Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông chuyên Năm học 2008-2009 Môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2008-2009 KHÓA NGÀY 18-06-2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm): a) Tìm m để phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả |x1 – x2| = 17. b) Tìm m để hệ bất phương trình có một nghiệm duy nhất. Câu 2(4 điểm): Thu gọn các biểu thức sau: a) S = (a, b, c khác nhau đôi một) b) P = (x ≥ 2) Câu 3(2 điểm): Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c. Chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương. b) bc ≥ ad. Câu 4 (2 điểm): a) Cho a, b là hai số thực thoả 5a + b = 22. Biết phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó. b) Cho hai số thực sao cho x + y, x2 + y2, x4 + y4 là các số nguyên. Chứng minh x3 + y3 cũng là các số nguyên. Câu 5 (3 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ một điểm C thuộc đường tròn (O) kẻ CH vuông góc với AB (C khác A và B; H thuộc AB). Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH. Câu 6 (3 điểm): Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho Ð ABD = Ð CBE = 200. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN. Câu 7 (2 điểm): Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2. -----oOo----- Gợi ý giải đề thi môn toán chuyên Câu 1: a) D = (4m + 1)2 – 8(m – 4) = 16m2 + 33 > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Ta có: S = –4m – 1 và P = 2m – 8. Do đó: |x1 –x2| = 17 Û (x1 – x2)2 = 289 Û S2 – 4P = 289 Û (–4m – 1)2 – 4(2m – 8) = 289 Û 16m2 + 33 = 289 Û 16m2 = 256 Û m2 = 16 Û m = ± 4. Vậy m thoả YCBT Û m = ± 4. b) . Ta có: (a) Û x ≥ . Xét (b): * m > 0: (b) Û x ≥ . * m = 0: (b) Û 0x ≥ 1 (VN) * m < 0: (b) Û x ≤ . Vậy hệ có nghiệm duy nhất Û Û Û m = –1. Câu 2: a) S = (a, b, c khác nhau đôi một) = = = 0. b) P = (x ≥ 2) = = = = (vì x ≥ 2 nên và ≥ 1) = . Câu 3: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c. a) Vì a ≤ b ≤ c ≤ d nên ta có thể đặt a = b – k và d = c + h (h, k Î N) Khi đó do a + d = b + c Û b + c + h – k = b + c Û h = k. Vậy a = b – k và d = c + k. Do đó: a2 + b2 + c2 + d2 = (b – k)2 + b2 + c2 + (c + k)2 = 2b2 + 2c2 + 2k2 – 2bk + 2ck = b2 + 2bc + c2 + b2 + c2 + k2 – 2bc – 2bk + 2ck + k2 = (b + c)2 + (b – c – k)2 + k2 là tổng của ba số chính phương (do b + c, b – c – k và k là các số nguyên) b) Ta có ad = (b – k)(c + k) = bc + bk – ck – k2 = bc + k(b – c) – k2 ≤ bc (vì k Î N và b ≤ c) Vậy ad ≤ bc (ĐPCM) Câu 4: a) Gọi x1, x2 là hai nghiệm nguyên dương của phương trình (x1 ≤ x2) Ta có a = –x1 – x2 và b = x1x2 nên 5(–x1 – x2) + x1x2 = 22 Û x1(x2 – 5) – 5(x2 – 5) = 47 Û (x1 – 5)(x2 – 5) = 47 (*) Ta có: –4 ≤ x1 – 5 ≤ x2 – 5 nên (*) Û Û . Khi đó: a = – 58 và b = 312 thoả 5a + b = 22. Vậy hai nghiệm cần tìm là x1 = 6; x2 = 52. b) Ta có (x + y)(x2 + y2) = x3 + y3 + xy(x + y) (1) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy (2) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 (3) Vì x + y, x2 + y2 là số nguyên nên từ (2) Þ 2xy là số nguyên. Vì x2 + y2, x4 + y4 là số nguyên nên từ (3) Þ 2x2y2 = (2xy)2 là số nguyên Þ (2xy)2 chia hết cho 2 Þ 2xy chia hết cho 2 (do 2 là nguyên tố) Þ xy là số nguyên. Do đó từ (1) suy ra x3 + y3 là số nguyên. Câu 5: Ta có: OC ^ DE (tính chất đường nối tâm Þ D CKJ và D COH đồng dạng (g–g) Þ CK.CH = CJ.CO (1) Þ 2CK.CH = CJ.2CO = CJ.CC' mà D CEC' vuông tại E có EJ là đường cao Þ CJ.CC' = CE2 = CH2 Þ 2CK.CH = CH2 Þ 2CK = CH Þ K là trung điểm của CH. Câu 6: Kẻ BI ^ AC Þ I là trung điểm AC. Ta có: Ð ABD = Ð CBE = 200 Þ Ð DBE = 200 (1) D ADB = D CEB (g–c–g) Þ BD = BE Þ D BDE cân tại B Þ I là trung điểm DE. mà BM = BN và Ð MBN = 200 Þ D BMN và D BDE đồng dạng. Þ Þ SBNE = 2SBMN = = SBIE Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC = . Câu 7: Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2. Ta có: a3 + b3 > 0 Þ a3 > –b3 Þ a > – b Þ a + b > 0 (1) (a – b)2(a + b) ≥ 0 Þ (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 Þ a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0 Þ a3 + b3 ≥ ab(a + b) Þ 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) Þ 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 Þ 8 ≥ (a + b)3 Þ a + b ≤ 2 (2) Từ (1) và (2) Þ 0 < a + b ≤ 2. --------------oOo-------------- Người giải đề: NGUYỄN DUY HIẾU - NGUYỄN PHÚ SỸ(Giáo viên Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP.HCM)