Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2009-2010 môn: Toán

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực hiện tính: với Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a. b. Bài 3: (2.0 điểm) a. Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên. b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0 x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K. a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. b. Chứng minh Ð ICB = Ð IDK c. Chứng minh H là trung điểm của DK. Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n. UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: . Với là các số dương. b) Cho là hai số dương và .Tìm giá trị nhỏ nhất của ; . Bài 2: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình: Bài 3: (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM tại H. a. Chứng minh HM = HN. b. Chứng minh MN là phân giác của góc QMP. Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I a. Tính góc CIF. b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó. Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực hiện tính: với 0,75 Thay vào được: 0,75 Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a. . Đặt (y ³ 0) được: y2 - y - 2 = 0 0,50 Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 2. 0,25 Với y = 2 giải được x1 = 0; x2 = -5. 0,25 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25 Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương hai vế. b. 0,25 0,50 vô nghiệm; được x = 2. 0,25 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm. 0,25 Bài 3: (2.0 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên. n =-1: Phương trình có nghiệm. Với n ¹ -1 Þ n+1¹0. D’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 =(n2 + 3n + 1)2. 0,50 D’³ 0 nên phương trình luôn có nghiệm. 0,25 D’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là số hữu tỉ. 0,25 b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0 x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm. Có: x1x2 = 1 x3x4 = 1 x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 0,25 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1; x3x4 = 1 (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 0,50 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 được : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 0,25 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( 3.0 điểm) O A B C I D E K H M OB ^ BA; OC ^ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI ^ IA (I là trung điểm của dây DE) . Þ B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO. 0,75 ÐICB = ÐIAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1) DK // AB (Cùng vuông góc với BO) Þ Ð IDK = ÐIAB (2) Từ (1) và (2) được: Ð ICB = Ð IDK 1.0 Ð ICB = Ð IDK hay Ð ICH = Ð IDH Þ Tứ giác DCIH nội tiếp. Þ ÐHID = Ð HCD Ð HCD = Ð BED (Cùng chắn cung DB của (O)) Þ ÐHID = Ð BED Þ IH // EB Þ IH là đường trung bình của DEK Þ H là trung điểm của DK 1,25 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) Bài 5: ( 1.0 điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n. - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1). Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n. 0,25 - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n). Do n5 - n chia hết cho 5 theo phecma nên A(n) chia hết cho 5 với mọi n. 0,25 - Nếu n chẵn Þ n2 chia hết cho 4 Þ A(n) chia hết cho 4. Nếu n lẻ Þ (n-1)(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4. Þ A(n) chia hết cho 4 với mọi n. 0,25 - Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60. 0,25 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) a. Chứng minh bất đẳng thức: . Với là các số dương. b. Cho là hai số dương và .Tìm giá trị nhỏ nhất của ; . 0,50 0,50 P đạt giá trị nhỏ nhất tại: x = y = 0,25 hoặc: = 0,50 - đạt GTNN tại x = y = . - đạt GTNN tại x = y = . Nên M đạt GTNN tại x = y = . 0,25 Bài 2: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình: - Đặt S = x + y; P = xy được: 0,25 - 0,25 - Giải phương trình được ; 0,25 - được ; được 0,25 - Với ; có x, y là hai nghiệm của phương trình: 0,25 - Giải phương trình được . 0,25 - Với được có x, y là hai nghiệm của phương trình: . Phương trình này vô nghiệm. 0,25 - Hệ có hai nghiệm: ; 0,25 A B C D P M N Q O H Bài 3: (2.0 điểm) -Chứng tỏ MBND là hình bình hành Þ O là trung điểm của MN. - OH // AB Þ OH ^ MN. - ÞDHMN cân tại H (Trung tuyến vừa là đường cao) Þ HM = HN. 0,75 - OH // BM được: - ON // BP được: Þ Þ NH//PM Þ Ð HNM = Ð NMP Þ Ð HMN = Ð NMP Þ MN là phân giác của góc QMP 1,25 Mỗi bước cho 0,25 điểm Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. Giải: Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. 0,25 Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) Û bc = 5+b+c. Û bc -b - c + 1 = 6 Û (b-1)(c-1) = 6. 0,50 b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ: và Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7 0,25 A B E F C H I Bài 4: (3.0 điểm) O - BE, AF là hai đường cao của DABC Þ CI là đường cao thứ ba hay CI^AB - ÞTứ giác IHFB nội tiếp Þ ÐHIF = ÐHBF hay ÐCIF = ÐEBF . - DEOF đều nên ÐEOF = 600. - Þ EF = 600 Þ ÐCIF = ÐEBF = 300. 1,0 - Chứng minh DACI đồng dạng với DABE - được: - Tương tự DBCI đồng dạng với DBAE được: - Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 = const. 1.0 - Chứng minh DABC đồng dạng với DFEC. - - Để lớn nhất Þ lớn nhất Þ CI lớn nhất. C chạy trên cung chứa góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I º O Þ DCAB cân Þ EF // AB. - Lúc đó 1,0 (Mỗi bước cho 0,25 điểm)