Kỳ khảo sát học sinh giỏi lớp 6, 7, 8 cấp huyện năm học 2012-2013 môn: Toán lớp 8

UBND H. QUẾ SƠN PHỊNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (2.5 điểm): a) Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: . b) Cho với a, b, c là các số thỏa mãn: . Chứng tỏ rằng: . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 2 (2.0 điểm): Giải các phương trình sau: a) b) Bài 3 (2.5 điểm): Cho hình vuơng ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuơng gĩc với AB, MF vuơng gĩc với AD. a) Chứng minh DE ^ CF. b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Bài 4 (2.0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. Chứng minh : a) DABC đồng dạng với D HCG b) Bài 5 (1.0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHỊNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1(2.5 điểm): Cĩ: a2 + b2 ³ 2ab; a2 + c2 ³ 2ac; b2 + c2 ³ 2ac Cộng được: 2a2 + 2b2 + 2c2 ³ 2ab + 2ac + 2bc Û a2 + b2 + c2 ³ ab + ac + bc (1) 0,25 a + b + c = 0 Û a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 0 Û -a2 – b2 – c2 =2ab + 2ac + 2bc (2) 0,25 Cộng (1) với (2) được 3ab + 3ac + 3bc £ 0 Û ab + bc + ca £ 0 0,25 f(-2) = 4a – 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c 0,25 Cĩ f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = 0 nên: Hoặc: f(-2) = 0 và f(3) = 0 Þ f(-2).f(3) = 0 (1) Hoặc: f(-2) và f(3) là hai số đối nhau Þ f(-2).f(3) < 0 (2) 0,25 Từ (1) và (2) được 0,25 0,50 Giá trị nhỏ nhất của 4M là tại ; x = nên Giá trị nhỏ nhất của M là tại ; x = . 0,50 Bài 2(2.0 điểm): 0,25 0,25 0,25 Do ¹ 0 nên phương trình cĩ nghiệm x = 2014 0,25 Đặt 2x - 5 = a; x - 2 = b Þ a - b = x -3 Phương trình đã cho trở thành: a3 - b3 = (a - b)3 0,50 (a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2) (a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 0 3ab(a-b) = 0 0,25 a = 0 Û ; b = 0 Û x = 2; a = b Û x = 3 0,25 Bài 5 (1.0 điểm): A = 0,25 A. A chia hết cho 7 0,25 A. A chia hết cho 13 0,25 Do (13,7) =1 nên A chia hết cho 91 0,25 Bài 3 (2.5 điểm): Chứng tỏ được AE = DF (Cùng bằng MF) 0,25 Chứng tỏ được DCDF = DDAE Þ 0,25 Cĩ phụ nhau Þ phụ nhau hay CF^ DE 0,25 Tương tự cĩ CE ^ BF 0,25 Chứng minh được CM ^ EF: Gọi G là giao điểm của FM và BC; H là giao điểm của CM và EF. (Hai HCN bằng nhau) (Đối đỉnh) Þ = 900 0,50 CM, FB, ED là ba đường cao của tam giác CEF nên chúng đồng quy 0,25 (AE - ME)2 ³0 nên (AE + ME)2 ³ 4AE.ME Û 0,25 . Do AB = const nên SAEMF lớn nhất khi AE = ME. Lúc đĩ M là trung điểm của BD. 0,50 Bài 4 (2.0 điểm): Chứng tỏ được: DCBG đồng dạng với DCDH. 0,25 Þ 0,25 (Cùng bù với ) Þ DABC đồng dạng với DHCG 0,50 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC. DAFD đồng dạng DAHC: 0,25 DAEB đồng dạng DAGC: 0,25 Cộng được: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB 0,25 Chứng tỏ được AE = FC. Thay được: AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB Þ AC2 = AD.AH+AG.AB 0,25