Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2008-2009 Môn thi : Toán

Sở giáo dục và đào tạo HảI dương Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2008-2009 Môn thi : toán Ngày 28 tháng 6 năm 2008 Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang Hướng dẫn chấm Câu Phần nội dung Điểm câu I 2 điểm 1) 1,0điểm Với m = 2 phương trình (1) có dạng: (2) Đặt y = x2 thì pt (2) có dạng (3) 0.25 Giải pt (3) ta được (thoả mãn) 0.25 0.25 Phương trình đã cho có bốn nghiệm 0.25 2) 1,0điểm Đặt thì pt (1) trở thành (4) có 0.25 Để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt thì pt (4) phải có hai nghiệm dương phân biệt (*) 0.25 Giả sử Do đó : 0.25 kết hợp với ĐK (*) ta được m = 0.25 câu II 1 điểm 1,0điểm ĐK: Từ giả thiết 0.25 0.25 +) Nếu thay vào biểu thức đã cho ta có 0.25 +) Nếu Phương trình (*) vô nghiệm (vì ) Từ (I) A = 1. Vậy với mọi thì A = 1 0.25 câu III 2 điểm 1) 1,0điểm Thay m = 2 ta được hệ pt : Điều kiện : . Giả sử hệ pt có nghiệm (x; y) Từ hệ pt trên (3) 0.25 Giả sử ta có suy ra mâu thuẫn với (3) Tương tự x < y cũng suy ra mâu thuẫn . Vậy x = y 0.25 Thay x = y vào pt (1) ta có : bình phương hai vế ta được 0.25 . Do đó x = y = 4. Hệ phương trình có một nghiệm : (x; y) = (4; 4) 0.25 2) 1,0điểm Theo cách chứng minh tương tự như trên ta chứng minh được : nếu hệ có nghiệm (x; y) thì x = y. Khi đó hệ phương trình đã cho 0.25 Giả sử x0 là nghiệm duy nhất của phương trình (4) cũng là nghiệm của pt (4) do tính duy nhất 0.25 Khi thay vào hệ (II) ta có 0.25 Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 4). Vậy với thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. 0.25 câu IV 1 điểm 1,0điểm ĐK : Đặt : 0.25 0.25 Nếu thì vế phải là số vô tỉ và vế trái là số nguyên vô lí. Nếu a = b thì ab - 2025 = 0 . 0.25 . Thử lại với thoả mãn 0.25 câu V 3 điểm 1) 1,0điểm PE trung tuyến nên EA = EP cân tại E mà 0.25 vuông tại M 0.25 Chứng minh tương tự ta có: 0.25 Bốn điểm M, N, B, P cùng thuộc đường tròn đường kính BP 0.25 2) 1,0điểm Do EA = EC và FA = FD nên . Do đó (1) Do EF là đường trung bình của nên EF // CD và CD = 2EF 0.25 mà(2) Từ (1) và (2) . 0.25 C/M tương tự ta có: đồng dạng với (g.g) 0.25 0.25 3) 1,0điểm Kẻ lần lượt tại H và K . Tính tương tự : suy ra (vì ta có ) 0.25 Chứng minh diện tích tứ giác ACBD bằng 0.25 Do không đổi nên AB2.CD2 nhỏ nhất khi nhỏ nhất hoặc AB đi qua O hoặc CD đi qua O. Vậy diện tích tứ giác ACBD nhỏ nhất bằng : AB hoặc CD đi qua O. (có thể chỉ ra cách dựng: Kẻ đường kính qua P và kẻ dây với đường kính đó tại P) 0.25 Ta có nên HO2.KO2 lớn nhất khi HO = KO; AB2.CD2 lớn nhất khi lớn nhất HO = KO AB và CD cách đều O.Vậy diện tích tứ giác ACBD lớn nhất bằng AB và CD cách đều O (có thể chỉ ra cách dựng: Dựng hình vuông OHPK rồi dựng AB, CD) 0.25 câu VI 1 điểm 1,0điểm Trước hết ta chứng minh BĐT Thật vậy BĐT (1) (đúng) dấu bằng xảy ra 0.25 Ta đặt t = 2x - y = 0.25 khi đó (ĐPCM) 0.25 dấu bằng xảy ra ở (*) Giải hệ ta tìm được 0.25