m
thay đổi đ−ờng thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 6 : ( 2 điểm )
Lập ph−ơng trình đ−ờng phân giác của góc tạo bởi 2 đ−ờng thẳng :
x y 3 0+ − = , 7x y 4 0− + = có chứa điểm M0(-1 ; 5)
Bài 7 : ( 2 điểm )
Cho các số thực x1 , x2 , … , x2002 , y1 , y2 , … , y2000 thoả mãn các điều kiện sau :
1 2 2002 1 2 2000
1 2 2002 1 2 2000
1) e x x ... x y y ... y
2) x x ... x y y ... y
≤ ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤
+ + + ≥ + + +
Chứng minh : 1 2 2002 1 2 2000x x ...x y y ...y>
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2003 - 2004
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 5 điểm )
Cho hàm số
4
2xy 3x x
2
1= − + −
1 , Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị .
2 , Cho tam giác có toạ độ đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trên , tìm toạ độ
trọng tâm tam giác.
Bài 2 : ( 4 điểm )
1 , Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đ−ợc 2 tiếp tuyến với
parabol và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau. 2y 4x x= −
2 , Tính diện tích tam giác có đỉnh là điểm
5 17M( ; )
2 4
và các tiếp điểm của các
tiếp tuyến đó đi qua điểm M.
Bài 3 : ( 5 điểm )
1, Giải hệ ph−ơng trình :
3 3
6 6
x 3x y 3
x y 1
⎧ y− = −⎪⎨ + =⎪⎩
2, Giải và biện luận ph−ơng trình ;
2 2x 2ax 2 2x 4ax a 2 23 3 x 2ax+ + + + + a− = + +
Bài 4 : ( 4 điểm )
Cho họ đ−ờng cong ( Cm) có ph−ơng trình :
2 2
2 2
x y 1
m m 16
+ =−
trong đó m là tham số , m 0 . ,m 4≠ ≠ ±
1 , Tuỳ theo giá trị của m , xác định tên gọi của đ−ờng cong đó .
2 , Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đ−ờng thẳng x = 1 và A không thuộc trục
hoành. Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn có 4 đ−ờng cong họ ( Cm) đi
qua A .
3 , Khi m = 5 hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong trên.
Bài 5 : ( 2 điểm )
Chứng minh rằng trong tam giác ABC luôn có :
1 1 1cot gA cot gB cot gC 3 3 2
sin A sin B sinC
⎛ ⎞+ + + ≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2004 - 2005
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 5 điểm )
Cho đ−ờng cong (Cm) có ph−ơng trình :
3 2y (m 1)x 3(m 1)x (6m 1)x 2m= + − + − − −
1 , Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng khi m thay
đổi .
2 , Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ để (Cm) không đi qua với mọi
m .
Bài 2 : ( 3 điểm )
Xác định dạng của tam giác ABC nếu :
a cosA bcosB ccosC a b c
a sin A bsin B csinC 9R
+ + +=+ +
+
Bài 3 : ( 4 điểm )
Cho parabol và elip 2y x 2x= −
2 2x y 1
9 1
+ =
1, Chứng minh rằng parabol và elip luôn có bốn giao điểm có hoành độ x1 , x2 ,
, x3 ,x4 thoả mãn − < 1 2 3 41 x 0 x 1 x 2 x 3< < < < < < <
2, Viết ph−ơng trình đ−ờng tròn đi qua 4 giao điểm trên .
Bài 4 : ( 6 điểm )
1, Giải hệ ph−ơng trình :
3 2
3 2
3 2
2z 1 x x x
2y 1 z z z
2x 1 y y y
⎧ + = + +⎪ + = + +⎨⎪ + = + +⎩
2 , Giải ph−ơng trình :
x x2 21 a 1 a 1
2a 2a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −− =⎜ ⎟ với 0 < a < 1 ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bài 5 : ( 2điểm )
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ]0;1 thoả mãn điều kiện f(0) = f(1) .
Chứng minh rằng ph−ơng trình :
1f (x) f (x )
2004
= +
luôn có nghiệm thuộc [ ]0;1
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2005 - 2006
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 5 điểm )
Cho hàm số :
3 2x 3x 3x ay
x
− + +=
1 , Tìm a để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị .
