Kỳ thi chon hoc sinh giỏi THCS năm hoc 2007 - 2008 môn Toán - Lớp 9

PHOÌNG GIẠO DỦC TP. HUÃÚ KYÌ THI CHOÜN HOÜC SINH GIOÍI THCS NÀM HOÜC 2007 - 2008 MÄN TOẠN - LÅÏP 9 Thåìi gian: 120 phụt (khäng kãø thåìi gian giao âãư) Baìi 1 (2 âiãøm): Cho biãøu thỉïc a) Rụt goün biãøu thỉïc A b) Tçm giạ trë nhoí nháút vaì giạ trë låïn nháút cuía biãøu thỉïc A Baìi 2 (2 âiãøm): Cho haìm säú y = - 2x + 2 cọ âäư thë (D) vaì haìm säú cọ âäư thë (H) a) Tçm toả âäü giao âiãøm cuía (D) vaì (H) b) Tçm trãn (H) âiãøm A(xA , yA) vaì trãn (D) âiãøm B(xB , yB) thoaí maỵn cạc âiãưu kiãûn: xA+ xB = 0 vaì 2yA - yB = 15 Baìi 3 (2 âiãøm): Tçm cạc càûp säú nguyãn (x , y) sao cho: Baìi 4 (4 âiãøm): Cho âỉåìng troìn (O , R) vaì âiãøm A våïi OA = 2R. Tỉì A veỵ 2 tiãúp tuyãún AE vaì AF âãún (O). (E, F laì 2 tiãúp âiãøm). Âỉåìng thàĩng OA càõt (O) tải C vaì D (O nàịm giỉỵa A vaì C) a) Tênh diãûn têch tỉï giạc AECF theo R. b) Tỉì O veỵ âỉåìng thàĩng vuäng gọc våïi OE càõt AF tải M. Tênh tyí säú diãûn têch hai tam giạc OAM vaì OFM. c) Âỉåìng thàĩng keí tỉì D vuäng gọc våïi OE càõt EC tải Q. Chỉïng minh cạc âỉåìng thàĩng AC, EF vaì QM âäưng qui. HỈÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃƯ THI HOÜC SINH GIOÍI NÀM 2007-2008 Män: Toạn - Låïp 9 Baìi 1(2 âiãøm) a) (0,75 â) Âiãưu kiãûn xạc âënh: x 0 (0,25 â) (0,25 â) = (0,25 â) b) (1,25 â) Våïi x 0 thç (0,5 â) Do âọ Amin = 0 khi x = 0 (0,75 â) Suy ra . Do ọ Amax= 1 khi x = 1 Baìi 2 (2 âiãøm) a) (0,75 â) Hoaình âäü giao âiãøm cuía (D) vaì (H) laì nghiãûm cuía phỉång trçnh: -2x + 2 = hay -2x2 + 2x + 4 = 0 (x 0) (0,25 â) x2 - x - 2 = 0 (x + 1)(x - 2) = 0 (0,25 â) x = -1 ; x = 2 Våïi x = -1 y = 4 ; våïi x = 2 y = -2 Váûy toả âäü giao âiãøm cuía (D) vaì (H) laì (-1 ; 4) vaì (2 ; -2) (0,25 â) b) (1,25 â) A (xA , yA) (H) nãn yA = (1) (0,25 â) B (xB , yB) (D) nãn yB = -2xB + 2 (2) Do xA + xB = 0 xB = -xA vaì 2yA - yB = 15 yB = 2yA -15 (0,25 â) Thay vaìo (2) 2yA - 15 = 2xA + 2 hay yA = xA + (3) Tỉì (1) vaì (3) xA + = 2xA2 + 17xA + 8 = 0 (0,25 â) (2xA + 1) (xA + 8) = 0 xA = ; xA = -8 Våïi xA = yA = 8 ; xB = yB = 1 (0,25 â) Våïi xA = -8 yA = ; xB = 8 yB = -14 Váûy A ( ; 8) vaì B ( ; 1) (0,25 â) hồûc A (-8 ; ) vaì B (8 ; -14) Baìi 3 (2 âiãøm): Tỉì Suy ra vaì (0,75 â) Do y nguyãn nãn y = 0 ; 1 Våïi y = 0 ta cọ 0 < 2 - -1 < x < 3 Do âọ x = 0 ; 1 ; 2 (vç x nguyãn) x = 0 < 0 (nháûn) (0,5 â) x = 1 (loải) x = 2 (nháûn) Våïi y = 1 ta cọ 0 < x < 2 Do âọ x = 1 (0,5 â) x = 1 (nháûn) Váûy cạc càûp säú phaíi tçm laì (0 ; 0); (2 ; 0) vaì (1 , 1) (0,25 â) Baìi 4 (4 âiãøm) Veỵ hçnh chênh xạc (0,25 â) a) (1,25 â) Ta cọ AE = AF (t/c tiãúp tuyãún) vaì OE = OF = R nãn OA laì âỉåìng trung trỉûc cuía âoản thàĩng EF. Goüi I laì giao âiãøm cuía AC vaì EF tải I thç OA ^ EF vaì IE = IF D OEA cọ = 900 (t/c tiãúp tuyãún) vaì EI ^ OA nãn OE2 = OI . OA DOIE ( = 900) nãn EI2 = OE2 - OI2 = R2 - EF = 2EI = .R vaì AC = AO + OC = 2R + R = 3R SAECF = . AC . EF = . 3R . . R = b) (1,25 â) Ta cọ OM // AE (^ OE) nãn maì Do âọ Suy ra DOMA cán tải M MO = MA = maì sin = Do âọ = 600 nãn = = c) (1,25 â) - Chỉïng minh DDEQ = DOFM Suy ra: QD = OM - Chỉïng minh QDMO laì hçnh bçnh haình Suy ra QM vaì DO giao nhau tải trung âiãøm cuía mäùi âỉåìng Maì I laì trung âiãøm cuía OD (OI = ID = ) nãn I laì trung âiãøm cuía QM Váûy AC, EF vaì QM âäưng quy tải I.