Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Quốc học Môn Toán - Năm học 2007-2008

M«n: TO¸N - N¨m häc 2007-2008 Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bài 1: (2 điểm) Giải hệ phương trình: Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình: luôn có 4 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của . Tìm giá trị sao cho . Bài 3: (3 điểm) Cho hình vuông cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (MP, MQ). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (FQ). Đường thẳng RF cắt cạnh SP của hình vuông PQRS tại N. Chứng tỏ rằng: . Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định. Chứng minh rằng: MN = MQ + NS. Bài 4: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho đẳng thức sau đúng: Bài 5: (1 điểm) Chứng minh với mọi số thực luôn có: Hết SBD thí sinh: ................. Chữ ký GT1: .............................. Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú THI TUYÓN SINH LíP 10 chuyªn QuèC HäC Thõa Thiªn HuÕ M«n: TO¸N - N¨m häc 2007-2008 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM BÀI NỘI DUNG Điểm B.1 (2đ) Ta có : . 0,25 Hay . 0,25 + Nếu , thay vào phương trình đầu thì: 0,25 Giải ra : 0,25 Trường hợp này hệ có hai nghiệm : ; 0,25 + Nếu , thay vào phương trình đầu thì: . 0,25 Giải ra: . 0,25 Trường hợp này hệ có hai nghiệm: ; 0,25 B.2 (1) (2đ) Đặt :, ta có : (2) () . 0,25 Ta chứng tỏ (2) luôn có hai nghiệm : . 0,25 với mọi .Vậy (2) luôn có hai nghiệm phân biệt . 0,25 với mọi . 0,25 với mọi . 0,25 Do đó phương trình (1) có 4 nghiệm : , , , . 0,25 . 0,25 0,25  B.3 3 đ Câu3.1 (1đ) Hình vẽ đúng 0,25 Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ có đường kính RM . (3) 0,25 F nằm trong đọan ES. Do đó : (4) 0,25 Từ (3) và (4) : . 0,25 Câu3.2 (1đ) Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố định P. 0,25 Ta có :. Do đó N, S, R, E ở trên đường tròn đường kính NR. 0,25 Ta cũng có:. Do đó N, F, E, M ở trên đường tròn đường kính MN. 0,25 Do nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF đi qua điểm P. 0,25 Câu3.3 (1đ) Tam giác RMN có hai đường cao MF và NE. Gọi H là giao điểm của MF và NE, ta có RH là đường cao thứ ba. RH vuông góc với MN tại D. Do đó : . 0,25 Ta có: (do M, N, F, E ở trên một đường tròn); (do M, F, R, Q ở trên một đường tròn). Suy ra:. D nằm trong đọan MN. 0,25 Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau, suy ra : MQ = MD 0,25 Tương tự : Hai tam giác vuông DRN và SRN bằng nhau, suy ra : NS = ND . Từ đó : MN = MQ+NS 0,25 B. 4 () (2đ) Điều kiện: (p, q là các số nguyên) 0,25 Bình phưong hai vế của () : 2. 0,25 Hay : . 0,25 Tiếp tục bình phương : . 0,25 + Nếu thì () trở thành:+=, đúng với mọi số nguyên tùy ý. 0,25 + Nếu thì () trở thành:+=,đúng với mọi số nguyên tùy ý. 0,25 + Xét và . Ta có : ( p, q là các số nguyên) Chỉ xảy ra các trường hơp : 1/ ; 2/ ; 3/ . 0,25 Ta có thêm các cặp (p; q): (3; 7) , (4; 5) , (6, 4) . Kiểm tra lại đẳng thức ():+= ; += ;+= 0,25 B.5 (*) (1đ) Đặt: . Trong ba số a, b, c bao giờ cũng có ít nhất hai số cùng dấu, chẳng hạn: . Lúc này : +=+== 2 0,25 Ta có : ; ; . Do đó để chứng minh (*) đúng, chỉ cần chứng tỏ : ++ (**) đúng với . 0,25 Ta có: (**) (***) 0,25 Đặt: ; , ta có (do a.b0) ta có: (***)+. AB AB . Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp các số: a, b, c, a + b + c chia làm 2 cặp cùng dấu. Ví dụ: và . 0,25 Chú ý: Có thể chia ra các trường hợp tùy theo dấu của a, b, c (có 8 trường hợp) để chứng minh(*)