2 , Chứng minh rằng các điểm cực trị này luôn nằm trên một parabol cố định
khi a thay đổi
Bài 2 : ( 4 điểm )
Cho hai ph−ơng trình :
2
2
x x 2m 1 0 (1
x 2x 2m 1 0 (2
+ + − =
+ + + =
)
)
1 , Tìm m để hai ph−ơng trình có nghiệm chung .
2 , Tìm m để một trong hai nghiệm của ph−ơng trình này nằm trong khoảng
hai nghiệm của ph−ơng trình kia và ng−ợc lại .
Bài 3 : ( 5 điểm )
Giải các ph−ơng trình :
x x x x
1) 5sin x cos 2x 2cos x 0
2) 2007 2006 2005 2004
+ + =
− = −
Bài 4 : ( 4 điểm )
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn có ph−ơng trình : 2 2x y+ =1
1 , Viết ph−ơng trình tiếp tuyến với đ−ờng tròn tại điểm M , biết tia OM hợp
với chiều d−ơng trục Ox một góc a.
2 , Giả sử khi a thay đổi từ 0 đến
4
π
, tiếp tuyến trên thay đổi theo và quýet
đ−ợc một miền trên mặt phẳng toạ độ . Tính phần diện tích giới hạn bởi
miền đó và đ−ờng thẳng y = 0 .
Bài 5 : ( 2điểm )
Tìm các giá trị của m để hệ sau có nghiệm :
2 2
2 2
1 mx 2xy 7y
1 m
3x 10xy 5y 2
−⎧ + − ≥⎪ +⎨⎪ + − ≤⎩
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2006 - 2007
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 5 điểm )
Cho hàm số :
2
m
x 2x my (
x 2
− += − m 0C ) với ≠ .
1 , Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A , B sao cho
các tiếp tuyến với đồ thị tại A , B vuông góc nhau .
2 , Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kì của đồ thị (Cm) với hai
tiệm cận có diện tích bằng 1 .
Bài 2 : ( 4 điểm )
1 , Giải ph−ơng trình :
cos 2x 1
2
1 12 cos 2x log (3cos 2x 1)
2 2
− + = + −
2 , Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hệ sau có nghiệm :
2 2 4
2 2 4
x 4xy 12y 72
3x 20xy 80y a
⎧ + + ≥⎪⎨ + + =⎪⎩
Bài 3 : ( 3 điểm )
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC . Đ−ờng phân giác trong AD ( D ) , BC∈
đ−ờng cao CH ( ) lần l−ợt có ph−ơng trình : x – y = 0 , 2x + y + 3 = 0 . H AB∈
Cạnh AC đi qua điểm M(0 ; -1) và AB = 2AM . Hãy viết ph−ơng trình các cạnh của
tam giác ABC .
Bài 4 : ( 2 điểm )
Trên hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng (C) có ph−ơng trình : 2 2x y 9+ = . Tìm m để
trên đ−ờng thẳng y = m có đúng 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đ−ợc đúng
hai tiếp tuyến đến (C) và mỗi cặp tiếp tuyến ấy tạo thành một góc 45D
Bài 5 : ( 5điểm )
1 , Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta có :
x 1ln x
x
−<
2 , Tìm số thực α thoả mãn bất đẳng thức :
1 n1ln(1 )
n
α ≤ −
+
, với mọi n nguyên d−ơng.
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2007 - 2008
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 5 điểm)
Cho hai số m , p ( m 0 ). ≠
Xét đồ thị (Cm):
2 2−= x my
x
và (Cp):
3 (2 1)= − −y x p x
1, Tìm điều kiện của m và p để hai đồ thị tiếp xúc nhau.
2, Giả sử hai đồ thị tiếp xúc nhau , chứng minh rằng tiếp điểm của chúng
thuộc thị hàm số y = x – x3
Bài 2 : (2 điểm )
Biết rằng ph−ơng trình : 3 2 0+ + + =x x ax b có 3 nghiệm phân biệt .
