Kỳ thi chọn học sinh giỏi khối 8 - Năm học: 2002 – 2003

Trường THCS An Hữu Kỳ thi chọn học sinh giỏi khối 8. Năm học : 2002 – 2003 Môn : TOÁN . Thời gian : 120 phút (không kể phát đề) Ngày thi : 22 / 3 / 2003 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Đề : Bài 1 : (6 điểm) 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử a) a3 + 3a2 + 3a + 2 b) a2b2 + 1 – a2 – b2 2) Tính giá trị của biểu thức sau (không dùng máy tính, có trình bày cách giải) : A = x3 – 3x2 + 3x – 1 với x = 2001 3) Tính nhanh các giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính, có trình bày cách giải) : B = 20032 – 2002 . 2004 C = 36.26 – (63 + 1)(63 – 1) Bài 2 : (6 điểm) 1) Thực hiện phép tính sau : 2) Tìm các số nguyên x và y biết : x > y và 3) Hiệu các bình phương hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 20. Tìm hai số tự nhiên ấy. Bài 3 : (4 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Chứng minh : CE ^ DF. Bài 4 : (4 điểm) Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 25cm, tỉ số . Tính độ dài hai cạnh góc vuông AB và AC. * Chú ý : Học sinh không được sử dụng máy tính. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN KHỐI 8. Năm học : 2002 – 2003 Ngày 22 tháng 3 năm 2003 Bài 1 : (6 điểm) 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử : a) a3 + 3a2 + 3a + 2 = a3 + 3a2 + 3a + 1 + 1 0,25 điểm = (a + 1)3 + 13 0,25 điểm = (a + 2)(a2 + a + 1) 0,50 điểm b) a2b2 + 1 – a2 – b2 = b2(a2 – 1) – (a2 – 1) 0,25 điểm = (a2 – 1)(b2 – 1) 0,25 điểm = (a – 1)(a + 1)(b – 1)(b + 1) 0,50 điểm 2) A = x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3 0,25 điểm A = (2001 – 1)3 = 20003 0,50 điểm = 8 000 000 000 0,25 điểm 3) B = 20032 – 2002 . 2004 = 20032 – (2003 – 1)(2003 + 1) 0,50 điểm = 20032 – (20032 – 1) 0,50 điểm = 20032 – 20032 + 1 = 1 0,50 điểm C = 36.26 – (63 + 1)(63 – 1) = 36.26 – (66 – 1) 0,50 điểm = (3.2)6 – 66 + 1 0,50 điểm = 66 – 66 + 1 = 1 0,50 điểm Bài 2 : (6 điểm) 1) Thực hiện phép tính sau : TXĐ : x ¹ 1 ; x ¹ 2 ; x ¹ 3. 0,50 điểm 0,50 điểm 0,50 điểm 0,50 điểm 2) Ta có : suy ra : xy = 6 0,50 điểm Mà : 6 = 1.6 = (–1)( –6) = 2.3 = (–2)( –3) 0,50 điểm Do x > y, nên ta lập bảng được kết quả sau 1,00 điểm x –2 –1 3 6 y –3 –6 2 1 3) Gọi hai số tự nhiên chẵn liên tiếp có dạng : x, x + 2 0,25 điểm Ta có : (x + 2)2 – x2 = 20 0,50 điểm x2 + 4x + 4 – x2 = 20 0,50 điểm 4x = 16 0,25 điểm x = 4 0,25 điểm Vậy : Hai số tự nhiên cần tìm là 4 và 6 0,25 điểm Bài 3 : (4 điểm) Hình vẽ : A E B 0,50 điểm F 1 1 M 2 1 D C Gọi M là giao diểm của CE và DF. Chứng minh được DBCE = DDCF 1,50 điểm Suy ra : ÐC2 = ÐD1 0,50 điểm Mà : ÐD1 + ÐF1 = 900 (DDCF vuông tại C) 0,50 điểm Nên : ÐC2 + ÐF1 = 900 0,50 điểm Trong DCMF có ÐC2 + ÐF1 = 900, suy ra : ÐM1= 900 0,25 điểm Hay : CE ^ DF (đpcm) 0,25 điểm Bài 4 : (4 điểm) Đặt : Þ = k (k > 0) Þ AB = 7k ; AC = 24k. 1,50 điểm Trong DABC vuông ở A, theo định lý Pitago ta có : BC2 = AB2 + AC2 Þ (7k)2 + (24k)2 = 252 1,00 điểm Hay 49k2 + 576k2 = 625 Þ 625k2 = 625 Þ k2 = 1 Þ k = 1(k > 0) 0,50 điểm Vậy : AB = 7.1 = 7 (cm) 0,50 điểm AC = 24.1 = 24 (cm) 0,50 điểm Hoặc giải theo cách khác như sau : Ta có : (gt), nên : 0,50 điểm Suy ra : 2,50 điểm Vậy : AB = 7.1 = 7 (cm) 0,50 điểm AC = 24.1 = 24 (cm) 0,50 điểm Hết Trường THCS An Hữu Kỳ thi chọn học sinh giỏi khối 8. Năm học : 2003 – 2004 Môn : TOÁN . Thời gian : 120 phút (không kể phát đề) Ngày thi : 27 / 3 / 2004 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Đề : Bài 1 : (6 điểm) 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử a) x3 + 3x2 – x – 3 b) x4 + 4 2) Tính giá trị của biểu thức A = (a3 + b3) – (a2 + b2) + 4ab biết a + b = 2 Bài 2 : (6 điểm) 1) Giải phương trình : 2) Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B đến A mất 5 giờ. Tìm đoạn đường AB, biết vận tốc của dòng nước là 3km/h. Bài 3 : (4 điểm) Cho DABC vuông ở A, kẻ phân giác AD. Từ D kẻ DH ^ AC (H Ỵ AC). Biết BD = 2cm, BD = 4cm. Tính diện tích DAHD. Bài 4 : (4 điểm) Cho tam giác vuông ABC có ba góc nhọn, AB = c ; AC = b ; BC = a. Chứng minh rằng : * Chú ý : Học sinh không được sử dụng máy tính. Trường THCS An Hữu Kỳ thi chọn học sinh giỏi khối 8. Năm học : 2003 – 2004 Môn : TOÁN (Máy tính) . Thời gian : 90 phút (không kể phát đề) Ngày thi : 27 / 3 / 2004 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Đề : Bài 1 : (6 điểm) 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử : x4 – x2 + 2x – 1 2) Tính nhanh giá trị của biểu thức (không dùng máy tính) A = (102 + 82 + 62 + 42 + 22) – (92 + 72 + 52 + 32 + 12) Bài 2 : (6 điểm) 1) Tìm giá trị của x để biểu thức B = x2 – 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất. 2) Trong cuộc thi bắn súng, mỗi vận động viên được bắn 10 phát. Mỗi lần trúng đích được 5 điểm, mỗi lần trượt bị trừ 1 điểm. Vận động viên nào đạt được 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi vận động viên phải bắn trúng đích bao nhiêu lần để được thưởng ? Bài 3 : (4 điểm) Cho DABC kẻ các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng : DADE ∽ DABC Bài 4 : (4 điểm) Cho DABC vuông tại A, đường cao AH = 33,6cm. Biết . Tính các cạnh của DABC. * Chú ý : Học sinh được sử dụng máy tính. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN KHỐI 8. Năm học : 2003 – 2004 Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2003 Bài 1 : (6 điểm) 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử : a) x3 + 3x2 – x – 3 = x2(x + 3) – (x + 3) 0,50 điểm = (x + 1)(x2 – 1) 0,50 điểm = (x + 1)(x + 1)(x – 1) 0,50 điểm = (x + 1)2(x – 1) 0,50 điểm b) x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 0,50 điểm = (x2 + 2)2 – 4x2 1,00 điểm = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) 0,50 điểm 2) A = (a3 + b3) – (a2 + b2) + 4ab = (a + b)(a2 – ab + b2) – (a2 + b2) + 4ab 0,50 điểm = 2(a2 – ab + b2) – (a2 + b2) + 4ab 0,50 điểm = 2a2 – 2ab + 2b2 – a2 – b2 + 4ab 0,25 điểm = a2 + 2ab + b2 0,25 điểm = (a + b)2 = 22 = 4 0,50 điểm Bài 2 : (6 điểm) 1) Giải phương trình : TXĐ = {x\ x Ỵ Q, x ¹ – 1 ; x ¹ 3} 0,50 điểm Qui đồng và khử mẫu ta được : x(x + 1) + x(x – 3) = 4x 0,25 điểm