Kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS năm học 2008 - 2009 môn: Toán lớp 9

UBND huyện A Lưới KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC 2008 - 2009 Phòng GD & ĐT A Lưới Môn: TOÁN - Lớp 9 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC: Câu 1: ( 1 điểm ). Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây có nghĩa: Câu 2: ( 2 điểm ). Cho biểu thức: A = [(). ] : Tìm điều kiện để A xác định. Rút gọn A Cho xy = 6. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất. Câu 3: ( 2 điểm ). Giải phương trình: + = 5 Câu 4: ( 2 điểm ). Giải bài toán cổ: Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba con một bó Tính số trâu mỗi loại. Câu 5: ( 2 điểm ). Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC); MBC = CAB và AB = BD. Hãy tính các góc của hình thang. Câu 6: ( 1 điểm ). Chứng minh rằng nếu x = sin (0 < < 900) thì: …………………………………………Hết………………………………………………Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu 1 Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: - 7x2 + 6x + 1 0 (1) và x 0 (2) Để giải quyết (1) ta có: - 7x2 + 6x + 1 = -(x - 1)(7x + 1) Ta có bảng xét dấu: x - 1 x - 1 - - 0 + 7x + 1 - 0 + + (x - 1)(7x + 1) + 0 - 0 + - 7x2 +6x + 1 - 0 + 0 - Như vậy - 7x2 +6x + 1 0 -, kết hợp với (2) ta có: -< 0 và 0 < x 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 a. x > 0; y > 0 b. * () = * () + * = Vậy A = : = . c. Vì xy = 16 Hai số dương , có tích = 4 không đổi nên tổng Có giá trị nhỏ nhất khi 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 Ta viết x + 3 + 4 x - 1 + 4 Với nhận xét ()2 = x - 1 Ta có: x - 1 + 4 = ()2 + 2.2 + 22 x + 3 + 4 = ( + 2)2 Tương tự ta có: x + 8 - 6 = ( - 3)2 Phương trình trở thành: - Với Phương trình trở thành: (1) - Với < 0 < 9 x < 10 Phương trình trở thàmh: Đẳng thức này nghiệm với mọi x 1 (2) Từ (1) và (2) và điều kiện x 1 ta có nghiệm cuủa phương trình đã cho là 1 x 10 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4 5.x + 3y + Gọi x, y, z theo thứ tự là số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già với điều kiện 0 và x, y,z Z, ta có hệ: x + y +z = 100 x + y + z = 100 (2) 15x + 9y + z = 300 (1) { { Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế với vế, ta được phương trình 14x + 8y = 200 7x + 4y = 100 (3) Đặt x = 4t ta tính ra y = 25 - 7t; t Z Đem thế các giá trị của x, y theo t vào phương trình (2) ta tính được z = 3t + 75. Rõ ràng cho t một giá trị nguyên thì x, y và cả z đều nhận giá trị nguyên và thỏa mãn hệ đã cho. Vậy nghiệm nguyên của hệ đã cho là: z = 3t +75 y = 25 - 7t; x = 4t { t Z Ta xét điều kiện: { { Kết hợp các điều kiện này ta có: 0≤ t ≤ t = 0; 1; 2; 3. Từ đó ta có kết quả: t 0 1 2 3 x 0 4 8 12 y 25 18 11 4 z 75 78 81 84 Vậy ta có 4 đáp số: Đáp số Loại (I) (II) (III) (IV) Trâu đứng 0 4 8 12 Trâu nằm 25 18 11 4 Trâu già 75 78 81 84 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 C M D K A B I H Gọi K là trung điểm AD , vì AB = BD nên BK AD tại K. Ta lại có: = ( ABCD là hình thang cân) mà = = ; mà KM // AC nên = (đồng vị) = ABMK nội tiếp. = = 900 = 450 (1) ABCD là hình thang cân có MC = MD MA = MB vậy DABM vuông cân tại M. Kẻ MI AB MI = AB = AC, lại kẻ CH AB CH = MI = AC DACH vuông tại H có CH = AC nên là nửa tam giác đều cạnh AC = = 300 (2) Từ (1) và (2) = = 750 Vậy = = 1050 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 6 Ta có = ( vì 0 0) = (đpcm) 0,5 0,25 0,25