Chứng minh rằng : a2 – 3b > 0
Bài 3 : ( 5 điểm )
1, Tìm m để hệ sau có nghiệm :
5log ( 3)
4
2 2
2
1 log ( ) log ( 1)
+⎧ ≥⎪⎨ + − ≥⎪⎩
xx
m x x +
2, Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm :
(2 1) 2 ( 2) 2 1 0− + + − − + − =m x m x m
Bài 4 : ( 6 điểm)
1, Cho tam giác ABC với B (1 ; 2) , đ−ờng phân giác trong của góc A có
ph−ơng trình 2x + y + 1 = 0 (d) . Tìm toạ độ các đỉnh A và C biết rằng
khoảng cách từ C đến (d) bằng hai lần khoảng cách từ A đến (d) và C nằm
trên trục tung .
2, Cho A(0 ; 4) và B(-4 ; 0) . Xét đ−ờng thẳng Δ : ax + by + 2 = 0 ( a2 + b2 > 0)
luôn tiếp xúc với đ−ờng tròn : x2 + y2 = 16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
khoảng cách từ A và B đến Δ
Bài 5: (2 điểm)
Gọi xi là nghiệm của bất ph−ơng trình :
( i = 2 2 ( 1)− + − ≤i ix a x a 2 0 1; ) và n 1 5, 1;2;...;2 ≤ ≤ =ia i n
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 2 1 2... ...1
2
+ + + + + +≤ +n nx x x x x
n n
x
Sở giáo dục - đμo tạo
Thái bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2008 - 2009
*****
Đề chính thức
Môn thi : toán
( Thời gian làm bài 180 phút )
*******
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com
Bài 1 : ( 3 điểm)
1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
3y x 3 x 2 ( )= − − ξ
2, Gọi d là đ−ờng thẳng đi qua M(2 ; 0) và có hệ số góc k . Tìm k để đ−ờng thẳng
d cắt tại 4 điểm phân biệt. ( )ξ
Bài 2 : (4 điểm )
1, Cho dãy (xn) xác định bởi :
+
=⎧⎪⎨ = +⎪ +⎩
1
n 1
n
x 1
2008
x 1
1 x
với n 1≥
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó .
2, Tìm m để ph−ơng trình : x y 2x(y 1) m 2+ + − + = có nghiệm .
Bài 3 : ( 2 điểm )
Cho
1
a,b,c,d 1
4
< < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a b c d
1 1 1
F log (b ) log (c ) log (d ) log (a )
4 4 4
= − + − + − + − 1
4
Bài 4 : ( 3 điểm)
1, Giải ph−ơng trình : 2x x 2008 1 16064x 2008− − + =
2, Tìm nghiệm của ph−ơng trình
cosx sin x cos2x 1 sin 2x 0− − + = thoả mãn 2008 < x < 2009
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC biết A(1 ; -2), hai đ−ờng phân giác trong của góc B và C lần l−ợt
có ph−ơng trình là (d1) : 3x + y – 3 = 0 và (d2) : x – y – 1 = 0 . Lập ph−ơng trình các
cạnh của tam giác ABC.
Bài 6: (4 điểm)
Cho một tam diện vuông Oxyz và một điểm A cố định bên trong tam diện . Gọi
khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx , Oxy lần l−ợt là a , b , c . Một mặt
phẳng ( ) qua A cắt Ox , Oy , Oz lần l−ợt tại M , N , P . α
1, Chứng minh rằng
a b c
1
OM ON OP
+ + =
2, Xác định vị trí của mặt phẳng (α ) để thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ nhất .
Khi thể tích tứ diện OMNP nhỏ nhất , hãy chỉ rõ vị trí điểm A .
3, Chứng minh rằng : ( 2 2 2 2MN NP PM) 6(OM ON OP )+ + ≤ + +
Bài 7: (2 điểm)
Cho ⎨ . Chứng minh rằng : 0 a b c d
bc ad
< ≤ ≤ ≤⎧
≤⎩
b c d a d c b aa .b .c .d a .d .c .b≥
Tản mạn !
Cực đại ơi , cực tiểu ơi .
Lơ lửng đâu đây giữa khoảng trời .
Nằm về hai phía trục toạ độ .
Biết đến bao giờ mới chụm đôi .
Đỗ Bá Chủ.
File đính kèm:
- de hsg toan 9.pdf