x2 + x + x2 – 3x = 4x 2x2 – 6x = 0 0,50 điểm 2x ( x – 3) = 0 0,50 điểm 2x = 0 hoặc x – 3 = 0 0,50 điểm x = 0 Ỵ TXĐ x = 3 Ï TXĐ 0,50 điểm Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0} 0,25 điểm 2) Gọi x (km/h) là vận tốc thực của canô. 0,25 điểm ĐK : x > 3 0,25 điểm Vận tốc canô xuôi dòng : x + 3 (km/h) 0,25 điểm Vận tốc canô ngược dòng : x – 3 (km/h) 0,25 điểm Quãng đường AB : 4(x + 3) (km) 0,25 điểm Quãng đường BA : 5(x – 3) (km) 0,25 điểm Ta có phương trình : 4(x + 3) = 5(x – 3) 1,00 điểm Giải phương trình ta được : x = 27 (thoả điều kiện) 0,25 điểm Quảng đường AB : 4(27 + 3) = 120 km 0,25 điểm Bài 3 : (4 điểm) Hình vẽ : 0,25 điểm A H B C D Đặt : DH = x (x > 0) 0,25 điểm Ta có : AD là phân giác , nên 0,50 điểm Mà DH // AB Þ DHDC ∽ DABC Þ 0,50 điểm hay Þ HC = 2x 0,50 điểm Trong DHDC vuông tại H theo định lý Pitago ta có : DC2 = DH2 + HC2 Þ HC2 = DC2 – DH2 0,25 điểm Hay : 4x2 = 16 – x2 Þ 5x2 = 16 Þ x2 = 3,2 0,75 điểm Mặt khác : DAHD cân tại H, do đó : AH = DH = x 0,25 điểm Vậy diện tích DAHD là : S = AH.DH = x2 = .3,2 = 1,6 cm2. 0,75 điểm Bài 4 : (4 điểm) A Hình vẽ : 0,25 điểm B C H Kẻ AH ^ BC 0,50 điểm Trong 2 tam giác vuông ABH và ACH Ta có : sinB = ; sin C = 0,50 điểm Do đó : = : = = 1,00 điểm Suy ra : = Þ 0,75 điểm Chứng minh tương tự ta có : 0,50 điểm Vậy : 0,50 điểm HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN (Máy tính) KHỐI 8. Năm học : 2003 – 2004 Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2003 Bài 1 : (6 điểm) 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử : x4 – x2 + 2x – 1 = x4 – (x2 – 2x + 1) 1,00 điểm = x4 – (x – 1)2 1,00 điểm = (x2 + x – 1)(x2 – x + 1) 1,00 điểm 2) Tính nhanh : A = (102 – 92) + (82 – 72) + (62 – 52) + (42 – 32) + (22 – 12) 0,50 điểm = 19.1 + 15.1 + 11.1 + 7.1 + 3.1 0,50 điểm = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 1,00 điểm A = 55 1,00 điểm Bài 2 : (6 điểm) 1) B = x2 – 2x + 1 + 4 0,50 điểm = (x – 1)2 + 4 0,50 điểm Ta thấy : (x – 1)2 + 4 ³ 4 Û B ³ 4 1,00 điểm Suy ra : B có trị nhỏ nhất là 4 Û x – 1 = 0 Û x = 1 1,00 điểm 2) Gọi số bắn trúng đích là x 0,25 điểm ĐK : x Ỵ N ; 0 £ x £ 10 0,25 điểm Số lần bắn trượt : 10 – x 0,50 điểm Tổng số điểm đạt được : 5x – (10 – x) 0,50 điểm Muốn được thưởng, tổng số điểm phải đạt từ 30 điểm trở lên. Do đó : Ta có : 5x – (10 – x) ³ 30 0,50 điểm Giải ra ta được : x ³ 0,50 điểm Vậy số bắn trúng đích phải là 7 hoặc 8 hoặc 9 hoặc 10 lần 0,50 điểm Bài 3 : (4 điểm) A Hình vẽ : 0,25 điểm E D B C Chứng minh DABD ∽ DACE 1,75 điểm Suy ra : 0,50 điểm Xét DADE và DABC ta có : Â chung và Þ 1,00 điểm Vậy : DADE ∽ DABC 0,50 điểm Bài 4 : (4 điểm) A B C H Đặt : Þ = k (k > 0) Þ AB = 7k ; AC = 24k. 1,00 điểm Trong DABC vuông ở A, theo định lý Pitago ta có : BC2 = AB2 + AC2 Þ (7k)2 + (24k)2 = BC2 0,50 điểm Hay 49k2 + 576k2 = BC2 Þ 625k2 = BC2 Þ BC = 25k(k > 0) 0,50 điểm Theo hệ thức lượng ta có : AH.BC = AB.AC 33,6 . 25k = 7k . 24k Þ k = 5 0,50 điểm Vậy : AB = 7.5 = 35 (cm) 0,50 điểm AC = 24.5 = 120 (cm) 0,50 điểm BC = 25.5 = 125 (cm) 0,50 điểm